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文档简介
1、个性化教学辅导教案 Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.个性化教学辅导教案 学科:数学 任课教师: 授课时间: 2013年姓名年级九年性别教学课题圆的概念及垂径定理教学目标1、 探索圆的两种定义,理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念,能够从图形中识别体会圆的不同定义方法,2、探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质;3、能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题重点难点1、圆的两种定义的探索,能够解释一些生活问题2、圆的运动式定义方法3、垂直于弦的直径所具有的性质以及证明课前检查作业完成情况:优 良 中 差 建议_课
2、堂教学过程过程 24.1.1 圆(圆的概念)【教学过程】一、创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容如图1,观察下列图形,从中找出共同特点图1图中都有圆,学生可以再举出一些生活中类似的图形二、问题引申,探究圆的定义,培养学生的探究精神如图2,观察下列画圆的过程,你能由此说出圆的形成过程吗? 图2通过动画演示,发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点形成的图形就是圆知识点一:圆的概念及表示方法1、圆的概念:(1)描述性:在一个平面内,一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作;固定的端点O叫作圆心;线段OA的长度叫作这个圆的半径(如图)(2)集合性
3、:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的集合叫作圆圆心:固定的端点叫作圆心;半径:线段OA的长度叫作这个圆的半径2、圆的表示方法:以点O为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O” 图33、从圆的定义归纳:(1)圆心和半径是构成圆的两个重要元素, 图3圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。(2)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径);到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上(3)圆是一条封闭的曲线,是指圆周不是指圆面。圆中相关元素的定义如图3,你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗?知识点二:与圆有关的概念1、弦:连接圆上任意两点的线段叫作弦;记作“弦AB”、”弦CD”等。 2、直径:经过圆心的弦叫
4、作直径;记作“直径AB”、“直径CD”等。3、弧:圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧;4、弧的表示方法:以A、B为端点的弧记作 ,读作“圆弧AB”或“弧AB”; 优弧:大于半圆的弧叫作优弧,用三个字母表示,如图3中的;劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧,如图3中的5、半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆6、等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆叫做等圆;反过来,同圆或等圆的半径都相等。7、同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。8、弓形:由弦和弧组成的图形叫做弓形。规律总结:对于概念题需要严格按照定义来判断,解决与圆有关的问题要记住:(1) 直径是圆中最
5、长的弦,但弦不一定是直径。(2) 半圆是弧,但弧不一定是半圆。(3) 半圆既不是优弧,也不是劣弧。(4) 长度相等的弧不一定是等弧。车轮为什么做成圆形?如果做成正方形会有什么结果?引导学生进行如下分析:如图4,把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面上滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变,因此当车辆在平坦的路上行驶时,坐车的人会感觉到非常平稳;如果做成其他图形,比如正方形,正方形的中心(对角线的交点)距离地面的距离随着正方形的滚动而改变,因此中心到地面的距离就不是保持不变,因此不稳定图4 图5三、应用提高,培养学生的应用意识和创新能力1、如何在操场上画一
6、个半径是5 m的圆?说出你的理由根据圆的定义可以知道,圆是一条线段绕一个端点旋转一周,另一个端点形成的图形,所以可以用一条长5m的绳子,将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈B所经过的路径就是所要的圆2、从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树平均每年半径增加多少?首先求出半径,然后除以20即可解答树干的半径是232115(cm)平均每年半径增加115200575(cm)四、小结五、圆的概念练习学习要求理解圆的有关概念,掌握圆和弧的表示方法,掌握同圆的半径相等这一性质(一)、基础知识填空1在一个_内,线段OA
7、绕它固定的一个端点O_,另一个端点A所形成的_叫做圆这个固定的端点O叫做_,线段OA叫做_以O点为圆心的圆记作_,读作_2战国时期的墨经中对圆的定义是_3由圆的定义可知:(1)圆上的各点到圆心的距离都等于_;在一个平面内,到圆心的距离等于半径长的点都在_因此,圆是在一个平面内,所有到一个_的距离等于_的_组成的图形(2)要确定一个圆,需要两个基本条件,一个是_,另一个是_,其中,_确定圆的位置,_确定圆的大小4连结_的_叫做弦经过_的_叫做直径并且直径是同一圆中_的弦5圆上_的部分叫做圆弧,简称_,以A,B为端点的弧记作_,读作_或_6圆的_的两个端点把圆分成两条弧,每_都叫做半圆7在一个圆中
8、_叫做优弧;_叫做劣弧8半径相等的两个圆叫做_二、填空题9如下图,(1)若点O为O的圆心,则线段_是圆O的半径;线段_是圆O的弦,其中最长的弦是_;_是劣弧;_是半圆(2)若A=40,则ABO=_,C=_,ABC=_综合、运用、诊断10已知:如图,在同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点(1)求证:AOC=BOD;(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系,并证明你的结论11已知:如图,AB是O的直径,CD是O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,E=18,求C及AOC的度数拓广、探究、思考12已知:如图,ABC,试用直尺和圆规画出过A,B,C三点的O2412 垂直于弦的直径教学过
