06稳恒磁场复习习题课

1、一一.本章主要内容回顾本章主要内容回顾1.磁通量磁通量smsdb2.磁场的计算磁场的计算1)毕奥毕奥-萨伐尔定理萨伐尔定理304rrlidbd2)电流产生磁场电流产生磁场304rrlidbbdbibb微观叠加微观叠加场叠加场叠加3)安培环路定理安培环路定理ilil db04)运动电荷产生的磁场运动电荷产生的磁场304rrqb 3.磁场方程磁场方程1)磁场高斯定理磁场高斯定理ssdb0(稳恒磁场无源稳恒磁场无源)2)安培环路定理安培环路定理liil db0(稳恒磁场有旋稳恒磁场有旋)5.电磁相互作用电磁相互作用1)安培定律安培定律blidf d2)磁场对载流导线的安培力磁场对载流导线的安培力lb

2、lidf3)磁场对载流线圈的作用力矩磁场对载流线圈的作用力矩bpmmisn4.载流线圈的磁矩载流线圈的磁矩nnispm4)磁场对运动电荷的洛仑兹力磁场对运动电荷的洛仑兹力bqf 5)磁力作功磁力作功21mmmida6.霍耳电压霍耳电压bibruhh)1(nqrh 1. 直电流的磁场直电流的磁场+ap1 2 ib)cos(cos4210 aib无限长载流直导线无限长载流直导线aib 20半无限长载流直导线半无限长载流直导线aib 40直导线延长线上直导线延长线上0 b本章一些重要的结论本章一些重要的结论2. 圆电流轴线上某点的磁场圆电流轴线上某点的磁场2322202)xr(irb 方向：方向：

3、右手螺旋法则右手螺旋法则大小：大小：(1) 载流圆环圆心处的载流圆环圆心处的 圆心角圆心角 2 brib20 (2) 载流圆弧载流圆弧 圆心角圆心角 ririb 42200 rxipx3. 长直载流螺线管长直载流螺线管 外外内内00nib 5. 环行载流螺线管环行载流螺线管 外外内内020rnib 2121rrrr 、nib0 12 rnn 4. 无限大载流导体薄板无限大载流导体薄板20nib 板上下两侧为均匀磁场板上下两侧为均匀磁场.dabc电场、磁场中典型结论的比较电场、磁场中典型结论的比较rib 20 re02 202 rirb 202rre 0 e0 b外外内内内内外外re02 rib

4、 20 re02 rib 20 长直圆柱面长直圆柱面电荷均匀分布电荷均匀分布电流均匀分布电流均匀分布长直圆柱体长直圆柱体长直线长直线0 l de静电场静电场磁磁 场场 iiildb00 sdb isqsde01 比较比较?磁场没有保守性，它是磁场没有保守性，它是非保守场，或无势场非保守场，或无势场电场有保守性，它是电场有保守性，它是保守场，或有势场保守场，或有势场电力线起于正电荷、电力线起于正电荷、止于负电荷。止于负电荷。静电场是有源场静电场是有源场 磁力线闭合、磁力线闭合、无自由磁荷无自由磁荷磁场是无源场磁场是无源场3041rpee 磁偶极子磁偶极子电偶极子电偶极子nis302rpbm ni

5、spm 3021rpee lqp 304rpbm 类类 比比在轴延长线上某点在轴延长线上某点 qq l解解:在在abcd内任取一面积元内任取一面积元ds=l1dx,在此面积元内磁感应强度可看作常在此面积元内磁感应强度可看作常量量.abcdixdx2l1lxib20方向垂直于纸面向里方向垂直于纸面向里00cosbdsa2210laamxdxilalail210ln2dxlxi102sdbdm二二.典型例题典型例题例例1. 一无限长直导线通有电流一无限长直导线通有电流i,求通过矩形线框求通过矩形线框abcd(与直导线共面与直导线共面)的磁通量的磁通量.例例2.真空中一无限长载流真空中一无限长载流直

6、导线直导线ll 在在a点处折成点处折成直角直角,在在lal 平面内平面内,求求r、s两点出的磁感应强度的两点出的磁感应强度的大小大小.rsallaaaa解解:对于对于r点点,la的两端相对于的两端相对于r点所对应的点所对应的2142rsallaaaa所以所以la在在r点的磁感应强度点的磁感应强度b1的大小为的大小为2sin4sin401aib22140aial 两端相对于两端相对于r点所对应的点所对应的4122al 在在r点的磁感应强度大小为点的磁感应强度大小为4sin2sin402aib22140ai故故r点的磁感应强度大小为点的磁感应强度大小为21bbbr2240airsallaaaa2s

