启杰教育高中数学三角函数专题

1、启杰教育三角函数专题启杰教育三角函数专题一、三角函数的概念一、三角函数的概念(1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与终边相同的角,连同在内,可构成集合或0|360,kkz |2,kkz (2) 象限角：第一象限角的集合|22,2xkxkkz第二象限角的集合|22,2xkxkkz第三象限角的集合|22,2xkxkkz第四象限角的集合|22,2xkxkkz(3) 角度、弧度的换算关系：（1）,3602 rad1180rad1801rad（4）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为 ,圆心角为,半径为,则,扇形的面积l()radrlr 21122slrr(5)、三角函数定义： 若是角终边上任意异于的

2、一点,为坐标原点,则,p x yoooprsin,cos,tan,cotyxyxrrxy(6)、三角函数在各象限的符号规律：口诀口诀“一全正一全正, 二正弦二正弦,三正切三正切,四余弦四余弦. （）sincostancot二、同角三角函数的基本关系与诱导公式二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系： ，tancot1cos1sec ， sin1costan1cot（2）商的关系： （3）平方关系：sincostan,cot.cossin22sin1cos2、诱导公式函数+xsin xcosxtan xcot xsincostancot2cossincott

3、ansincostancot32cossincottan2sincostancot 例例 1已知_cot051cossin），则，（，解：解： ），（，051cossin 两边同时平方，有联立，与51cossin02512cossin 求出，53cos54sin43cot例例 2若，则=（ ）316sin232cosa b c d97313197解解：=232cos)23(cos=1+2=.故选 a.)23cos()6(sin297例例 3已知.51cossin, 02xxx （1）求 sinxcos x 的值； （2）求的值.xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322

4、解法一解法一：（1）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得 即 .2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx 又 故 , 0cossin, 0cos, 0sin, 02xxxxx.57cossinxx （2）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222 125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx 解法二解法二：（1）联立方程. 1cossin,51cossin22xxx 由得将其代入，整理得,cos51sinxx, 0

5、12cos5cos252xx 故 .54cos,53sin, 02.54cos53cosxxxxx或.57cossinxx （2）xxxxxxcottan2cos2cos2sin2sin322xxxxxxsincoscossin1sin2sin22125108)53542(54)53()sincos2(cossinxxxx三、两角和与差的三角函数三、两角和与差的三角函数1、两角和与差的三角函数公式：,。sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan2,二倍角公式 ；22tansin22sincos1tan；2222221tancos2c

6、ossin2cos11 2sin1tan 22tantan21tan注意：熟悉以下公式变形（1）（2）tantantan1tantan221 cos21cos2sin;cos22（3） （4）221cos2cos,1 cos2sin2221 sinsincos22 例例 11 在abc 中，2sina+cosb=2，sinb+2cosa=，则c 的大小应为( )3abc或d或63665332解解：a 例例 22 abc 中，已知 cosa=，sinb=，则 cosc 的值为（ ）13553 a. b. c.或 d.65166556651665566516解解：a 例例 33 已知是第三象限的角

7、，若等于（ ）sincossin44592，则a. b. c. d. 2 232 234323解解：选 a.解析：解析：sincos44 (sincos)sincos222222 1122592sin sin2289 2232422432022 23kkkkkz（）sinsin四、三角函数的图象及性质四、三角函数的图象及性质函数sinyxcosyxtanyx图象o322yoo232定义域rr|,2x xkkzyx22x32xy2值域 1,1 1,1r奇偶性奇函数偶函数奇函数有界性sin1x cos1x 无界函数最小正周期222,222()32,222()kkkzkkkz增区间减区间2,2()2