9、程一、 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容1、 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?学生动手操作,观察操作结果,可以发现沿着圆的任意一条直径对折,直径两旁的部分能够完全重合,由此可以发现:知识点三:圆的轴对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,也是旋转对称图形。圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴二、问题引申,探究垂直于弦的直径的性质,培养学生的探究精神2、按下面的步骤做一做:第一步,在一张纸上任意画一个O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重合;第二步,得到一条折痕CD;第三步,在O上任取一点A,过点A作C
10、D折痕的垂线,得到新的折痕,其中点M是两条折痕的交点,即垂足;第四步,将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如图1图1 图2在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么? 如图2所示,连接OA、OB,得到等腰OAB,即OAOB因CDAB,故OAM与OBM都是直角三角形,又OM为公共边,所以两个直角三角形全等,则AMBM又O关于直径CD对称,所以A点和B点关于CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,与重合因此AM=BM,=,同理得到知识点四:垂径定理及其推论1、垂径定理:(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)表示方法:直径CD弦AB2、 垂径定理的推论
11、:(1) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧(2)表示方法:直径CD与非直径的弦AB相交于M,AMBM3、 知识延伸:对于一个圆和一条直线,如果具备下列五个条件中的任意两个,那么一定具备其他三个:(1)过圆心,(2)垂直于弦,(3)平分弦(非直径),(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的劣弧。简记为:知二推三。规律总结:1、圆的对称轴过圆心,但直径并不是对称轴,对称轴是直径所在的直线。2、在圆内求有关线段的长,可以利用垂径定理构造直角三角形来求解。图3例1、如图3,所在圆的圆心是点O,过O作OCAB于点D,若CD=4 m,弦AB=16 m,求此圆的半径观察图形,利用垂
12、直于弦的直径的性质分析图形条件,发现若OCAB,则有AD=BD,且ADO是直角三角形,在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程在此基础上引导学生进行归纳:弦长、半径、拱形高、弦心距(圆心到弦的距离)四个量中,只需要知道两个量,其余两个量就可以求出来解答设圆的半径为R,由条件得到OD=R4,AD=8,在RtADO中,即解得 R10(m)答:此圆的半径是10 m 图4例2、如图4,已知,请你利用尺规作图的方法作出的中点,说出你的作法根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点,但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线,垂直平分线与弧的交点就是弧的中点解答1连接AB;2作AB的中垂线, 交 于
13、点C,点C就是所求的点三、拓展创新,培养学生思维的灵活性以及创新意识5、 解决下列问题(1)如图5,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为72米,桥的最高处点C离水面的高度24米现在有一艘宽3米,船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,问:这艘船是否能够通过这座拱桥?说明理由图5 图6根据实际问题,首先分析题意,然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥,这时要采取一定的比较量,才能说明能否通过,比如,计算一下在上述条件下,在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较,若大于2米说明不能经过,否则就可以经过这座拱桥解答如图6,连接AO、GO、CO,由于弧的最高点C是弧AB的中点,所
14、以得到OCAB,OCGF,根据勾股定理容易计算OE=15米,OM=36米所以ME=21米,因此可以通过这座拱桥(2)银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道如图7所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道? 图7 图8让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图,进而发展学生的思维解答 如图8所示,连接OA,过O作OEAB,垂足为E,交圆于F,则AE=AB = 30 cm令O的半径为R,则OA=R,OEOF-EFR-10在RtAEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302
15、+(R-10)2解得R =50 cm修理人员应准备内径为100 cm的管道四、归纳小结、1、小结:垂直于弦的直径的性质,圆对称性五、垂直于弦的直径练习要求1理解圆是轴对称图形2掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论(一)基础知识填空1圆是_对称图形,它的对称轴是_;圆又是_对称图形,它的对称中心是_2垂直于弦的直径的性质定理是_3平分_的直径_于弦,并且平分_(二)填空题4圆的半径为5cm,圆心到弦AB的距离为4cm,则AB=_cm5如图,CD为O的直径,ABCD于E,DE=8cm,CE=2cm,则AB=_cm5题图6如图,O的半径OC为6cm,弦AB垂直平分OC,则AB=_cm,AOB=_6题
16、图7如图,AB为O的弦,AOB=90,AB=a,则OA=_,O点到AB的距离=_7题图8如图,O的弦AB垂直于CD,E为垂足,AE=3,BE=7,且AB=CD,则圆心O到CD的距离是_8题图9如图,P为O的弦AB上的点,PA=6,PB=2,O的半径为5,则OP=_9题图10如图,O的弦AB垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,则O的半径等于_cm10题图综合、运用、诊断11已知:如图,AB是O的直径,弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,AEC=30,求CD的长12已知:如图,试用尺规将它四等分13今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺问径几何(选自九章算术卷第九“句股”中的第九题,1尺=10寸)14已知:O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别为,求BAC的度数15已知:O的半径为25cm,弦AB=40cm,弦CD=48cm,ABCD求这两条平行弦AB,CD之间的距离拓广、探究、思考16已知:如图,A,B是半圆O上的两点,CD是O的直径,AOD=80,B是的中点(1
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