7、in4sin401aib22140ai对于对于s点点: la在在s点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度la 两端相对于两端相对于s点所对应的点所对应的2142rsallaaaa22140ai4sin2sin402aibal 两端相对于两端相对于s点所对应的点所对应的4122al 在在s点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度s点磁感应强度点磁感应强度21bbbsai420rsallaaaa例例3.两根导线沿半径方向引到铁环上的两根导线沿半径方向引到铁环上的a、b两点两点,并在很远处与电源相连并在很远处与电源相连,求环中心的求环中心的磁感应强度磁感应强度.解解: o点的磁感应强度为点的磁感应强度为1

8、、2、3、4、5段载流导线在段载流导线在o点产生的磁感应强度的点产生的磁感应强度的矢量和矢量和. 543210bbbbbbor1235abii1i2i1l2l4o点在点在3和和4的延长线上的延长线上,5离离o点可看作无限远点可看作无限远,故故:03 b04 b05 b设设1圆弧弧长圆弧弧长l1,2圆弧弧长圆弧弧长l2,圆的周长为圆的周长为lrillb21011 rillb22022 故故210bbb 221102lilirl or1235abii1i2i1l2l4设设 为导线电阻率为导线电阻率,s为截面积为截面积 slislisrl221102 221102ririrls r1、r2分别为分别

9、为1导线和导线和2导线的电阻导线的电阻,显显然然i1r1=i2r2=vab ,因此因此 b0=0 221102lilirl 0b一根外半径为一根外半径为r1的无限长圆柱的无限长圆柱形导体管形导体管 , 管内空心部分的半管内空心部分的半径为径为r2 , 空心部分的轴与圆柱空心部分的轴与圆柱的轴相平行但不重合的轴相平行但不重合, 两轴间两轴间距离为距离为a(ar2) , 现有电流现有电流i沿沿导体管流动导体管流动 , 电流均匀分布在电流均匀分布在管的横截面上管的横截面上 , 方向与管轴平方向与管轴平行行 .o1r2roai例例4.1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小圆柱轴线上的磁感应强度的大小. 2)

10、空心部分轴线上的磁感应强度的大小空心部分轴线上的磁感应强度的大小.求求:由于空心部分的存在由于空心部分的存在,磁场的柱对称性被破坏磁场的柱对称性被破坏 , 因而因而此题解法需用填补法此题解法需用填补法.(应保持原有的电流密度不变应保持原有的电流密度不变.)以电流以电流i填满空心部分填满空心部分222221rrrii 然后再用然后再用- i填一次填一次,以抵消第一次填补的影响以抵消第一次填补的影响,因而整因而整个磁场相当于与一个大的圆柱电流和一个半径为个磁场相当于与一个大的圆柱电流和一个半径为r2的的反向圆柱电流反向圆柱电流-i产生的磁场的叠加产生的磁场的叠加.解解:o1r2ro ai 大圆柱电

11、流在轴线大圆柱电流在轴线o上产生的磁场为零上产生的磁场为零小圆柱电流在轴线小圆柱电流在轴线o上产生的磁感应强度为上产生的磁感应强度为ai20即即222122002rrairb2)空心部分轴线上磁感应强度空心部分轴线上磁感应强度b0小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零大圆柱电流在大圆柱电流在o出产生的磁感应强度为出产生的磁感应强度为2102 raii即即2221002rriab1)圆柱轴线上的磁感应强度圆柱轴线上的磁感应强度b0o1r2ro ai 一根很长的同轴电缆一根很长的同轴电缆 , 由由一导体圆柱一导体圆柱(半径为半径为a)和一和一同轴的导体管同轴的导体管(

12、内、外半径内、外半径分别为分别为b、c)构成构成 , 使用时使用时, 电流电流i从一导体流出去从一导体流出去 , 从从另一导体流回另一导体流回. 设电流都是设电流都是均匀地分布在导体横截面均匀地分布在导体横截面上上 。例例5求求:abc空间各点处磁感应强度空间各点处磁感应强度 大小的分布。大小的分布。abc解解: 根据根据 安培环路定理安培环路定理 liil db022raii 2202airrb 202 airb 1） rairb02 rib 202)arbr ii3)222202bcrcrib brc4)0iii0b 22br 22bci 2222bcrci 例例6 发电厂的汇流条是两条发

