曲线坐标计算29页

1、曲线坐标计算一、 圆曲线圆曲线要素：-曲线转向角 r-曲线半径根据及r可以求出以下要素： t-切线长 l-曲线长 e-外矢距 q-切曲差（两切线长与曲线全长之差） 各要素的计算公式为： (弧长)（sec=cos的倒数）圆曲线主点里程：zy=jdt qz=zyl2 或 qz=jdq /2 yz=qzl2 或 yz=jdtq jd=qzq2（校核用）1、基本知识u 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。u 表示方法：dk26284.56。“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。ck 表示初测导线的里程。dk 表示定测中线的里程。 表示竣工后的连续里程。铁路和公

2、路计算方法略有不同。 2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。1）计算zy、yz点坐标通用公式： 2）计算曲线点坐标 计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。li 为 i 点与zy点里程之差。 弧长所对的圆心角 弦切角 弦的方位角当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。 计算弦长 计算曲线点坐标此时的已知数据为：zy（xzy，yzy）、 azy- i、 c。根据坐标正算原理：切线支距法 这种方法是以曲线起点zy或终点yz为坐标原点，以切线为x轴，以过原点的半径为y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中

3、的坐标可由以下公式求得：式中：为zy(yz)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为zy时，“”取“”，x0=x(zy), y0=y(zy), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；当起点为yz时，“”取“-”，x0=x(yz), y0=y(yz), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质 圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理 弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式 由 l/r=n/180 得l=nr/ 180=nr/180 二、 缓和曲线（回旋线）缓和曲线主要有以下几类：a：对称完整缓和曲线（基本形）-切线长、ls1与ls2都相等。b: 非对

4、称完整缓和曲线-切线长、ls1与ls2都不相等c: 非完整缓和曲线（卵形曲线）-连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线d: 回头曲线-回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180度。1、 基本形缓和曲线 基本公式： =a2/l a=rls为缓和曲线上任意点的曲率半径 a为回旋线参数l为缓和曲线上任意点到起点（zh）的距离（弧长）ls为缓和曲线的全长切线角公式：缓和曲线直角坐标任意一点 p 处取一微分弧段 ds ，其所对应的中心角为 d xdx=dscos xdy=dssin x缓和曲线常数主曲线的内移值 p 及切线增长值 q内移值： p=ys-r

5、(1-coss)=ls2/24r切线增长值： q=xs-rsins=ls/2-ls3/240r2缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角： s=ls/2r 180总弦长： cs=ls-ls3/90r2缓和曲线要素计算切线长外距 曲线长 圆曲线长切线差平曲线五个基本桩号：zh hy qz yh hz缓和曲线主点里程：zh=jd-t hy=zh+ls yh=hy+ly hz=yh+lsqz=zh+l总/2=hz-l总/2 jd=qz+q/2（校核）缓和曲线上任意点坐标计算切线支距法：以缓和曲线起点zh(hz)点为坐标原点，起点的切线为x轴，过原点的垂直于切线的垂线为y轴建立坐标系，则缓和曲线上任意一点的切线

6、支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：为zh(hz)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为zh时，“”取“”，x0=x(zh), y0=y(zh), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；当起点为hz时，“”取“-”，x0=x(hz), y0=y(hz), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；曲线上任意点的方位角(i)=（zh或hz） 为切线角 为右转“”左转“”当点位于圆曲线上，有：其中， ， 为点到坐标原点的曲线长。2、 非对称完整缓和曲线 由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合，于是引入非对称缓

7、和曲线型平曲线。非对称缓和曲线在计算时较困难，不能简单套用对称缓和曲线的公式。以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理。（1）计算原理如图1所示，平曲线由非对称缓和曲线ls1、ls2及半径r的圆曲线组成，jd为平曲线切线交点，转角。由于平曲线两端的缓和曲线不等长，因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式。平曲线各要素计算：注：第一式最后一项应 +q1根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点（zh或hz）坐标：x(zh)=x(jd)+t1cos y(zh)=y(jd)+t1sin 为jdzh方位角x(hz)=x(jd)+ t2cosy(zh)=y(jd)+t2

8、sin 为jdhz方位角曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来计算求出。3、 非完整缓和曲线（卵形曲线）卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线，即卵形曲线是缓和曲线的一段，在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段。首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即zh或hz点桩号、坐标和切线方位角。这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算。（1） 卵形曲线参数 式中：r大，r小为卵形曲线相连的两圆曲线半径，为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度。（2） 与相对应的完整缓和曲线的长度为 （3） 卵形曲线的起点q（接大

9、半径圆的点）至假设存在的完整缓和曲线起点zh或hz点的弧长为或 =（4） 与对应的弦长为 又因为q-切线角 q-切点q至假设起点zh(hz)的弦切角故可得，q点至zh点的方位角zh点的切线方位角q点至hz点的方位角hz点的切线方位角求得卵形曲线起点q至zh(hz)的弦长和方位角后，则zh(hz)点的坐标为求出假设的zh(hz)点的坐标后，就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标。上面的公式（3）到（11）是以不完整缓和曲线的起点q（接大圆点）来计算假设的完整缓和曲线起点zh(hz)的坐标。也可以以接小圆的缓和曲线终点yh(hy)来计算起点zh(hz)坐标。如下： 与相对应的完

