数学解题程序诠释

1、数学解题的指导程序图诠释杨平 江西省铜鼓县第二中学 （336200）摘要：本文从突出分析“数量”的角度，试图阐明解数学题的一般程序。全文共分三部分，一是程序图，按一定的顺序列出解题的各步骤；二是程序图的分步诠释，主要是对程序图的各步作概念性的诠释；三是在解题应用中诠释，通过例题的解法的形成过程，体现程序图的指导作用。这个程序图对应用数学知识解题具有一般的、重要的指导作用。一、 程序图。 分析数量的确定性b审题a设置和变换易用的关键数量c补充不充分的关键数量d关键数量不充分围绕充分独立易用的关键数量进行等式变换f关键数量不独立消去不独立的关键数量e数量的三种性质相互综合i进行不等式变换分析数量的

2、限制性g以关键数量为枢纽解决问题j分析数量的可能性h分类讨论函数解析一、 程序图的分步诠释。1、 审题a：弄清题目的数量和数量关系，明确题设和结论。2、 分析数量的确定性b：如果能用一些数量构成表达式表示出另一个（些）数量，那么就说这些数量能确定另一个（些）数量。把用一些数量构成表达式表示出另一个（些）数量所根据的相等关系称为这一个（些）数量的确定性，比如x-y=2是x或y的一个确定性。3、 设置和变换易用的关键数量c：题目中的全部数量经常是随着其中的一部分数量的确定而确定，本文把这一部分数量称为全部数量的关键数量。对关键数量进行设置和变换，找到容易进行推导变换的关键数量。把容易进行推导变换的

3、数量叫做易用的数量。4、 关键数量不充分补充不充分的关键数量d：如果用设置的关键数量不能推出全部数量的表达式，那么把这种情形称为关键数量不充分。此时可以补充数量直到能推出全部数量的表达式，把这种做法称为补充不充分的关键数量。把能推出全部数量的表达式的这部分数量称为充分的数量。5、 关键数量不独立消去不独立的关键数量e：如果在一些数量中，存在一个数量能够由其余的数量推出它的表达式或者求出它的解，那么说这些数量不相互独立。在关键数量中用只含一些关键数量的表达式或已知解取代另一些关键数量称为消去不独立的关键数量。把消去了所有不独立的数量的一些数量称为独立的数量。6、 围绕充分独立易用的关键数量进行等

4、式变换f：在此把对相等关系式进行的变换称为等式变换。等式变换的目标是用充分、独立、易用的关键数量推出所需的各个数量的表达式或解、准表达式（组）。准表达式（组）是指，经过一些变形后能推出某个（些）数量的表达式的相等关系式（组），比如x+y=1是x或y的的准表达式。7、 分析数量的限制性g：把能用一些数量限制另一些数量的数量关系称为数量的限制性，比如x-y3是x或y的一个限制性。把对全部数量的限制性转变成只对关键数量的限制，是集中把握数量的限制性的有效方法。数量的限制性常用不等式表示，在此把对不等式进行的变换称为不等式变换。8、 分析数量的可能性h：以数量的确定性和限制性为前提，形成数量的不被确定

5、也不被限制的方面的性质称为数量的可能性。对数量的可能性的分析的方式很多，分类讨论和函数解析是常用的方式。9、 数量的三种性质相互综合i：数量的确定性、限制性、可能性三种性质综合推导会产生二种可能结果：一是推不出新的确定性、限制性、可能性，它们已经各自完整，推导变换只能使三种性质在不同的数量上或以不同的形式体现出来；二是能推出新的确定性或新的限制性或新的可能性，三种性质相互补充，直至达到各自完整为止。10、以关键数量为枢纽解决问题j：根据数量的确定性，推出解决问题所需的且只含关键数量的表达式或解、准表达式（组）；根据数量的限制性，把对全部数量的限制变换成只对关键数量的限制；根据数量的可能性，把全