8、,2()kkkzkkkz增区间减区间,22()kkkz增区间对称轴()2xkkz()xkkz无对称轴对称中心,0kkz,02kkz,02kkzmaxmin221;221xkkzyxkkzy 时，时， maxmin21;211xkkzyxkkzy 时，时， (0,0)a函数sinyaxcosyaxtanyax定义域rr22|,2kx xkz值域,a a,a ar奇偶性时是奇函数,kkz时是偶2kkz函数。时是2kkz奇函数,时kkz是偶函数。时是奇函数kkz有界性sinaxacosaxa无界函数无最值最值单调区间最小正周期224242,22()42432,()22kkkzkkkz增区间减区间22

9、,()22,kkkzkkkz增区间减区间2222,22()kkkz增区间对称轴22()2kxkz()kxkz无对称轴对称中心,0kkz22,02kkz2,02kkzmaxmin422;422kxkzyakxkza 时，时，ymaxmin2;(2)kxkzyakxkza 时，时，y 注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求上的取值范围。sin,0,42（2）注意求单调区间时的整体意识。如：求的单调增区间,在上的单调增区间。sin 26yx0,2而求单调增区间时,先化成的形式,再求的单调递减sin26yxsin 26yx sin 26yx区间。（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意

10、识,同时在对称轴处取最值。sincosyxyx、五、图象变换：五、图象变换：函数的图象可由的图象做如下变换得到sin0,0yaxasinyx1、先相位变换 周期变换 振幅变换 ：把图象上所有的点向左（） 或向右（）sinyxsinyxsinyx00平移个单位。 ：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩sinyxsinyx01无最值最值单调区间短（）到原来的 倍,纵坐标不变。11 ：把图象上各点的纵坐标伸长（）或缩短sinyaxsinyx1a （）到原来的 a 倍,横坐标不变。01a2、先周期变换 相位变换 振幅变换：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩短（sinyxsinyxsinyx01）到原来的 倍

11、,纵坐标不变。11：把图象上所有的点向左（）或向右（）平移sinyxsinyx00个单位. ：把图象上各点的纵坐标伸长（）或缩短（sinyaxsinyx1a ）到原来的 a 倍,横坐标不变。01a3、 注意：（1）要会画在一个周期的图象：（用“五点法”作sinyax)sin(xay图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描)0, 0(ax2, 02 ,23,xy点作图). 例例 11 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）62sinxyxy2cos a 向右平移 b 向右平移 c 向左平移 d 向左平移6363解解：b 例例 2 2函数为增函数的区间是 ( ), 0)(26sin(

12、2xxya. b. c. d. 3, 0127,1265,3,65解解： c 例例 33函数的最大值为_.f xxxx( )sin coscos342解解：f xxxx( )sincossin()32241225222 当时，取最大值sin()( )2152212xf x 例例 44 函数的部分图像是（ ）yxx cos y y y y o o x o x x o x a b c d 解：解：选 d.提示：提示：显然caxxy、为奇函数，故排除cos bdyxxyxx选，故弃时，纵坐标且即当横坐标，判断出相应的且令000000 例例 55 当223xyxx时，函数的（）sincos a. 最大

13、值为 1，最小值为-1 b. 最大值为 1，最小值为12 c. 最大值为 2，最小值为 d. 最大值为 2，最小值为21解解：选 d解析：解析：，而yxxxsincossin()32322x xx36563121，故，sin() yymaxmin21，高考试卷数学三角试题汇集高考试卷数学三角试题汇集选择题选择题1.（北京卷）（北京卷）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 （a）sin(+)sin+sin （b）sin(+)cos+cos （c）cos(+)sinsin （d）cos(+)coscos2.（北京卷）（北京卷）函数 f(x)= 1 cos2cosxx（a）在上递增，在上递减0,)

14、,(, 2233 ,),(,2 22 （b）在上递增，在上递减30,), ,)223(, ,(,2 22 （c）在上递增，在上递减3(, ,(,2 2230,), ,)22 （d）在上递增，在上递减33 ,),(,2 220,),(, 223.（全国卷（全国卷）当时，函数的最小值为 20 xxxxxf2sinsin82cos1)(2（a）2（b）（c）4（d）32344.（全国卷（全国卷）在中，已知，给出以下四个论断： abccbasin2tan 1cottanba2sinsin0ba1cossin22ba 其中正确的是cba222sincoscos（a）（b）（c）（d）5.（全国卷（全国卷