10、整缓和曲线的长度为 与对应的的弦长为总弦长： cs= ls-ls5/90r2 ls2= ls-ls3/90r2 接小圆的yh(hy)点的切线角总偏角： s=ls/2r 180 接小圆的yh(hy)点到假设起点zh(hz)的弦切角 设接小圆的yh(hy)点为z，则z点至zh点的方位角 （z-zh）=(z)180 zh点的切线方位角 （zh）=(z)(z) z点至hz点的方位角 （z-hz）=(z) hz点的切线方位角（hz）=(z)(z) zh(hz)点的坐标为 (设接小圆的yh(hy)点为z)x(zh或hz)=x(z)+ cs cosz-zh(hz)y(zh或hz)=y(z)+ cs sinz

11、-zh(hz) cs为弦长注：卵形曲线上大圆包含小圆，也就是说接小圆处的曲率半径为r小，沿大圆方向曲率半径渐大。假设的完整缓和曲线的起点zh(hz)在大圆那边。4、 回头曲线什么是回头曲线 回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180度。在实际中，我们确实经常在山区道路碰到回头曲线，基本的感觉就是一个急弯，并且转了一百八十度，跟掉头差不多，也就是前面描述的：转角接近、等于或大于180度。下图是湘西“公路奇观”的连续回头曲线。这里所讨论的回头曲线，主要是基于其平面坐标计算的特殊性而言的，它只有一个定义，就是：转角大于或等于180度，由于实际使用中很少有转角正好

12、等于180度的情况，所以就是指转角大于180度这种情况了。为什么这么定义呢，因为一般情况下，交点与曲线的关系是：交点在曲线的外侧，即便是转角接近180度，它的交点也在曲线外侧，如下图：而当转角等于180度时，则成为两条平行线，没有交点，或者说无限远，其曲线位置不具有唯一性，这种情况实际中几乎不会采用；而当转角大于180度时，则交点的位置就比较特殊了，如下图：这个图中，jd1和jd3是普通情况下的交点，均在曲线的外侧，而jd2的转角大于180度，其位置在曲线的内侧，这种情况，才是本此讨论的回头曲线。回头曲线的计算（1）曲线要素的计算先看一个案例，邵怀高速公路溆浦连接线（二级公路），有一个回头曲线

13、，其曲线设计参数如下：jd5，交点坐标x=3046429.812，y=450083.958，转角2240821.8（左转），半径60m，缓和曲线长35m，曲线zh点桩号k49+302.600，切线方位角3592317.9，平面图形如下所示：交点桩号：zh点桩号k49+302.600加上切线长t，结果为k49+169.972。从这个计算结果来看，我们发现与一般曲线要素不同的地方是：1切线长t和外距e为负值；2交点桩号比zh点桩号小。设计文件中的直曲表数据也表明了这一点：（2）中桩坐标的计算虽然回头曲线的曲线要素与普通曲线有一些特别的地方，但现在我们更关心的是，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能

14、否计算出准确的结果。答案肯定是不能的，否则我也不会写这篇文章，在这里白费神了。中间具体的计算过程我就不展示了，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能够计算出各个桩号的坐标，只可惜是错误的结果。按照这个错误的结果，展示该回头曲线的图形如下：回头曲线的处理回头曲线按照普通曲线中桩坐标计算方法不能得到正确的结果，原因在于它的交点实际在曲线内侧，而程序则把它当作普通曲线来处理，从上面那个图形即可看出。处理的方法很简单，就是把回头曲线一分为二，分成两个普通曲线，如下图所示，将jd5对称地分为jd5a和jd5b。这样，只要把jd5 a和jd5b当作普通曲线交点进行计算就行了。首先需要确定jd5 a和jd5b

15、的相关参数，先看jd5a。1）计算终点。显然，jd5a的计算终点就是回头曲线的曲中点，从设计文件直曲表上可查得，是k49+437.459；2）本交点桩号。jd5a的桩号嘛，应该是回头曲线的zh点加上jd5a曲线的第一切线长。回头曲线的zh点在直曲表上有，k49+302.600，而jd5a曲线的第一切线长，那就需要计算一下了。根据示意图，由于图形的对称性，jd5a和jd5b的切线长有两个：t1和t2，jd5a的曲线要素为：半径r=60m，第一缓和曲线ls1=35m，第二缓和曲线ls2=0m，交点转角是回头曲线转角的一半，即2240821.8/2=1120410.9，可计算得：t1=106.865

16、m，t2=89.986m。则jd5a的桩号= 49302.600+106.865=49409.4653）本交点x/y坐标。根据坐标正算原理，按照几何关系，已知jd5的坐标为x=3046429.812，y=450083.958，jd5-jd5a的距离=106.865+132.628=239.493m，jd5-jd5a的坐标方位角3592317.9，容易得出jd5a的坐标为：x=3046669.291，y=450081.401。4）交点之前直线方位角，就是jd5-jd5a的坐标方位角3592317.9（也是jd5zh点的方位角）。5）交点转角。交点转角是回头曲线转角的一半，即2240821.8/2=1120410.9，左转。6）平曲线半径及缓和曲线长度。半径r=60m，第一缓和曲线ls1=35m，第二缓和曲线ls2=0m。7）交点计算起终点桩号。就是曲线的起终点桩号，49302.600