6、部数量的可能性变换成只是关键数量的可能性；根据数量的三种性质相互综合，使三种性质相互补充，使数量的三种性质达到各自完整。把数量的全部性质聚集在关键数量上，再由关键数量把全部性质发散出去，在不同的数量上体现出来。总之，数量的三种性质皆以关键数量为集散枢纽，这是解决问题的基本思想方法。三、在解题应用中诠释。 例1，如图，平分线与的平分线相交于点f，边be、cd交于点a，线段cd、ef交于点g，线段be、cf交于点h 求证： 分析1在图中的二十多个角中，能直观地想象出其中只含三个充分且独立的角，比如图中的、这三个角，以它们为关键数量容易得到： 获证像这样，直接使用一组充分、独立、易用的关键数量推出结

7、论是可以常用的方法。 分析2若只用充分但不独立数量表示、，则不能发现与、之间的关系，比如以、为一组充分但不独立的关键数量，用它们表示：只由这三个式子得不出与、之间的关系式。此时由表示的两个不同的表达式相等得，用这个式子消去、中的任何一个数量，比如消去，用剩下的三个相互独立数量表示得：所以 像这样先用充分的数量表示结论中各数量的表达式，再通过消元得到用充分且独立的数量表示出结论中的各数量，结论就隐藏在这些最后的表达式之中。 分析3如图，连接ec得到、两个新角，新角和原图中的角形成了更多的角，所以图中角增加了很多，能看出充分且独立的角却只随着增加了一个，在众多的角中、是一组充分、独立、易用的关键数

8、量，用它们表示易得：所以 通过例1的三种解法我们能够看到，当使用的关键数量满足了充分、独立、易用的三种要求之后便能够很容易推出结论。这是为什么呢？1）因为使用了充分的数量才能够表示出所有必需的数量，否则就有数量不能由关键数量表示出来，所以要使用充分的数量。2因为用同一组独立的数量、用不同的方法表示相等（同）的数量，得到的几个表达式必定相同，也就说每个表达式都是唯一的；否则表明表达式中所含的数量不独立，可以消去不独立的数量使得这组数量相互独立。若用含独立的数量构成的表达式表示出了各个数量，则数量之间的关系就隐藏在这些唯一的表达式之中，根据表达式就能够发现或者证明数量之间的关系；否则情形可能大不一

9、样，所以要使用独立的数量。3）因为使用的数量不同，进行推导变换的难易程度是不同的，所以要注意使用易用的数量。 下面再举一些例子说明使用充分、独立、易用的关键数量的方法和作用。例2，如图所示，am是abc的边bc上的中线，已知bc=a、ac=b、ab=c，（1）求证：，（2）求中线am的长。分析（1）为了能够使用勾股定理，作 adbc于点d，在图中众多的边和角中，易知充分且独立的数量有且只有3个。可用bm、md、ad作为一组充分、独立、易用的关键数量，设bm=x、md=y、ad=z，易得： （2）a、b、c这三边虽然也是一组充分且独立的数量，但不便直接使用于证明和求解。所以在得到本题结论之后才把

10、ac=b，ab=c，bm=代入（1）的结论得： ) 这个式子是求三角形中线长的公式。它的推导过程是先用一组充分独立易用的关键数量推出第一个结论，再用另一组充分独立的关键数量代换结论中的数量，从而推出求中线的公式，像这样的由一组充分独立易用的数量变换成另一组充分独立但较难用的数量是一种常用的方法。例3，如图在rtabc中，c=90，ab，bc，ca的长分别为c，a，b，求abc的内切圆的半径r 。 解法一设o与abc的三边分别相切于点d、e、f，连接od、oe、of、oa、ob、oc 解法二如上图，易知四边形odce是正方形，所以cd=ce=r由切线长定理得：af=ad=b-r，bf=be=a-

