解三角问题应注意隐含条件对角范围的制约

1、精品资源解三角问题应注意隐含条件对角范围的制约解某些三角问题时，如果只凭明显的几个条件去确定有关角的范围，就很容易造成解题的错误， 究其原因， 忽视了题设或变形中的隐含条件对这些角范围的进一步制约。本文通过对典型例子的剖析，帮助同学们增强挖掘隐含条件的意识，提高应变与解题能力。1. 注意三角函数值对角范围的制约三角求值或求角的大小时， 不仅要注意有关角的范围， 还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，不然容易出错。例 1. 已知 、 为锐角， cos1， sin()53 ，求 。714错解：由 、 为锐角，知 0，所以 cos()11 。14又 coscos ()cos()

2、 cossin() sin71 或 cos =1 ，71982得arccos或。983剖析：在上面的解法中，未能就题设条件进一步缩小 + 的范围，引起增解。我们可以作如下进一步分析：因 为 s i n ( )5 33，且0，所以03或1422。 又 cos11 ， 得32，从而 2， 于 是3723cos()11 ，故 cos1 ，即3。142例2.已 知2，22，且 tan 、 tan是方程2x233x4 0 的 2 个实根，求 + 。错解：由韦达定理得t a n t a n3 3， t a n t a n4，所以 tan()tantan3.1tantan又 、2，知，2故或233剖析：由于

3、 tantan3 30， tan tan4 0 ，可以推出 tan0 、欢迎下载精品资源tan0，从而有、， 0，故的范围可缩小为0 ，所以22 。32. 注意三角形的边角关系对角范围的制约解与三角形有关的三角问题时， 必须注意三角形中的边角等量关系、 边角的不等关系及内角和关系等对角范围的制约，以免产生增解。例 3. A 、 B、 C 为 ABC 的内角，且 cos A3 ， sin B5，求 cosC 的值。513错 解 ： 由 cos A3， 得 A0，故 sin A4 。又 sin B5， 且52513B 0，所以 cos B12 。从而1316 或 cosC56 。cosCcos(

4、AB)cos A cos Bsin A sin B546565剖析 ：由于sin B， sin A，故sin B sin A，两边乘 ABC 外接圆的直径11352R，得2R si nB2 Rs i nABA，所以角 B 一定是锐角。于是cosB12，故 cosC16 。1365剖析 2：若 B2，则B0，。由2s i nBs i nB5413s i nA，5得BA，即 AB，与 AB矛盾。故角 B 为锐角，从而 cosB12 ，16 。13故 cosC653. 注意变形式子对角范围的制约在三角变形过程中， 有时要利用变形后的式子来进一步缩小角的范围， 这样才能得出正确的结果。例 4. 已知

5、02 ，且 sinsinsin0 ， coscoscos=0，求。错解：由已知得欢迎下载精品资源s i ns i ns i n ，（ 1 ）coscoscos .（ 2）（1）2（2 ）2 得22 (sinsincoscos )1，故 cos()1。由02，2知 02，所以24或.33剖析：没有考虑变形式子中隐含的条件，事实上，同理可得cos()1 ， 02，2所以24或。33由于，得，所以取小值，取大值，即2，43.34. 注意定义域对角范围的制约有些三角函数的定义域，因其相对隐蔽，解题时往往被忽略考虑，造成错解。例 5.求函数 f ( x)sin x cosx1sin x的递增区间。cosx错解：设 tsin xcosx，则 sin x cosxt 21，于是2f (x)t 21t1s i nxcosx12 sin x1 .2(1t)22242由 2kx42k，22解得函数 f ( x)递增区间为2k3， 2k(kZ)44剖析：上述解法忽略了函数的定义域。因为题目中分母不能为零，即1 sin xcos x02 sinx1x2k且 x 2k.42所以函数 f ( x)递增区间为2k3， 2k及422k2， 2k4( kZ).从上述各例中我们可以看到忽视了隐含条件对角范围的