静力学空间力系

1、61 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题62 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影63 力对轴的矩力对轴的矩64 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程65 重心重心的概念的概念 66 重心重心坐标公式坐标公式 6-7 物体重心的求法物体重心的求法第六章第六章 空间力系空间力系42p2pppaaaab61 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法） cos, cos, cosfzfyfxxzfo zyxy 由图可知：6-2 6-2 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影6cossin fxsinsin fycosfz 二次投影法（

2、间接投影法）二次投影法（间接投影法）zxfofxy zyxy 当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 f 投影到xy面上，得到fxy，然后再投影到x、y轴上，即7力沿坐标轴分解力沿坐标轴分解： 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： zyxfff,zyxffff222zyxffzfyfxcos,cos,coskzfjyfixfzyx , ,而：kzjyixf所以：zxfofzfyfxykjixyzfacbo例例1已知：f、a、b、c，求：fz，解：fcbac222 fz =fcbaafx222 fcbabfy222xyzfaaaao例例2已知：f、a、求：fx， fy， fz解：f31xfyf

3、f31f31zf10与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。汇交点。nffffr321合力在轴的投影为合力在轴的投影为: 用 代入上式kzjyixfiiiixryrzr2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件：kzjyixriii)()()(合力zyxf1f3f2rixiyizif11222 :zyxrrrr合力,cosrrx方向：222)()()(zyx,cosrryrrzcos12 0x 0y 0z 称为称为空间汇交力系的平衡方程空间汇交

4、力系的平衡方程 平衡充要条件为：0r空间汇交力系平衡的充要条件：空间汇交力系平衡的充要条件：222 zyxrrrr即：即：力系的合力为零力系的合力为零222)()()(zyx136-3 6-3 力对轴的矩力对轴的矩1.力对轴的矩力对轴的矩工程中经常遇到刚体绕定轴转动的情形。力对轴的矩力对轴的矩是力对定轴转动刚体定轴转动刚体的作用效果的度量。)(fmz方向规定：hfxy)(xyofmzfhofzfxy 力对轴的矩力对轴的矩是代数量，绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。右手螺旋法则，与坐标轴正向一致为正。1.力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩等于零的情形：力对轴的矩等

5、于零的情形：力与轴平行力与轴平行力与轴相交力与轴相交力力f与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴之矩为零。xyzfacbo例例3已知：f、a、b、c，求：mx(f)解：cffmyx)(cfcbab222 fcbabc222 例例4zxyfaa30已知：f、a、求：mx(f)、 my(f)、mz(f)解：0)(fmxaffmy 30sin)(affmz 45sin30cos)(例例5已知：f=60kn，a=10cm求：mx(f)、 my(f)、mz(f)解：zxyaaafzxfo1341252y334)(yxzfffm例例5已知：f=60kn，图中长度单位：cm求：mx(f)、 my(f

6、)、mz(f)解：432)(ffmx(kncm)332)(ffmycm)kn(160cm)(kn 120100331432ff20 已知已知:f=1000n 求：力求：力p 对z轴的矩解解：例例ffx351ffy353)()()()(zzyzxzzfmfmfmfmffz3550150)50100(yxffm)n(4 .10121 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必须用矢量表示。一、力偶矩用矢量表示：一、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为右手螺旋定则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。2.2. 空间力偶空间力偶m空间力偶是一个自由矢量：可以进行平移和滑动。平移

7、滑动23二、空间力偶的等效条件二、空间力偶的等效条件力偶矩矢相等力偶矩矢相等力偶矩矢的大小相等、方位、转向相同。力偶矩矢的大小相等、方位、转向相同。两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效。两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效。24由此可得出，空间力偶矩是自由矢量空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素： 力偶矩的大小力偶矩的大小= 力偶矩的方向力偶矩的方向与力偶作用面法线方向相同 转向转向遵循右手螺旋规则。m三、空间力偶系的合成与平衡三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矢 = 分力偶矩

8、的矢量和nmmmmm321zm1m2m3xyxzm1m2m3ymimkmjmimmzyx解析式：izziyyixxmmmmmm;222zyxmmmm合力偶矢的大小和方向：mmmmmmzyxcos,cos,coszxym1m2m3m270imm显然空间力偶系的平衡条件是：222zyxmmmm0 xm0ym0zmzyx例例3求合力偶求合力偶m2m1zyxm2221mmmhfmbfm2211yxzf1f2f2f1bh29 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间

9、坐标系。 nffff321, 设作用在刚体上有设作用在刚体上有空间一般力系空间一般力系向向o点简化点简化（o点任选）点任选）6-4 6-4 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程一、空间任意力系向一点的简化一、空间任意力系向一点的简化30根据力线平移定理，将各力平行移到o点，得到一空间汇交力系： 和附加力偶系 , , 321nffffnmmm,21由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于o点。mmm31合成 得主矩nmmm,21om合成 得主矢, , 321nffffr（主矢 过简化中心o，其大小和方向与o点的选择无关）rom（主矩 与简化中心o有关）mmm132222zyxrrrr主矢主矢:

10、主矩主矩:;222zyxommmmmxmymzxryrzr222)()()(zyxxr yr zr ixiyiz)(ixxfmm)(iyyfmm)(izzfmm222)()()(fmfmfmzyx33空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程0)( , 00)( , 00)( , 0fmzfmyfmxzyx二、空间任意力系的平衡方程二、空间任意力系的平衡方程mxmymzxryrzr222)()()(zyxr222)()()(fmfmfmmzyxo34空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程：0)( , 0 , 0fmyxzxyz1f2f3f4f0)(0)(, 0fmfmzyx 351、球

