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1、空间向量在立体几何中的应用北京四中 吕宝珠一、知识要点1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为 2. 空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos|cos| (其中为异面直线a，b所成的角)范围是(0，(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos| 取值范围是0，(3

2、)求二面角的大小()如图，ab、cd是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 ()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos 取值范围是0，3. 点到面的距离的求法如图，设ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点b到平面的距离d 4. 线面距、面面距均可转化为点面距进行求解二、典型例题例1 如图，已知直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，且abaa1，d、e、f分别为b1a、c1c、bc的中点求证：(1)de平面abc；(2)b1f平面aef.变式探究1已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，bad90，2ab2adcd，侧面pad是正三角形且垂直于底面abcd，e是pc的中点(1)求证：be平面pcd；(2)在pb上是否存在一点f，使af平面bde?例2 如图，在三棱柱abca1b1c1中，h是正方形aa1b1b的中心，aa12，c1h平面aa1b1b，且c1h.(1)求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；(2)求二面角aa1c1b1的正弦值；(3)设n为棱b1c1的中点，点m在平面aa1b1b内，且mn平面a1b1c1，求线段bm的长例3如图，bcd与mcd都是边

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