全等三角形中的倍长中线与截长补短法

1、倍长中线与截长补短法辅助线一般作法三角形三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。三角形中有中线，延长中线等中线。 例1：abc中，ab=5

2、，ac=3，求中线ad的取值范围 提示：画出图形，倍长中线ad，利用三角形两边之和大于第三边 例2：已知在abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延长线上，de交bc于f，且df=ef，求证：bd=ce 方法1：过d作dgae交bc于g， 方法2：过e作egab交bc的延长线于g， 方法3：过d作dgbc于g，过e作ehbc的延长线于h?f?e?c?a?b?d 例3：已知在abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，且be=ac，延长be交ac于f，求证：af=ef 提示：倍长ad至g，连接bg， 证明bdg cda ?三角形beg是等腰三角形?f?e?d?a?b?c 例4：已知：如图

3、，在中，d、e在bc上，且de=ec，过d作交ae于点f，df=ac. 求证：ae平分bac 提示： 方法1：倍长ae至g，连结dg 方法2：倍长fe至h，连结chbacbac?第?1?题图?a?b?f?d?e?c在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图例如：如图5-1：ad为为 abc的中线，求证：的中线，求证：ab+ac2ad分析：要证分析：要证ab+ac2ad，由图想到：由图想到： ab+bdad,ac+cdad，所以有所以有ab+ac+ bd+cd ad +ad=2ad，左边比要证结论多左边比要证结论多bd+cd，故不能

4、直接证出此题，故不能直接证出此题，而由而由2ad想到要构造想到要构造2ad，即加倍中线，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长证明：延长ad至至e，使，使de=ad，连接，连接be，ce ad为为abc的中线的中线 （已知）（已知） bd=cd （中线定义）（中线定义） 在在acd和和ebd中中 bd=cd （已证）（已证） 1=2 （对顶角相等）（对顶角相等） ad=ed （辅助线作法）（辅助线作法） acd ebd （sas） be=ca（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在abe中有：中有：ab+beae（三角形两

5、边之和大（三角形两边之和大于第三边）于第三边） ab+ac2ad。（常延长中线加倍，构造全等三角形）（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习 已知abc，ad是bc边上的中线，分别以ab边、ac边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，?求证ef=2ad。? abcdef25 -图二、截长补短法作辅助线?要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。?截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。?所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。让我们来大显身手吧！例如：已知如图6-1：在abc中，abac，1=2，p为ad上任一点?求

6、证：ab-acpb-pc。?要证：ab-acpb-pc，想到利用三角形三边关系定理证明。因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边ab-ac故可在ab上截取an等于ac，得ab-ac=bn再连接pn，则pc=pn，又在pnb中，pb-pnpb-pc。思路导航证明：（截长法）在证明：（截长法）在ab上截取上截取an=ac连接连接pn 在在apn和和apc中中 an=ac（辅助线作法）（辅助线作法） 1=2 （已知）（已知） ap=ap （公共边）（公共边） apn apc （sas）pc=pn （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在bpn中，有中，有 pb-p

7、nbn （三角形两边之差小于第（三角形两边之差小于第三边）三边） bp-pcpm-pc(三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边) ab-acpb-pc。 在在?abc中，中，acb=90，ac=bc,直线直线mn经过点经过点c，且且admn于于d，bemn于于e。求证：求证：de=ad+be证明：证明：213?1+3=90.?1+2=90. 2=3.adc= ceb adc ceb ad=ce,cd=be?de=ad+be?acb=90?，bemn，admn,?adc= ceb=90.在在?adc和和ceb中中,ac=bc2=3?de=ce+cd例例题题讲讲解解1.在在abc中中,

8、b2c, ad平分平分bac.求证：求证：ab+bd=acabcde证明：证明：在在ac上截取上截取a e=ab，连结，连结d e ad平分平分bac 12, 在在abd和和 aed中中12a b=aea d=ad abd aedbd=de, b3 3= 4+ c b2c 3=2c 2c = 4+ cde=cebd=ceae+ec=ac ab+bd=ac1234 c 4截长法截长法例例题题讲讲解解在在abc中中, b2c, ad平分平分bac.求证：求证：ab+bd=acabcde在在ab的延长线截取的延长线截取b e=bd，连结连结d e.证明：证明：补短法补短法在射线在射线 ab截取截取b

9、 e=bd，连结连结d e. 截长法与补短法，具体做法是在某条截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长使之与特定线段相等，是将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目分等类的题目?如图，如图，adbc，ae, be分别平分分别平分dab,cba， cd经过点经过点e，求证：求证：abad+bc e d c b a练习练习 在等边在等边abc的两边的两边ab、ac所在直线

10、上所在直线上分别有两点分别有两点m、n，d为为abc外一点，且外一点，且mdn=60, bdc=120, bd=dc. 探究：当探究：当m、n分别在直线分别在直线ab、ac上移动时，上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系之间的数量关系. 如图如图1，当点，当点m、n边边ab、ac上，且上，且dm=dn时，时，bm、nc、mn之间的数量关系是之间的数量关系是?abcdmn思考题思考题 在等边在等边abc的两边的两边ab、ac所在直线上所在直线上分别有两点分别有两点m、n，d为为abc外一点，且外一点，且mdn=60, bdc=120, bd=dc. 探究：当探究：当m、n分别在直线分别在直线ab、ac上移动时，上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系之间的数量关系. 如图如图2，点，点m、n边边ab、ac上，且上，且当当dmdn时，猜想（时，猜想（i）的结论还成立吗