11、形铰链、球形铰链三、空间约束三、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例例362、向心轴承，滚珠（柱）轴承，蝶铰链、向心轴承，滚珠（柱）轴承，蝶铰链373、止推轴承、止推轴承 384、带有销子的夹板、带有销子的夹板395、空间固定端、空间固定端40滑动轴承滑动轴承例例 三轮小车，三轮小车，p=8kn，p1=10kn，求地面对车轮的反力。，求地面对

12、车轮的反力。解：，0)(fmx022 . 12 . 01dfppkn8 . 5 df，0)(fmy02 . 16 . 06 . 08 . 01bdffppkn777. 7 bf，0z01dbafffppkn423. 4 af例6zyxabcdp45已知：杆ab与cd等长，在中点e铰接， ac=bc=a ，p=500n，求绳子的拉力和支座a、c的反力。e解：整体zyxabcd45fczfcyfcxfazfaxfayfbpe， 0)(fmy， 0)(fmxn)(708bfn)(500azfzyxabcdp45045cos apafb0apafaz， 0zn)(500czf045sinpfffbaz

13、czzyxabcd45fczfcyfcxfazfaxfayfbpe， 0)(fmz0ayf0afay， 0yn)(500cyf， 0x045cosbaycyfff; 0axcxffzyxbcdfczfcyfcxfezfexfeype， 0)(fmzcycxffcxaxffcd杆zyxabcdp450afafcycxn)(500n)(5002p2pppaaabaddyzx例例7已知：已知：p、d、a，求求a、b 处的支反力。处的支反力。fbzfbxfazfax解：0)(, 00)(, 00)(, 0fmzfmyfmxzyx2p2pppaaabaddyzxfbzfbxfazfax解：，0)(fmx

14、, 033apafbzpfpfpfpfaxbxazbz,2,2,，0z，0)(fmz，0x, 03 pffbzaz, 0233apafbx03 pffbxax例例皮带拉力f2=2 f1 ，f=2kn，d=0.4m，r=0.3m，=30 , =60，求皮带的拉力和轴承反力。解：整体; 0)(fmy02212dfdffrkn3 2112fff; 0)(fmx04 . 02 . 0 2 . 060cos2 . 030cos21bzffffn1799 bzf; 0)(fmz04 . 0 2 . 060sin2 . 030sin21bxfffn3348 bxf; 0x060sin30sin21bxaxf

15、fffn1004 axf; 0z0 60cos30cos21bzazfffffn9397 azf例r =100mm, r =200mm, p =10kn，求a、b的支反力和链条的拉力。链条的主动边拉力是从动边拉力的两倍。3030300300400mprrabxzy解：3030300300400mprrabxz解：3030300300400prrabxyzfbzfbxfazfax2tt; 0)(fmy02rtrprtkn5prrt; 0)(fmz06 . 0)30cos2(6 . 0)30cos(1ttfbxkn8 . 7bxf3030300300400prrabxyzfbzfbxfazfax2

16、tt; 0x030cos230cosbxaxfttfkn2 . 5axf3030300300400prrabxyzfbzfbxfazfax2tt; 0)(fmxkn5 . 1bzf03 . 06 . 0)30sin2(6 . 0)30sin(1pttfbz; 0z030sin230sinpfttfbzazkn6azf586-5 6-5 重心的概念重心的概念 地球对物体的引力称为重力。重力作用于物体内每一微地球对物体的引力称为重力。重力作用于物体内每一微小部分，是一个分布力系，由于物体的尺寸与地球的半径相小部分，是一个分布力系，由于物体的尺寸与地球的半径相比小得多，因此可近似地认为这个力系是空间

17、平行力系，此比小得多，因此可近似地认为这个力系是空间平行力系，此平行力系的合力一般称为物体的平行力系的合力一般称为物体的。不论物体如何放置，其重力的作用线总是通过物体内的一个确定的点，这一点称为物体的。重心的位置在工程中由重要意义。zxpycoyxcyixizizcpimic vi59物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n )，常用积分法求物体的重心位置。zxpycoyxcyixizizcpimic vi,pypypxpxiiciicipp由合力矩定理：66 重心重心坐标公式坐标公式pzpziiciicypypiicxpxp60对于均质物体，单位体积的重

18、量 =常数；vi为第i个小体积，则 vpvpii;积分表达式为：vdvzzvdvyyvdvxxvcvcvc , ,vzvzvyvyvxvxiiciiciic , ,vxvxiic ,vyvyiic vzvziic 61 可见：对于均质物体，重心与物体的单位体积的重量（比重）无关，只与物体的形状有关，因此均质物体的重心也称为物体的薄板的重心（形心）公式：薄板的重心（形心）公式：vxvxiiczxycaivi=tai v=ta,ayayaxaxiiciictaxatii,axaii62,d,daayyaaxxacac积分表达式为：积分表达式为：静矩：静矩：axaysdayc称为图形对称为图形对x

19、轴轴的静矩。的静矩。 （面积矩、一次矩）（面积矩、一次矩）xsxycxcycdayx63 6-7 物体重心的求法物体重心的求法ayayiic由解解：cm348 cm4 , 21 ,80cm212221)r(y,yraa 求：该组合体的重心？求：该组合体的重心？已知：例例10 组合法（分割法和负面积法）分割法212211 aayayacm0 . 6aa204002002015012315求求z形截面形截面重心的位置。重心的位置。例例6-4解解：axaxiic300054004000)60(30005 . 754001004000321332211aaaxaxaxamm)(21204002002015012315202001a153602a201503amm1001xmm5 . 72xmm603xxyayayiic321332211aaayayaya2040020020150123xy1530005400400039030002005400104000mm)(7 .184202001a153602