圆综合的八大模型

1、圆综合的八大模型圆综合的八大模型圆的证明与计算圆的证明与计算专题训练专题训练 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考题形式分析：一、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。模型一：从圆外作圆的两条切线问题模型一：从圆外作圆的两条切线问题 【例例1 1】（20122012襄阳）襄阳）如图，pb为o的切线，b为切点，直线po交于点e、f，过点b作po的垂线ba，垂足为点d，交o于点a，延长ao与

2、o交于点c，连接bc，af （1）求证：直线pa为o的切线； （2）试探究线段ef、od、op之间的等量关系，并加以证明； （3）若bc=6，tanf= ，求cosacb的值和线段pe的长 【练习练习1 1】（20112011广安）广安）如图所示，p是o外一点，pa是o的切线，a是切点，b是o 上一点，且pa=pb，连接ao、bo、ab，并延长bo与切线pa相交于点q （1）求证：pb是o的切线； （2）求证：aqpq=oqbq； （3）设aoq=，若 ，oq=15，求ab的长 【练习练习2 2】（20132013年全国初中数学联合竞赛年全国初中数学联合竞赛试题本题满分试题本题满分2525分分

3、）已知点c在以ab为直径的圆o上，过点b、c作圆o的切线，交于点p，连ac，若 ，求 的值。92opacpbac模型二：从圆外作圆的一条切线和一条割线含垂直问题 【例例2 2】如图，ab为o的直径，半径ocab，d为ab延长线上一点，过d作o的切线，e为切点，连结ce交ab于点f. （1）求证：de=df； （2）连结ae，若of =1，bf =3，求 的值. 【解决问题的思维方法是解决问题的思维方法是】 tana?o?c?f?e?d?b?a 【练习练习1 1】（20112011四川乐山四川乐山2424，1010分）分）如图，d为 o上一点，点c在直径ba的延长线上，且cda=cbd. (1)

4、求证:cd是o的切线; (2)过点b作 o的切线交cd的延长线于点e,若bc=6,tancda= ,求be的长23 【练习练习2 2】如图，ab为o的直径，c、d为o上的两点，d是弧ac的中点，过d作直线bc的垂线交直线ab于点e，f为垂足. （1）求证：ef为o的切线； （2）若ac=6，bd=5，求sine的值.?e?a?o?f?d?c?b模型三：过直径的端点作圆的两条切线问题 【例例3】（2011山东潍坊，23，11分）如图，ab是半圆o的直径，ab=2.射线am、bn为半圆的切线.在am上取一点d，连接bd交半圆于点c，连接ac.过o点作bc的垂线oe，垂足为点e，与bn相交于点f.过

5、d点做半圆的切线dp，切点为p，与bn相交于点q. （1）求证：abcofb； （2）当abd与bfo的面积相等时，求bq的长； （3）求证：当d在am上移动时（a点除外），点q始终是线段bf的中点.【解决问题的思维方法是解决问题的思维方法是】 【练习练习1 1】（20112011四川绵阳四川绵阳2222，1212）如图，在梯形abcd中，ab/cd，bad=90，以ad为直径的半圆o与bc相切. (1)求证：ob丄oc; (2)若ad= 12， bcd=60，o1与半o 外切，并与bc、cd 相切，求o1的面积. 【练习练习2 2】如图，ab是o的直径，bcab，过点c作o的切线ce，点d是

6、ce延长线上一点，连结ad，且ad+bc=cd. （1）求证：ad是o的切线； （2）设oe交ac于f，若of=3，ef=2，求线段bc的长.?f?o?e?d?c?b?a模型四：以等腰三角形的一腰为直径作圆的问题 【例例4 4】如图，abc中，abac，以ac为直径的o与ab相交于点e，点f是be的中点 （1）求证：df是o的切线 （2）若ae14，bc12，求bf的长 【解决问题的思维方法是解决问题的思维方法是】?o?f?e?d?c?b?a 【练习练习1 1】（20112011贵州安顺，贵州安顺，2626，1212分）分）已知：如图，在abc中，bc=ac，以bc为直径的o与边ab相交于点d