11、r af+bf=ab b-r+a-r=c例3解读（1）显然求得的两个答案是不同的；r的两个表达式不恒等。这是因为a，b，c三个数量不独立，它们存在关系式：。 （2）由表示r的两个式子相等，可以证明勾股定理； 。（3）若用 a+b=c消去两个答案的表达式中包含的a，b，c中任何一个数量，比如消去c，两个表达式就会变得相同： 像这样，在相同（等）的数量的不同的表达式中消去不独立的数量，直到表达式所含的数量独立为止，然后可以使两个不同的表达式变得相同，这是可以常用的思想方法。例4，一个三位数，已知它满足3个条件：十位上的数字比个位上的数字小1，百位上的数字是十位上的数字的4倍，如果把百位上的数字与个

12、位上的数字对换，那么可以得到比原数小495的三位数（1）求原三位数，（2）若把条件去掉，求原三位数， 分析：(1) 设原三位数的百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z，根据题意得： 解这个方程组得：x= 8、 y=2、 z=3 原三位数是823. （2） 解法一：设原三位数的百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z，根据题意得： 求得y=2，再求得x=8、z=3 ， 所以原三位数是：823. 解法二：设原三位数的百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z，根据题意得： 当y=0或1时，z= 5或1，均不合题意；当y=2时，z= 3 x=8，符合题意；当y3时，x9，不合题意。所以，原三位数是8

13、23例4解读：1）在本题中，百位、个位上的数字都是大于或等于1且小于或等于9的整数，十位上的数字是大于或等于0且小于或等于9的整数，这些是题目中的限制性条件；条件是确定性条件；百位、个位上的数字可取1到9之间的每一个数字，十位上的数字可取0 到9之间的每一个数字，这是题目中的各数量的可能性。2）在问题（2）的两种解法中，都是先用含充分、独立的数量y的式子表示x、z，不同的是在解法一中把全部数量的限制性都化成了对关键数量y的限制，然后直接取其可能性，不必考虑另外两个数字的可能性就可以求到答案，在解法二中则是直接分类讨论数量的可能性，这时必须同时考虑三个数位上的数字的可能性，当它们一致符合题意才能

14、求到答案。3）由上述解法看到了题中的条件去掉后也不影响答案, 这说明了条件可以由题设的其余条件推出，所以其余条件的综合能产生确定性即条件。数量的三种性质相互综合会出现两种不同情况。一是，在有些情况下虽然会产生各种各样的结论，但是不会出现更多个相互独立的确定性、或者出现新的限制性、新的可能性，即数量的这三种性质在综合变换之前已经各自完整，综合变换的目的只是把数量的性质以不同的形式或在不同的数量上表现出来，比如由不会产生更多个相互独立的确定性关系式；二是，也有些情况下数量的三种性质的综合能产生独立的确定性（限制性或可能性），比如，表面只是二个确定性关系式，综合看则可得到三个独立的确定性关系式： 、

15、b+c+1=0、b-c-2=0，所以出现了更多的独立的确定性。数量的三种性质会相互补充，直到各自完整，这是解决很多问题的基本思想。例5，已知两个实心正方体物体对水平地面的压强，密度，对地面的压力为、，试比较和大小。分析这是初二的一道物理题，解决这个问题需要用到很多的数学知识和方法。设两个正方体物体的边长分别为、，底面积分别为、，体积分别为、。方法一：显然由正方体的密度、和边长、能推出本题需要的各个数量，这四个数量是一组充分的数量，但是不独立。若用这四个数量表示出压强后消去这四个数量中的一个比如，则剩下的三个关键数量就充分且独立了，这时可以很容易用这三个关键数量表示出、，再通过比较出、的大小，具体过程如下： 由密度可得方法二：也可以把其他数量作为充分、独立、易用的关键数量，比如以、充分、独立、易用的关键数量。具体过程如下：与方法一相同得 ， 又因为密度 所以 ；方法二的做法