力与位移的复势表达

1、 力与位移的复势表达力与位移的复势表达1. 复势应力函数复势应力函数04 u平面弹性平衡，体力为常量，应力函数u，满足可化为面力引入 zxiy zxiy1, ; 1, zzzziixyxy (1) 可得,uuzuzuxzxzxzzuuzuziuyzyzyzz(3-1) 积分两次224.uuzz(3-4) 0224zzu(3-5) 由(3-1)式，得：2,2.uuuuuuiixyzxyz(3-2) (3-2) 222222, ,uuuuxzzyzz (3-3) 相容方程 04 u为 故1212( )( )( )( )uf zzf zf zzf z其中f1、f2、f3、f4均表示任意函数。左边u是

2、实函数，右边四项一定两两共轭，即3142( )( ),( )( )f zf zf zf z令 112111( )( ), ( )( )22f zz f zz，得古萨公古萨公式式11( ), ( )zz称之为复势应力函数复势应力函数。 2应力和位移的复势1234( )( )( )( )uf zzfzf zzfz(2) 11re( )( )uzzz(3-6) 应力复势 不计体力 注意到式(3-4)得222224yxuuuxyz z 将式(3-6)代入得 由式(3-7) 22222222yxxyuuuiiiuxyx yxy 22222,xyxyuuuyxx y (3-7) 1112( )( )4re

3、( )yxzzz(3-8) 注意到式(3-2)得11( )( )zz设 式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。位移复势 平面应力，由几何方程与广义虎克定律1122( )( )yxxyizzz(1) 1122( )( )yxxyizzz(3-9) ()(1)xyxyyuex (2) ()(1)yxxyxvey (3) 将式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得：式中f1及f2为任意函数。将式(5)代入式(4)，用式(1-7)中的第三式及式(1-1)，得12d()d( )ddfyfxyx(常数) 积分得刚体位移： 1020(), ()fyuyfxvx1111122( )(

4、 )(1)( ),2( )( )(1)( ),ueuzzf yxuevizzf xy(5) 2(1)xyevuxy(4) gxy若不计刚体位移，由式(5)组合得 （注：强度问题与刚体位移无关）将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边除以(1+) 这就是位移复势。对平面应变， 21ee1 141uue u ivzixy(6) 1113( )( )( )11euivzzzz(3-10) 复应力函数的确定程度(数学上完全确定，力学上看哪些部分不影响应力和位移) 1 应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知， 设2( ) z1( ) z与 可见 具有相同的实部，只可能相差一个任意

5、虚常数 14 re,yxz(1) 112( )( )2yxxyzzzi(2) 24 re,yxz(1) 222( )( )2yxxyzzzi(2) 21( ),zzic(3) c为任意实常数。积分得aib由式(3)有 21( )( )zz，比较式(2)与(2)可见积分得aib故21( )( )zzicz(4) 21( )( )zz(5) 21( )zz(6) 1111( ) ),( ) ( ),zziczzz代以代以(a) 30, 01c且(8) (a)型代换不改变应力。（常设其为零或 1(0)0） 2：位移确定时，则应力完全确定，不容许有(a)型以外 代换。考察(a)型代换如何才不致改变位移

6、。将式(1-10) 进行(a)型代换位移确定，必须不改变位移只能将111343()( )( )( )1111eiczuivzzzz(7) 和 中只有一个为任意常数,设为 , 由 确定只有 可任意选取 (b)型代换。平面应变 1 复势边界条件1、应力边界条件平面应力边界条件()(), ()()x sxy sxy sxy sylmfmlf将式(1-7)代入上式得1111( ) ( )3( ) ( ),1zzzz代以代以(b) 不改变位移,更不改变应力曲线ab为任一段边界，s是弧长则有dcos,ddsindylsxms 代入式(1)，得面应力矢量222222xssyssuulmfyx yuumlfx

7、x y (1) dddddd.dxysssuufifisysxuuiisxy 证明： 由式（1）222222dxdyddxydyuudxuufifiidsysx ydsxsx y 而 222222ddduuu dxu dyu dxu dyiidsysxx y dsydsxdsx y ds 故 ddxyuufifiisxy 证毕 式(3-6)代入式(3-2)，再代入上式，得111d( )( )( )dxyizzzzfifs证明： 11re( )( )uzzz11111( )( )( )( )2zzzzzz2uuuixyz111( )( )( )zzzz_111()()(),aaaakzzzz证明完毕两边同乘以ids，进行积分，从基点a至边界上的任意一点z，令则有该式为面力主矢边界条件的复势表达面力主矢边界条件的复势表达111( )( )( )dbxyaszzzzkififs(2) 111(