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1、Laplace 变换的应用 1、 Laplace 变换的性质 设 f (t)为定义在 0, )上的函数，则 f(t)的 Laplace变换为F(p) Lf(t) 0 f(t)e ptdt1 r i f(t) L1F(p)r i F(p)eptdpt 0, r 02 i r i (1)线性性质 L 1f1 2f2 1Lf1 2L f2 (2)微分性质 L f (t) pL f (t) f(0)Lf (n)(t) pnLf(t) (pn1f(0) pn 2f (0)f (n)(0)F1(p)F2( p)11f1(t) f2(t) L 1 F1 ( p) L1F2(p)dt0, t 0 (1)(2)

2、(3)(3)卷积性质 L f1 f2 1 L 1F1(p)F2(p) 其中 f1(t) f2(t) 0 f1( )f2(t 2、应用举例 例 1 求解下面定解问题 u 2 2ua 2 , x tx ut 0 0 ux 0 f(t)解： 记U(x,p)Lu(x,t)0 u(x,t)e ptdtF(p)L f(t)0 f(t)e ptdt将方程（ 1）两端关于 t 取 Laplace变换，有Lu t22ua L 2x2a2 ddx2 Lu(x,t)a2 ddx2 U (x, p)由微分性质知，Lu tpU(x, p)ut 0 。所以原定解问题化为d 2U(x,p) p2U (x,p) 0 dx a

3、再将条件( 3)两端关于 t取 Laplace 变换，得到U(x,p)x 0 F(p)面求解问题4)、(5)。(4)的特征方程为(5) p2 0，故 r1,2pa因此，方程( 4)的通解为p xpxU ( x, p) C1e a C2 e a 时， u(x,t) 应当有界，所以当 x 界。取 p 0，由有界性知 C2 0 。因而得由于当 x时，U(x, p) 也应当有pxU (x, p) C1e a 再由条件( 5)可得 C1 F(p) ，所以pxU(x, p) F(p)e a故有u(x,t) L 1U (x, p) L1F(p) L1 epxa这里需要计算 L 1px ea通过计算有 L 1px 1x 1 e a pg(t)2y 2x e dy 。2a t这是由于 L 1 1e k pp 取 k x 即有上面的结果) a当 t 0kerfc ( k 0),2terfc( y)e s ds时， g(t)0，L dgL dtpx 即L1 e a xpL g (t )g(0)所以由 Laplace 变换的微分性质有，pxpLg(t) =

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