事件的独立性概率与数理统计

1、例例 1 1袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出一球，取后放回令： a= 第一次取出白球 ， b= 第二次取出白球 ，则 bbp ap babab|bbp b ap b aabab说说 明明由例 1，可知这表明，事件 a 是否发生对事件 b 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 a 与 b 呈现出某种独立性事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变由此，我们引出事件独立性的概念 abpbp 0.52ca n n个事件的相互独立性个事件的相互独立性等式成立：个随机事件，如果下列为，设naaan2

2、1 nnmiiiiiikjikjijijiapapapaaapniiiapapapaaapnkjiapapapaaapnjiapapaapnm2121211)(112121个随机事件相互独立这，则称nnaaa21说 明在上面的公式中，个等式一行共有，最后个等式，个等式，第二行有第一行有nnnnccc32因此共有10322nnnnnnncccccnn12个等式. 三 独立试验概型 定义1：若试验的可能结果只有两个a或a，若p a =p，则p a =1-p=q,则称此试验为贝努里试验。1234如：e：抛掷一枚硬币； e ：对目标进行一次射击，命中与否； e ：检查产品的合格与否； e ：抛掷一枚骰

3、子，出现的点数；都是贝努里概型，所以它是具有广泛现实背景的一种数学模型。n 定义2:独立重复进行n次贝努里试验e所构成的序列试验,称为n重贝努里试验或贝努里概型，记为e 。 （独立即其中任一次试验的结果与其它次试验结果无关）1234 如：e：抛掷同一枚硬币n次；e ：对目标进行n次射击 e ： 检查n件产品； e ：抛一枚色子n次 例：一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，求3次中恰有两次取到废品的概率。 aabaabaabaaaaaaaaaaaaaaaaaa23解： 在此3重贝努里试验中 发生了两次，发生了一次，于是所求事件 就由2个 和1个 按不同

4、顺序排列组成。每一种顺序构成 的一个基本事件，它共有c 个不同的基本事件. （从3个位置选两个放 ，其余放 ） p=p=p+p+p aaaaaa3-2212223每一个基本事件的概率均为: p=ppp=p1-p p b =c p1-p=3 0.10.9=0.027 nkkn-knn贝努里定理：设在一次试验中，事件a发生的概率为p 0p1则在n重贝努里试验中，事件a恰好发生了k次 0kn 的概率pk 为： pk =c p q （其中p+q=1) .knmcknkn-k证： 在n重试验中，a恰好发生了k次，则a发生了n-k次 所求事件由k个a和n-k个a按不同顺序排列组成，每一种顺序构成该事件的一

5、个基本事件，它共有c 个不同的基本事件（从n个位置中选k个放a，其余放a） 每一个基本事件的概率均等于 p a.aa a =p a .p a p a .p a =p q 共有个基本事件，且它们两两互不 n-kkkkkn-knnn相容 pk =p1-p.c =c p q 例：一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现检查了10件，求至少有两件一级品的概率。 2kkkkn-knn10101010101910解：设所求事件的概率为p b ，每一件产品可能是一级品也可能不是一级品，各个产品是否为一级品是相互独立的。由 pk =c p q(k=0,1,.,n) 有 p b =p=1-p0 -p1 =1-

6、0.4 -c0.6 0.40.998 例：某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力较系队为强，当一校队与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6，现在，校系双方商量对抗赛的方式，提出三种方案： (1)双方各出三人 (2)双方各出五人 (3)双方各出七人 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜，问，对系队来说，哪一种方案有利？ 3k3-kk3k=2 解：双方各出k人比赛的试验是一个k重贝努里实验 令a=“系队队员获胜”则p=p a =0.4 1 p 系队获胜 =p 系队3人中有2人以上获胜 =c0.40.6 0.352 2 p 系队获胜 =p 系队5人中有3人以上获胜 5-k5kk5k=37k7-kk7k