13、电厂的汇流条是两条l=3.0m的平行铜棒的平行铜棒. 它们相距它们相距a=0.5m,接通电路时接通电路时,棒中电流棒中电流是是i=10000a,问此时汇流棒之问此时汇流棒之间的相互作用力多大间的相互作用力多大.dx12oxa电流元电流元dx所受安培力为所受安培力为解解: 取如图示坐标取如图示坐标. 在汇流棒在汇流棒2上上 任取一电流元任取一电流元dx, 其中其中b为为1在在dx处产生的磁感应强度处产生的磁感应强度 idlbdf 方向向左方向向左 fd 210coscos4 aib其中其中 22222cosxlaxl 22122cosxlaxl dxxlaxlxlaxlaidf 22222022

14、22412oxdxa21所有所有df方向相同方向相同(向左向左)故故 dxxlaxlxlaxlaidffll 2222222022224积分积分 , 以以l=3m，i=10000a , a=0.5m代入代入 , 得得 f=102n讨论讨论:若磁场感应强度按若磁场感应强度按aib20计算计算f=?试比较两者的误差试比较两者的误差一塑料薄圆盘一塑料薄圆盘,半径为半径为r ,电荷电荷q均匀分布于表面均匀分布于表面 ,圆盘绕通过盘心垂直面圆盘绕通过盘心垂直面的轴匀速转动的轴匀速转动 , 角速度角速度 ro例例7求求2)圆盘的磁矩圆盘的磁矩;3)若此圆盘处在水平向右的匀强磁场若此圆盘处在水平向右的匀强磁

15、场b中中,1)圆盘中心处的磁感应强度圆盘中心处的磁感应强度;求该圆盘所受的磁力矩求该圆盘所受的磁力矩.q其方向与半径垂直其方向与半径垂直 , 所以旋转的细环在盘心所以旋转的细环在盘心o的的 磁感应强度为磁感应强度为解解: (1)求圆盘中心的磁感应强度求圆盘中心的磁感应强度 可用两种方法求解可用两种方法求解.方法方法1:根据运动电荷的磁场公式根据运动电荷的磁场公式304rrqb 求解求解rrdrordrdq 2 =q/ r2 r在圆盘上任取一半径为在圆盘上任取一半径为r,宽为宽为dr的细环的细环,所取细环上的电荷所取细环上的电荷运动速度相同运动速度相同 , 均为均为204rdqrdb rdrr

16、240dr20 (方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外)由于各细环在由于各细环在o处的磁感应强度方向相同处的磁感应强度方向相同,所以所以 rdrdbb00220r rq 20(方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外)rrdro304rrqb 其中在其中在o处的磁感应强度处的磁感应强度rdidb20rdq40dr20(方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外)积分结果与方法积分结果与方法1相同相同.用圆电流公式计算用圆电流公式计算.圆盘旋转时相当于不同圆盘旋转时相当于不同半径的圆电流的集合半径的圆电流的集合.如上所取细环对应的如上所取细环对应的电流电流dqdi2rrdro方法方法2:3)根据任意闭合回路在外磁场根

17、据任意闭合回路在外磁场b中所受的磁力矩计中所受的磁力矩计bpmmbqr241方向向上方向向上2)根据线圈磁矩的定义根据线圈磁矩的定义,与细环电流对应的磁矩应为与细环电流对应的磁矩应为sdidpmdqr22drr3由于各细环的磁矩方向相同由于各细环的磁矩方向相同,因此总磁矩为因此总磁矩为mmdpprdrr03441r241qr(方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外)算公式算公式(14-18)得得一长直导线通有电流一长直导线通有电流i1=20a , 其旁有一载流直其旁有一载流直导线导线ab , 两线共面两线共面.ab长为长为l=9.0 10-2m , 通以电流通以电流i2=10a , 线段线段ab垂直

18、于长垂直于长直导线直导线 , a端到长直导线的端到长直导线的距离为距离为d=1 10-2m 1i2ibao01. 0求求 1)导线导线ab所受的力所受的力2)导线导线ab所受作用力对所受作用力对o点的力矩点的力矩.例例81)设在导线设在导线ab上距长直导上距长直导线为线为l处取电流元处取电流元i2dl,该处该处磁感应强度仅由磁感应强度仅由i1所产生所产生,其大小为其大小为lib 20(方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里)则则i2dl所受磁力的大小为所受磁力的大小为0290sindlbidf dllii2210方向垂直方向垂直ab向上向上1i2ilfdbao01. 0解解:2)如上所取电流元如上所取电流元i2dl所受磁力对所受磁力对o点的力点的力矩大小为矩大小为ldfdm dlii2210(方向垂直纸面向外方向垂直纸面向外)由于各电流元所受磁力对由于各电流元所受磁力对o点的力矩方向点的力矩方向相同相同,所以整个导线所以整个导线ab所受磁力对所受磁力对o点的点的