7、，deac，垂足为点e 求证：点d是ab的中点； 判断de与o的位置关系，并证明你的结论； 若o的直径为18，cosb = ，求de的长31 【练习练习2 2】（20122012肇庆）肇庆）如图，在abc中，ab=ac，以ab为直径的o交ac于点e，交bc于点d，连接be、ad交于点p求证： （1）d是bc的中点； （2）becadc； （3）abce=2dpad 【练习练习3 3】如图，等腰abc中，ab=ac，以ab为直径作 o交bc于点d，deac于e. （1）求证：de为o的切线； （2）若bc= ，ae=1，求 的值. ?o?e?d?c?b?a4 5cosaeo模型五：过直径的端点作

8、一条或两条垂线于圆的切线问题 【例例5 5】（20122012西宁）西宁）如图（1），ab为o的直径，c为o上一点，若直线cd与o相切于点c，adcd，垂足为d （1）求证：adcacb； （2）如果把直线cd向下平行移动，如图（2），直线cd交o于c、g两点，若题目中的其他条件不变，且ag=4，bg=3，求tandac的值 【练习练习1 1】（20112011安徽芜湖，安徽芜湖，2323，1212分）分）如图，已知直线 交o于a、b两点，ae是o的直径,点c为o上一点，且ac平分pae，过c作 ，垂足为d. (1) 求证：cd为o的切线； (2) 若dc+da=6，o的直径为10，求ab的长

9、度. 【练习练习2 2】直角梯形abcd中，bcd=90，ab=ad+bc，ab为直径的圆交bc于e，连oc、bd交于f. 求证：cd为o的切线 若 ，求 的值53abbedfbf f o e c d b a模型六：和切线平行的弦的问题 【例例6 6】（20112011浙江义乌，浙江义乌，2121，8 8分）分）如图，已知o的直径ab与弦cd互相垂直，垂足为点e. o的切线bf与弦ad的延长线相交于点f，且ad=3，cosbcd= （1）求证：cdbf； （2）求o的半径； （3）求弦cd的长. 34fadeocb 【练习练习】（20112011山东菏泽，山东菏泽，1818，1010分）分）如

10、图，bd为o的直径，ab=ac，ad交bc于点e，ae=2，ed=4， 求证：（1）abeadb； (2)求ab的长； (3)延长db到f，使得bf=bo，连接fa，试判断直线fa与o的位置关系，并说明理由模型七：过弧的中点的半径垂直于弦的问题 【例例7 7】abp中，abp=90，以ab为直径作o交ap于c点，弧 = ，过c作af的垂线，垂足为m，mc的延长线交bp于d. （1）求证：cd为o的切线； （2）连bf交ap于e，若be=6，ef=2，求 的值。afefcfcb 【练习练习1 1】如图，ab是o上的直径，e是弧bc的中点，oe交弦bc于点d，过点c作交ad的平行线交oe的延长线于

11、点f. ado=b. （1）求证：cf为o的切线； （2）求sinbad 的值.?d?a?o?f?e?c?b 【练习练习2 2】(2009(2009调考）：调考）：如图，已知abc中，以边bc为直径的o与边ab交于点d，点e是弧bd的中点，af为abc的角平分线，且afec。 （1）求证：ac与o相切； （2）若ac6，bc8，求ec的长?o?f?h?e?d?c?b?a模型八：综合性的问题 【例例8 8】（20122012十堰）十堰）如图1，o是abc的外接圆，ab是直径，odac，且cbd=bac，od交o于点e （1）求证：bd是o的切线； （2）若点e为线段od的中点，证明：以o、a、c、e为顶点的四边形是菱形； （3）作cfab于点f，连接ad交cf于点g（如图2），求 的值 【练习练习1 1】（20112011桂林）桂林）如图，在锐角abc中，ac是最短边；以ac中点o为圆心， ac长为半径作o，交bc于e，过o作odbc交o于d，连接ae、ad、dc （1）求证：d是弧ae 的中点； （2）求证：dao=b+ba