15、）函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (a) (b) （c） （d）2426.（全国卷（全国卷）已知函数 y =tan 在（-，）内是减函数，则 x22（a）0 1 （b）-1 0 （c） 1 （d） -17（全国卷（全国卷）已知为第三象限角，则所在的象限是 2 （a）第一或第二象限（b）第二或第三象限（c）第一或第三象限（d）第二或第四象限8.（全国卷（全国卷）设,且,则 02x1 sin2sincosxxx(a) (b) (c) (d) 0 x744x544x322x9.（全国卷（全国卷） 22sin2cos1 cos2cos2(a) (b) (c) 1

16、(d)tantan21210.(浙江卷浙江卷)已知 k4，则函数 ycos2xk(cosx1)的最小值是( )(a) 1 (b) 1 (c) 2k1 (d) 2k111(浙江卷浙江卷)函数 ysin(2x)的最小正周期是( )6(a) (b) (c) 2 (d)4212 （江西卷）（江西卷）已知（ ）cos, 32tan则abcd54541545313.（江西卷）（江西卷）设函数为（ ）)(|,3sin|3sin)(xfxxxf则a周期函数，最小正周期为b周期函数，最小正周期为323c周期函数，数小正周期为d非周期函数214.（江西卷）（江西卷）在oab 中，o 为坐标原点，则当oab 的面积

17、达最2, 0(),1 ,(sin),cos, 1 (ba大值时，（ ）abcd643215、 （江苏卷）（江苏卷）若，则=（ ）316sin232cosa b c d9731319716 （湖北卷）（湖北卷）若（ ）则),20(tancossinabcd)6, 0()4,6()3,4()2,3(17 （湖南卷）（湖南卷）tan600的值是（ ）abcd33333318 （重庆卷）（重庆卷）（ ）)12sin12)(cos12sin12(cosa b c d2321212319 （福建卷）（福建卷）函数的部分图象如图，)20 , 0,)(sin(rxxy则（ ）ab4,26,3cd4,445,4

18、20 （福建卷）（福建卷）函数在下列哪个区间上是减函数（ ）xy2cosa b c d4,443,42, 0,221.（山东卷）（山东卷）已知函数，则下列判断正确的是（ ） )12cos()12sin(xxy （a）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是2)0 ,12( （b）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是)0 ,12( （c）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是2)0 ,6( （d）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是)0 ,6(22（山东卷）（山东卷）函数，若，则的所有可能值为（ ）0,01),sin()(12xexxxfx2)() 1 (affa （a

19、）1 （b） （c） （d）22, 12222, 1 23.（天津卷）（天津卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ xycos2)42sin(2xy）(a)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度218(b)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动个单位长度214(c)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动个单位长度4(d)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动个单位长度824（天津卷）（天津卷）函数),2, 0)(sin(rxxay的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）（a） （b）)48sin(4xy)

20、48sin(4xy（c） （d）)48sin(4xy)48sin(4xy填空题：填空题：1.（北京卷）（北京卷）已知 tan =2，则 tan 的值为，tan的值为 234()42.（全国卷（全国卷）设 a 为第四象限的角，若 ，则 tan 2a =_.513sin3sinaa3.（上海卷）（上海卷）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则2 , 0|,sin|2sin)(xxxxfky 的取值范围是_。k4.（上海卷）（上海卷）函数的最小正周期 t=_xxxycossin2cos5.（上海卷）（上海卷）若，则=_。71cos2, 03cos6.（湖北卷）（湖北卷）函数的最小正周期与最大值的和为 .1cos|sin|xxy7.（湖南卷）（湖南卷）设函数 f (x)的图象与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a，b上的面积，已知函数 ysinnx 在0