协方差分析-协方差分析的意义

1、 在科研中，实验效应除了受到处理因在科研中，实验效应除了受到处理因素的作用外，尚受到许多非处理因素的影素的作用外，尚受到许多非处理因素的影响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性别、病情、心理、环境、社会等因素的影别、病情、心理、环境、社会等因素的影响。响。药物临床疗效研究药物临床疗效研究疗效疗效药物药物病情病情心理因素心理因素患者的状况（性别、年龄患者的状况（性别、年龄其他因其他因素素混杂因混杂因素素举举 例例各组间的效应进行比较，必须保持组间的各组间的效应进行比较，必须保持组间的影响因素

2、（混杂因素的比例）相同，组间影响因素（混杂因素的比例）相同，组间才具有可比性。才具有可比性。 T + S1 e + s1 （实验组）（实验组） S2 s2 （对照组）（对照组） T e处理因素处理因素混杂因素混杂因素（在设计阶段控制混杂因素的方法）（在设计阶段控制混杂因素的方法） 在混杂因素中，有些是在混杂因素中，有些是难以完全控制难以完全控制的，的，如如, ,天气变化，饲料的进食量；有些是天气变化，饲料的进食量；有些是可以控可以控制制的，如年龄，动物的初始体重。的，如年龄，动物的初始体重。 可以控制的混杂因素：可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可在分析阶段）进行控制。难以控制的混杂因素：

3、难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。常见的实例常见的实例（1）比较不同施肥量对果树单株产量的影）比较不同施肥量对果树单株产量的影响，果树起始干周是混杂因素。响，果树起始干周是混杂因素。（2）比较两种药物治疗高血压的疗效，年）比较两种药物治疗高血压的疗效，年龄是一个混杂因素。龄是一个混杂因素。（3）研究不同饲料对动物增加体重的作用）研究不同饲料对动物增加体重的作用时，动物的初始体重、进食量等因素。时，动物的初始体重、进食量等因素。（4） 在分析阶段控制混杂因素的方法：在分析阶段控制混杂因素的方法：1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较、采用分层分析：如把年龄分组，再比较同一年龄组的正常体重与

4、超重组有无差别。同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。（适用：（适用：计量、计数资料）计量、计数资料）2、协方差分析（适用：、协方差分析（适用：计量资料）计量资料）3、多因素分析（适用：、多因素分析（适用：计量、计数资料计量、计数资料）协方差分析协方差分析 将线性回归与方差分析结合起来，检将线性回归与方差分析结合起来，检验两组或多组修正均数间有无差异的一种验两组或多组修正均数间有无差异的一种统计方法，用于消除混杂因素对分析指标统计方法，用于消除混杂因素对分析指标的影响。的影响。 协变量：协变量：在进行协方差分析时，混杂因素在进行协方差分析时，混杂因素统称为统称为协变量。协变量。 协方差分析的基

5、本思想：协方差分析的基本思想： 在作两组或多组均数在作两组或多组均数 ， ， 的假的假设检验前，用线性回归分析方法找出协变设检验前，用线性回归分析方法找出协变量量X X与各组与各组Y Y之间的数量关系，求得在假定之间的数量关系，求得在假定X X相等时修定均数相等时修定均数 ， ， ，然后用方差，然后用方差分析比较修正均数间的差别，这就是协方分析比较修正均数间的差别，这就是协方差分析的基本思想。差分析的基本思想。1 y2 ykyky2y1y协方差分析的应用条件协方差分析的应用条件要求各组资料都来自正态总体，且各组的方要求各组资料都来自正态总体，且各组的方差相等；（差相等；（t t检验或方差分析的

6、条件）检验或方差分析的条件）各组的总体回归系数各组的总体回归系数ii相等，且都不等于相等，且都不等于0 0（回归方程检验）。（回归方程检验）。 因此，应用协方差分析前，要对资料进行因此，应用协方差分析前，要对资料进行方差齐性检验方差齐性检验和和回归系数的假设检验（斜率同回归系数的假设检验（斜率同质性检验）质性检验），只有满足上述两个条件之后才能，只有满足上述两个条件之后才能应用，否则不宜使用。应用，否则不宜使用。 协方差分析的应用条件协方差分析的应用条件 各比较组协变量各比较组协变量X与分析指标与分析指标Y存在线性存在线性关系（按直线回归分析方法进行判断）。关系（按直线回归分析方法进行判断）。

7、各比较组的总体回归系数各比较组的总体回归系数i相等，即各直相等，即各直线平行线平行(绘出回归直线，看是否平行绘出回归直线，看是否平行)。 两条回归直线不平行两条回归直线不平行结论：结论：本资本资料不料不宜做宜做协方协方差分差分析析三条回归直线基本平行三条回归直线基本平行结论：结论：本资本资料可料可以做以做协方协方差分差分析析各回归系数不各回归系数不为零为零不满足条件时的处理方法不满足条件时的处理方法 X与与Y不满足线性关系时，通常情况下是不满足线性关系时，通常情况下是对对X或或Y或两者作适当的变量变换，使之符或两者作适当的变量变换，使之符合线性关系。合线性关系。 协方差分析适用的资料协方差分析

