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文档简介

1、1.5 向量的混合积向量的混合积acbba 实例实例 ：向量混合积的几何意义：向量混合积的几何意义： ()().a bcabcabc 定义 ：称为向量 ， ， 的混合积，记为 ， ， 1 , ,( , , )0.a b ca b c 定理三个向量共面混合积的性质混合积的性质(1) ()()().abcbcacab(2) ()().abcabc1212(3) (, , )(, , )(, , ).aa b ca b ca b c (4) (, , )( , , ).a b ca b c混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式123 ; ,(,),(,),(,)xyzxyzxyzo e e eaa a

2、abb b bcc c c 取仿射标架，设122331123123123()() () ()( ,) ( ,xyyzzxxyzxyyzzxxyyzzxzxyxyyzzxxyzxyzxyzaaaaaaabceeeeeec ec ec ebbbbbbaaaaaaccce e ebbbbbbaaabbbe e eccc ).123123 ; ,( ,)=1 ()=. xyzxyzxyzo e e ee e eaaaa bcbbbccc 若是右手直角标架，则，故123 ; ,=(,),(,),(,),=0 xyzxyzxyzxyzxyzxyzabco e e eaa aabb b bcc c caaa

3、abcbbbccc 三向量 ， ， 在仿射标架下的坐标分别为则 ， ， 三向量共面定理定理 2111222333444 (1,2,3,4)( ,),1,2,3,4,11(1,2,3,4)=011iiiiiix y zixyzxyzixyzxyz四点p的仿射坐标分别为则p共面的充要条件是.定理定理 3拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式 () ().abcda ca da bcdb cb d 对于任意向量 ， ， ， ，有拉格朗日恒等式的应用拉格朗日恒等式的应用证明：证明：三直角棱锥的斜面面积的平方等于其它三个面的平方之和。解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2. 4 例例1解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量ab、ac、ad为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.1(,)6vab ac ad 即即14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxv 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式

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