两个超导比特纠缠动力学的反转动波效应

1、两个超导比特纠缠动力学的反转动波效应*钱雷1 贺树 2 段立伟2 陈庆虎1,2* （1.浙江师范大学,海峡两岸统计物理与凝聚态理论研究中心,金华 321004;2.浙江大学 物理系,杭州 310027）摘要： 本文研究了两个无相互作用的与各自量子振子耦合的超导量子比特的纠缠动力学。数值严格结果证明在强耦合下,以往的转动波近似不再适用，非转动波效应必须考虑。基于著名的推广的转动波近似的解析结果,在目前实验上可实现的强耦合区域与严格数值结果有明显差别。从我们近年来发展的转动波近似的一级校正，我们得到的结果更接近于精确数值解。该理论结果可激发基于近来可以实现超导比特的相关实验。关键词： 纠缠动力学;

2、 量子比特; 比特-振子耦合; 反转动波.QIAN Lei1 , HE Shu2 , DUAN Liwei2 , CHEN Qinghu1, 2*（1.Center for Statistical and Theoretical Condensed Matter Physics, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China; 2.Department of Physics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China) Title: Effect of Counter-Rotating term

3、on the entanglement dynamics of two superconducting qubits coupling to quantum oscillatorsAbstract: In this paper, we investigate entanglement dynamics of two non-interacting superconducting qubits coupled with their own quantum oscillators beyond the rotating-wave approximation (RWA). It is shown i

4、n the numerically exact studies that in the strong coupling regime, the RWA is not valid and the effect of the counter-rotating wave should be taken into account. The analytic results for entanglement based on the well-known generalized RWA deviates from the numerical one obviously in the present-da

5、y experimentally accessible coupling regime. In this paper, based on our first-order corrections to the RWA, the analytic results are move close to the numerical ones. It may motivate the relevant experiments based on the superconducting qubits realized recently. Key Words: Entanglement dynamics; qu

6、bits; qubit-oscillator coupling; Counter-rotating wave. 1 引 言 超导比特作为量子信息科学的基础和量子计算机的重要元件, 在基础研究和实际应用中受到了广泛的关注。 近年来，二能级系统与LC谐振子耦合系统的动力学研究在实验上取得重要进展，对量子计算，量子相干性和量子逻辑门等领域的发展有较大的促进。量子纠缠是一种典型的量子关联, 描述了量子力学的本质的非局域性质, 根本性地区分了量子和经典物理学。 纠缠作为一种重要的量子信息资源, 受到越来越多的重视， 而由于与环境耦合导致退相干和纠缠突然死亡（纠缠在一段时间消失）等问题是目前量子信息领域内

7、研究的热点课题。 Jaynes-Cummings（JC）模型【1】是光学腔量子电动力学(CQED)系统中最简单的一类模型, 描述腔场中单个二能级原子和单模量子化的电磁场的相互作用问题。在转动波近似下, 该模型可以严格解析求解。 超出转动波近似, 闭合形式的解析解至今缺乏, 各种近似的解析解相继提出, 其中最为著名的是推广的转动波近似【6】. Yu 等人研究了在转动波近似下两个 JC原子的量子纠缠动力学【2，3】,并给出了相应的解析表达式。 陈等人利用数值方法研究了无转动波近似下的纠缠行为【4】, 发现反转动波对纠缠有压制效应。至今，未见到反转动波下的纠缠动力学的解析研究或近似解析研究。 近期的

8、超导量子比特与振子耦合系统的实验表明, 当其耦合强度达到g=0.1 （这比量子光学系统里的二能级原子和腔耦合系统的耦合强度大 3-6个数量级）， 转动波近似已被证明实效. 因此,纠缠动力学的反转动波的效应的解析研究是十分必须的和值得的. 在本文中，我们基于推广转动波近似和转动波近似一级修正两种方法解析研究双JC 原子的纠缠演化。通过与数值精确解【4】的比较，我们发现转动波近似一级修正相对于推广转动波近似更加合适用来描述强耦合区间的行为。2 理论模型与计算方法 两个独立的超导量子比特与各自 LC振子耦合系统可用下面哈密顿量表示 (1)其中 是二态的能级劈裂，是第k个量子比特的 z方向的泡利算符，

9、是从第 k 个 LC振子的光子的产生算符，是相应的湮灭算符，g是原子和LC振子的耦合强度,为光子的频率。采用自然单位 。 为了研究在两个无相关作用的JC系统的纠缠动力学, 我们只需要给出单个二能级原子和光场耦合系统的本征波函数和能量。 推广的转动波近似方法(简称GRWA)【6】 在很大耦合范围内给出的JC原子能谱与数值精确解符合很好，引起很多关注。 我们简要回顾下GRWA求解的方法【6】。首先把单个JC哈密顿量绕y轴旋转，得到 (2) 然后对上式做幺正变换. 仅保留第一阶激发项，可以得到GRWA下的哈密顿量， (3) 这里的系数为 (4) 其中为拉盖尔多项式，,。由于系统总粒子数在哈密顿量(3

10、)下守恒， 我们可以在基矢空间下 和 下对其对角化，得到它的本征能量 (6) 同时其相应的本征波函数为 (7) (8)基态为 , 基态能为 (9)这样我们通过GRWA方法获得了单个JC模型的本征波函数和本征值。 最近,我们提出了另一种更简洁的哈密顿量(3)的本征解. 称为RWA 的一级校正,简称CRWA9. 相应的本征能量为 (15) (16)其中, -, + 对应奇偶宇称，对应的本征波函数为 (17) (18)为了研究通常的纠缠演化,初态通常选为光子真空态、关联或反关联的Bell态,这些演化只会涉及基态和低激发态.3 纠缠演化 根据两种近似解析方法给出的本征波函数和本征能量，我们就可以求出任