8、适用的资料协方差分析可用于：协方差分析可用于：完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、析因设计等资料；析因设计等资料；协变量协变量X X可以仅有一个，称一元协方差分析；可以仅有一个，称一元协方差分析；协变量协变量也可以有多个，称多元协方差分析。也可以有多个，称多元协方差分析。 yyyy22)()()(yyxxyyxxr) 1()() 1()() 1/()(22nyynxxnyyxxr1)(2nxx2x1)(2nyy2x1)(nyyxx 1)(nyyxxMPxy1)(nnyxxyxyyxxyMSMSMPr xyxyyxxyyxyxCOV),(p协方差分析是

9、将协方差分析是将线性回归线性回归与与方差分析方差分析相结合相结合 的一种分析方法。的一种分析方法。p把对把对反应变量反应变量Y有影响的因素有影响的因素X看作协变量看作协变量， 建立建立Y对对X的线性回归，的线性回归，利用回归关系把利用回归关系把X值值 化为相等，再进行各组化为相等，再进行各组Y的修正均数间比较的修正均数间比较。p修正均数修正均数是假设各协变量取值固定在其总是假设各协变量取值固定在其总 均数时的反应变量均数时的反应变量Y的均数。的均数。2)YY( 2)YY( 2)YY( p其实质是从其实质是从Y的总离均差平方和的总离均差平方和 中中 扣除协变量扣除协变量X对对Y的回归平方和的回归

10、平方和 ，对离回归平方和对离回归平方和 作进一步分解后再进作进一步分解后再进行方差分析。行方差分析。ijiijetuY第第i组第组第j个观个观测值测值随机误差随机误差第第i组的组效组的组效应应一般均值一般均值方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量ijxijyijuXuY)(ijxijeiyijuXtuY)(协变量效协变量效应应ijiijetuY可见可见,协方差分析将方差分析与回归分析结合了起来协方差分析将方差分析与回归分析结合了起来.方差分析方差分析回归分析回归分析.x.yknyxyxyyxxSPkinjijij

11、kinjijijT.).)(1111Tdfknyyknxxyyxxkiikii.,., ., .11.ix.x.iy.ykikiiiiitknyxyxnyyxxnSP11.1.).)(.(1 kdftijx.ixijy.iykinjkitTkiiinjijijiijiijeSPSPyxnyxyyxxSP11111.1.).)(edfkiin1kinjkiiiiijijTinyxyxSP111.11kiiTndfkiikkktnyxnyxnyxnyxSP1222111.1 kdftkinjijijeiyxSP11kkknyxnyxnyx.222111kiin1edf.4321xxxxx.4321

12、yyyyy75. 14815.638325.844815.63)10. 185. 150. 1 (2222222)( knxxSSijxT83. 04815.63)85.1365.1540.1525.18(121.122222212)(knxxnSSkiixt)(xtdf92. 083. 075. 1)()()(xtxTxeSSSSSS44347)()()(xdftxdfTdfxe76.96485 .55031.6410485 .550)00.11.00.1240.12(222222.2)(knyySSijyT4711241)( kndfyT68.114850.550)80.13380.144

13、10.13080.141(121.1222222.2)(knyynSSiyt3141)( kdfyt08.8568.1176.96)()()(ytyTyeSSSSSS44347)()()(ytyTyedfdfdfknyxyxSPkinjijijT.1125. 812450.55015.6350.73212450.55015.6300.1110. 1.00.1285. 140.1250. 1),(yxTdfknyxyxnSPkiiit.1112450.55015.63)80.13385.1380.14465.1510.13040.1580.14125.18(121),(yxtdf61. 664.

14、 125. 8tTeSPSPSP44347)()(),(vxtvxTyxedfdfdf1848. 792. 061. 6)()(xeeeyxSSSPb49.4792. 061. 62)(2)(xeeeRSSSPSS)()()(eRyeerSSSSSS43144)()()(eRyeerdfdfdf87.5775. 125. 876.962)(2)()()(xTTyTyRyTTSSSPSSSSSSSSTdf)(yTdf)(yRdf59.3792. 061. 608.852)(2)()()(xeeyeeRyeeSSSPSSSSSSSSedf)(yedf)(RedfeTtSSSSSSeTtf df d

15、f d)43, 3(01. 0F)43, 3(01. 0F)(eyxb)(eyxb.).(.)(xxbyyieyxii.iy.iy.ix.x3156. 14815.63.knxx)(eyxb)(eyxb.jiyyjiSyyt)(2.).(2xejieyySSxxnSMSji.jiyy.jiyySeSM .ix.jx.21yyeSM .1x.2x.21yyS4477. 092. 0)28. 152. 1 (1228742. 0285. 34477. 00758.123514.10t.jiyyS.jiyyS.jiyyS.jiyyS.jiyyS) 1(12)()(kSSSSnMSxexte)(dfetLSD.jiyyS.jiyyS4354. 0) 14(92. 083. 01128742. 02edfyS) 1(