数列的十种典型递推式

1、1 十大递推数列求通项：(1)等差数列：an=an-1+d 例1：已知：数列an中a1=1,an=an-1+3,(n2).求an的通项公式。 答an=3n-2.(2)等比数列： an=an-1q 例2：已知：数列an中a1=1,an=2an-1,(n2).求an的通项公式。 答an=. (3)似等差数列： an=an-1+f(n) 用叠加法。例3：已知：数列an中a1=1,an=an-1+3n+1,(n2).求an的通项公式。 答an=. (4)线性数列： an=pan-1+q 构造等比数列。例4：已知：数列an中a1=3,an=2an-1-1,(n2).求an的通项公式。 答an=. (5)

2、 似等比数列： an=an-1f(n) 叠乘法。例5：已知：数列an中a1=3,an=nan-1,(n2).求an的通项公式。 答an=3n！. (6)三项递推： an=pan-1+qan-2 设an+1-xan =y(an-xan-1),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出。例6：已知：数列an中a1=1,a2=3,an=3an-1-2an-2,(n3).求an的通项公式。 答an=2n-1.例7：已知：数列an中a1=1,a2=3,an=4an-1-4an-2,(n3).求an的通项公式。 答an=(n+1)2n-2.例8：已知：数列an中a1=1,a2=4,an=4an-1

3、-4an-2,(n3).求an的通项公式。 答an=n2n-1.例9：已知：数列an中a1=2,a2=3,an=5an-1-6an-2,(n3).求an的通项公式。 答an=32n-1-3n-1.例10：已知：数列an中a1=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n3).求an的通项公式。 答周期为6.例11 (2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)福建卷(新课程)（22）已知数列满足（i）证明：数列是等比数列；（ii）求数列的通项公式；（）若数列满足证明是等差数列。 (7)似线性数列：an+1=pan+f(n) ，变为 ，即化为（3）型。特别地型，还可以令，待定系数x,y，构造

4、等比数列，要比通法简单。型，还可以令，待定系数x,y，构造等比数列，要比通法简单。例12：已知：数列an中a1=5,an=3an-1+3n-1,(n2).求an的通项公式。 答(8)指数数列：an+1=pank ，取对数，化为（4）型。例13：已知：数列an中a1=4,an=an-13,(n2).求an的通项公式。 答an=.(9)分式递推：。原理：设，先待定s,r的值，再取倒数。得：，令，化为：bn+1=abn+c型，下略。求法：在上述原理中，称r为的特征根。特征根的求法除了按上述方法逐步进行外，也可令，解关于x的方程，得出方程的根x1，x2即为特征根r1,r2.至此法（）令，再根据原式中分

5、子的的系数待定出s，既可求解。法（）令，得an=,将该式代入已知等式即得bn的递推关系。先求出bn,再求an。 注：该法更容易用。例14（2006年奥林匹克竞赛山东省赛区预选赛19题，即最后一题）已知：数列an满足an+1an+3an+1+an+4=0,(n2).（1）当a1=-1时, 求an的通项公式。（2）当a1=-2.03时,求an的最小值和最大值。（3）当a2006是an中的最小项时，求a1的取值范围。答（1）an=-2+.(2)a34最小为-5;a35最大为-.(3).例15 在数列an中，a1=4,且an+1=,求an。答：。例16 已知曲线c：，过c上一点作斜率为的直线交曲线c于

6、另一点，点列的横坐标构成数列，其中。（）求与的关系式；（）求证：是等比数列；（）求证：。答案：（），（），（）由（）知，（）当n为偶数时， 。（）当n为奇数时，综上所述：。（10）f(an,sn)=0 构造f(an-1,sn-1)=0,两式相减。 （11）两个数列的递推。若数列an,bn满足（n2）。构造an+xbn=y(an-1+xbn-1)求解。例16 已知：数列an，bn满足（n2）且a1=2,b1=3,求an,bn的通项公式。 答： .例17 已知：数列an，bn满足（n2）且a1=10,b1=8,求an,bn的通项公式。答：an=9+ ,bn=. （12） 周期数列例18 已知：数列an中a1=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n3).求an的通项公式。 答：a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,故an是周期为6的数列。例19 已知：数列an中a1=a, an=,(n2).求an的通项公式。 答：故an是周期为3的数列。注：特别地，a1=0时，常为考题。例20 已知：数列an中a1=1, an=,(n2).求an的通项公式。答：a1=1, .故an是周期为6的数列。例21 已知：数列an中a1=a, an=,(n2).求an的通项公式。答：。故an是周期为4的数列。2 数列求和中常用的拆裂项方法