11、意时刻的两个无相互作用JC原子的约化密度矩阵。对于两个独立的JC原子，本征波函数在两种方法下分别为 (23) (24)所以整个系统的在任意时刻的波函数可以写成 (25) (26)其中是由体系初始态确定的系数。这里我们选取原子的具有代表性地反关联贝尔1态和关联贝尔2态为初始态， (27) (28)而初始光子态为真空态. 系数由确定的。这样就很容易获得约化密度矩阵和。 两个比特态的纠缠可用并发(Concurrence)10来度量. 根据并发的定义, 先计算赝密度矩阵，可以得到并发的表达式为其中是的本征值且以递减顺序排列。 图1 系统初态下纠缠随时间演化，黑色线是数值严格解，蓝色线是 推广的转动波近

12、似，红色是转动波近似的一级修正，绿色是转动波近似.其中Fig.1 Concurrence for atom-atom entanglement with the initial atomic statefor，the black curves is the numerially exact results,the blue curves is GRWA,the red curves is the first correlations of RWA,the green curves is RWA,and图2 系统初态下纠缠随时间演化，黑色线是数值严格解，蓝色线是 推广的转动波近似，红色是转动波近

13、似一级修正，绿色是转动波近似.其中Fig.2 Concurrence for atom-atom entanglement with the initial atomic state for，the black curves is the numerially exact results,the blue curves is GRWA,the red curves is the first correlations of RWA,the green curves is RWA,and 图1给出了由反关联Bell态出发的纠缠演化曲线，其中黑线是数值严格解，蓝线是推广的转动波近似，红线是我们的转动

14、波近似的一级修正，绿色是原先的转动波近似 。 由于转动波近似忽略了反旋波项和，所以在Bell反关联初始态下可以得到t时刻的简洁的解析表达式【4】 。在下，初态为反关联的Bell态， 随时间的演化都不会出现纠缠突然死亡的现象， 这个现象与耦合强度g的大小无关。然而,在耦合变强时,考虑反旋项的数值严格解,GRWA以及转动波近似一级修正的纠缠演化都不同程度地出现纠缠突然死亡的现象。 显然反转动波项的效应导致了原来不出现的的纠缠突然死亡。例如,对于 g=0.1 这个在目前超导比特的实验中可以实现的耦合强度， 纠缠突然死亡非常明显。非常有趣的是,转动波近似一级修正比GRWA 更接近数值严格解。当比特-腔

15、肠耦合强度进一步增大时（比如g=0.2和g=0.3）转动波近似一级修正仍然与数值严格解符合得很好。但是GRWA在整个耦合区间都明显偏离数值严格解。这说明GRWA没有抓住反转动波的性质，使得其描述一开始就失效。而对于转动波近似一级修正的方法， 只有当耦合强度进一步增大目前实验结果（g=0.1）的几倍以上,才开始失效。 图3 旋转波近似一级修正下平均声子激发数随着时间的演化.Fig.3. The average number of phonon excitations evolution with time from the first correlations of RWA,and 我们还研究以

16、关联贝尔态为初始态的纠缠动力学演化，如图(2)所示。当g=0.1，与贝尔1态类似，四种方法得到结果基本是一致的，反旋项的作用可以忽略。从g=0.2开始，反转动波的作用开始体现，通过与数值严格解比较，GRWA逐步开始出现偏差。转动波近似一级修正下的纠缠演化一直到g=0.3还是基本和严格解保持一致。 最后我们研究了基于旋转波近似一级修正方法下初始态下的平均激发声子数随着时间的演化。我们发现即使在居间耦合区间，声子的激发数仍旧呈现周期性的震荡，且周期与纠缠突然死亡的周期一致，这说明纠缠相对于平均声子数而言，能够更敏锐的捕捉到反转动波项对于系统动力学的影响。4 结 论 在本文中，我们利用两种解析近似计

17、算方法探讨了反转动波项对超导比特纠缠动力学的影响，并与数值严格解进行了系统的比较，以获得近似方法适用的范围。通过比较发现，旋转波近似一级修正比GRWA能更好的描述非弱耦合区间内反旋转波引起的高阶激发。表明GRWA的本征解没有旋转波近似一级修正更接近真实的本征解。进一步的分析表明， 光子数的激发是导致纠缠突然死亡的原因。 本文的纠缠演化的理论预计可以在现有的超导比特的实验中检验。 在不久的将来， 即使超导比特与振子耦合系统即使增加了数倍， 比如说 4 倍， 我们的研究同样适用， 因为其耦合强度还在本文所描述的转动波一级近似的适用范围之内。参考文献（References）:1 Jaynes E T

18、 and Cummings F W, 1963 Proc. IEEE5189.2 Yu T and Eberly J H, 2002 Phys. Rev.B66193306.3 Yu T and Eberly J H, 2004 Phys. Rev. Lett.93140404.4 Q. H. Chen, Y. Yang, T. Liu, and K. L. Wang, 2010 Phys.Rev. A 82, 052306.5 M. Yonac, T. Yu, and J. H. Eberly, 2006 J. Phys. B39, S621.6 E. Irish, 2007 Phys. Rev. Lett. 99, 173601.7 S. Swain, 1973 J. Math. Phys. 6, 1919.8 S. He, Y. Y. Zhang, Q. H. Chen, X. Z. Ren, T. Liu, and K. L. Wang, 2