历年数列高考题汇编

1、历年高考真题汇编-数列答案（含）1、(2011年新课标卷文)解：（）因为所以（）所以的通项公式为.2、(2011全国新课标卷理）解：（）设数列an的公比为q，由得所以。有条件可知a0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（）故所以数列的前n项和为3、（2010新课标卷理）解（）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得 。即 。4、（20I0年全国新课标卷文）解：（1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，a10=-9得 解得数列an的通项公式为an=11-2n。 .6分 (2)由(1) 知Sn=na1+d=10n-n2。 因为Sn=-(n-5)2+25.

2、 所以n=5时，Sn取得最大值。6、（ 2011辽宁卷）解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列，即，所以，当时， =所以综上，数列7、（2010年陕西省）解 （）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通项an1+（n1）1n.()由（）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sn=2+22+23+2n=2n+1-28、（2009年全国卷）解： 设的公差为，的公比为由得 由得 由及解得 故所求的通项公式为 11、（2011浙江卷）解：设等差数列的公差为，由题意可知即，从而因为故通项公式 （）解：记

3、所以从而，当时，；当12、（2011湖北卷）13、（2010年山东卷）解：（）设等差数列的首项为，公差为，由于，所以，解得，由于， ，所以，（）因为，所以因此故 所以数列的前项和14、（2010陕西卷）解 （）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通项an1+（n1）1n.()由（）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.、15、（2010重庆卷）16、（2010北京卷）解：（）设等差数列的公差。 因为 所以 解得所以 （）设等比数列的公比为 因为所以 即=3所以的前项和公式为17、（2010浙江卷）解：

4、()由题意知S0=-3,a=S-S=-8所以解得a1=7所以S=-3,a1=7()因为SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28.故d的取值范围为d-218、（2010四川卷）由（）得解答可得，于是 若，将上式两边同乘以q有 两式相减得到 于是若，则所以，（12分）19、（2010上海卷）解：由 （1）可得：，即。同时 （2）从而由可得：即：，从而为等比数列，首项，公比为，通项公式为，从而20、（2009辽宁卷）解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 （）由已知可得 故 从而 空间几何

5、答案25.【2012高考广东理18】【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.【解析】（1）平面，面 平面，面 又面（2）由（1）得：， 平面是二面角的平面角 在中， 在中， 得：二面角的正切值为26.【2012高考辽宁理18】【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题.【解析】（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面 平面，因此 6分（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则，于是，所以，设是平

6、面的法向量，由得，可取设是平面的法向量，由得，可取因为为直二面角，所以，解得12分27.【2012高考湖北理19】【答案】（）解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面又，所以于是 ，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时, 三棱锥的体积最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得当时，；当时， 所以当时，取得最大值故当时, 三棱锥的体积最大 （）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系由（）知，当三棱锥的体积最大时，于是可得，且设，则. 因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时， 设平面的一个法向量为，

7、由 及，得 可取 设与平面所成角的大小为，则由，可得，即28.【2012高考新课标理19】【答案】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二面角的大小为29.【2012高考江苏16】【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面30.【2012高考四川理19】 解析（1）连接OC。由已知，所成的角设AB的中点为D，连接PD、CD.因为AB=BC=CA,所以CDAB

8、.因为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=,AB=4.所以CD=2，OC=.在Rttan.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan6分（2）过D作DE于E，连接CE. 由已知可得，CD平面PAB.根据三垂线定理可知，CEPA，所以，.由（1）知，DE=在RtCDE中，tan故12分31.【2012高考福建理18】解答：（）长方体中， 得：面面（）取的中点为，中点为，连接 在中，面 此时（）设，连接，过点作于点，连接 面， 得：是二面角的平面角 在中， 在矩形中， 得：32.【2012高考北京理16】【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如图建系，则，,设平面法向

9、量为则 又，与平面所成角的大小。（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则 。假设平面与平面垂直，则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。33.【2012高考浙江理20】【答案】()如图连接BDM，N分别为PB，PD的中点，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；()如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，0)，N(，0，0)，C(，3，0)设Q(x，y，z)，则，由，得： 即：对于平面AMN：设其法向量为则 同理对于平面AMN得其法向量为记所求二面角AMNQ的平面角大小为，则所求二面角AMNQ的平面角的余弦值为34.【2012高考重庆理19】解：

10、（1）由,为的中点，得，又，故,所以点到平面的距离为(2)如图，取为的中点，连结,则,又由（1）知，故，所以为所求的二面角的平面角。因为在面上的射影，又已知，由三垂线定理的逆定理得，从而都与互余，因此，所以，因此，,即,得。从而,所以，在中，。35.【2012高考江西理19】解：（1）证明：连接AO，在中，作于点E，因为，得,因为平面ABC，所以,因为,得,所以平面,所以,ByOCAEzA11B1C1x所以平面,又,得(2)如图所示，分别以所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0)由（1）可知得点E的坐标为，由（

11、1）可知平面的法向量是，设平面的法向量，由，得，令，得，即所以即平面平面与平面BB1C1C夹角的余弦值是。36.【2012高考安徽理18】（【解析】(综合法)（I）取的中点为点，连接， 则，面面面，同理：面 得：共面，又面。（）延长到，使 ，得：，面面面面，。（）是二面角的平面角。在中，在中，得：二面角的余弦值为。37.【2012高考上海理19】解（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 从而CDPD. 3分ABCDPExyz 因为PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面积为. 6分 （2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2,

12、 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 设与的夹角为q，则 ，q=.ABCDPEF 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分38.【2012高考全国卷理18】解：设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。（）证明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。

13、 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为.39.【2012高考山东理18】【答案】（）证明：因为四边形为等腰梯形， 所以 又 ， 所以 因此 ， 又 ，且，平面， 所以 平面 （）解法一： 由（I）知，所以，又平面， 因此 两两垂直以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则， ， 因此 ， 设平面的一个法向量为， 则 ， 所以 ，取， 则 又平面的法向量可以取为， 所以 ， 所以二面角的余弦值为 解法二： 取的中点，连结，由于，所以 又平面，平面，所以 由于，平面，所以平面，故所以为二面角的平面角 在等腰三角形中，由于， 因此，又， 所以， 故 ,因此 二面角的余弦值为40.【2012高考湖南理18】【答案】解法1（如图（1），连接AC，由AB=4，是的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD平面PAE.（）过点作由（）CD平面PAE知，平面PAE.于是为直线与平面PAE所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分