数学实验[—用计算机做数学]

1、数 学 实 验用计算机做数学数学实验微分方程实验科学实验科学实验根据一定目的根据一定目的, ,运用仪器、设备等物质手段，在人运用仪器、设备等物质手段，在人为控制的条件下模拟自然现象，以认识自然界事物为控制的条件下模拟自然现象，以认识自然界事物的本质和规律为目的和任务。的本质和规律为目的和任务。 数学实验数学实验以数据、图形等为以数据、图形等为“思想材料思想材料”，以计算机为手段，以计算机为手段，以数学软件为实验平台，通过对数学问题和实际问以数学软件为实验平台，通过对数学问题和实际问题的探索，得到相应问题的解，并进行计算机模拟。题的探索，得到相应问题的解，并进行计算机模拟。数学实验微分方程实验欧

2、拉方法、最陡下降法、欧拉方法、最陡下降法、微分方程的稳定性。微分方程的稳定性。通过几何直观和数值计算的方法了通过几何直观和数值计算的方法了解微分方程解的性态。解微分方程解的性态。 数学实验微分方程实验牛顿最早研究天体的运动规律时，假定行星是各自牛顿最早研究天体的运动规律时，假定行星是各自独立的对象，只受到太阳引力的作用，因此牛顿的独立的对象，只受到太阳引力的作用，因此牛顿的分析只涉及两个对象，这类问题统称为分析只涉及两个对象，这类问题统称为“二体问二体问题题”.牛顿采用数学方法研究二体问题时，需要求牛顿采用数学方法研究二体问题时，需要求解的运动方程就是解的运动方程就是微分方程微分方程. 186

3、4年英国数学家勒年英国数学家勒维耶由引力定律建立了一个维耶由引力定律建立了一个微分方程模型微分方程模型，经严密，经严密分析后断定了海王星的存在性，并确定了海王星在分析后断定了海王星的存在性，并确定了海王星在天空中的位置天空中的位置. 数学实验微分方程实验利用利用mathematica解微分方程解微分方程dsolveyx=fx,yx,yx,x 求一阶微分方程求一阶微分方程 的特解的特解00d( , ), ()dyf x yy xyxdsolveyx =fx,yx,yx0=y0,yx,x d( , )dyf x yx求一阶微分方程求一阶微分方程 的通解的通解数学实验微分方程实验例例1 1 利用利用

4、mathematica求微分方程求微分方程的通解及在初始条件的通解及在初始条件 下的特解下的特解. 2d(1)dyxyx(0)1ydsolveyx=(1+x2) yx,yx,xdsolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x y xxx33c 1y xxx33s=dsolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x;yx_=yx/.s1,1x33x数学实验微分方程实验plotyx,x,-1,2-1-0.50.511.521020304050607033xxye微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线数学实验微分方程实验求一阶微分方程组求一阶微分方程组 的通解的通解d( , , )dd(

5、 , , )dxf t x ytyg t x yt dsolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt,xt,yt,t 求一阶微分方程组求一阶微分方程组 的特解的特解0000d( , , )dd( , , )d( ), ( )xf t x ytyg t x ytx txy ty数学实验微分方程实验 dsolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt,xt0=x0,yt0=y0,xt,yt,t 例例2 2 利用利用mathematica求微分方程组求微分方程组的通解和在初始条件的通解和在初始条件 下的特解下的特解. d32dd2dxxytyxyt(0)1,(0)0 xy数学实验微

6、分方程实验dsolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt,xt,yt,tdsolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x0=1,y0=0,xt,yt,t x tt12 tc 12tt c 2 ,y t2tt c 1t12 tc 2x tt12 t , y t2tt数学实验微分方程实验00.250.50.7510246802400.250.50.75102468轨线轨线解曲线解曲线s=dsolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x0=1,y0=0,xt,yt,t ;xt_=xt/.s1,1;yt_=yt/.s1,2;f1=parametricplot3d0,xt,yt

7、,t,0,1f2=parametricplot3dt,xt,yt,t,0,1showf1,f2数学实验微分方程实验ndsolveyx=fx,yx,yx0=y0,yx,x,x0,x1 求一阶微分方程求一阶微分方程 的数值解的数值解00d( , ), ()dyf x yy xyx例例3 3 求黎卡提求黎卡提(riccati)方程方程 在初始条件在初始条件 下的数值解下的数值解. 22ddyxyx(0)0.5yndsolveyx=x2+yx2,y0=0.5,yx,x,0,1y xinterpolatingfunction0.1. ,x数学实验微分方程实验实验一：磁场的分布实验一：磁场的分布微分方程的

8、线素场微分方程的线素场 磁力线演示磁力线演示磁力线是用来形象地描述磁场状态的一种工具，以力磁力线是用来形象地描述磁场状态的一种工具，以力线上某一点的切线方向表示该点的磁场强度的方向，线上某一点的切线方向表示该点的磁场强度的方向，以力线的疏密程度表示磁场的强度。以力线的疏密程度表示磁场的强度。 数学实验微分方程实验xyo( , )x y斜率斜率( , )kf x yd( , )dyf x yx方程方程 的积分曲线与线素的积分曲线与线素积分曲线积分曲线数学实验微分方程实验由由mathematica描绘方程的线素场（方向场）描绘方程的线素场（方向场）clearallf,hdirectionalfie

9、ldf_,x_,xmin_,xmax_,y_,ymin_,ymax_,m_,n_,h_,opts_:=modules,s1,x,y,a,b,k,i,j,lines, s=solvey-b=k (x-a),(x-a)2+(y-b)2=h2,x,y/simplify; s1=flattens; xa_,b_,k_=x/.s14; ya_,b_,k_=y/.s13; h1=(xmax-xmin)/m; h2=(ymax-ymin)/n; a=xmin+i h1;b=ymin+j h2; k=f/.xa,yb; lines=tablelinea,b,xa,b,k,ya,b,k,i,0,m,j,0,n;

10、 showgraphicslines,opts,axes-automatic,aspectratio-automatic 这是一个通用程序，只要给定右端函数，线素场的这是一个通用程序，只要给定右端函数，线素场的区域和选取点的个数，就可自动生成该方程对应的区域和选取点的个数，就可自动生成该方程对应的线素场线素场.数学实验微分方程实验fx_,y_:=x2+y2-1directionalfieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,20,20,0.1 -2-112-2-112数学实验微分方程实验在平面在平面 和和 处分别放置两个正、负单位电处分别放置两个正、负单位电荷，则它们在平面上产生一磁场荷，

11、则它们在平面上产生一磁场. (, 0)a( , 0)ad( , )d( , )yq x yxp x y22 3/222 3/222 3/222 3/2( , )()()( , )()()xaxap x yxayxayyyq x yxayxay数学实验微分方程实验-3-2-1123-3-2-1123磁场的分布图磁场的分布图 数学实验微分方程实验实验二：炮弹飞行的轨迹实验二：炮弹飞行的轨迹欧拉方法欧拉方法数学实验微分方程实验考虑初值问题考虑初值问题 00d( , ),()dyf x yy xyxd()( )dyy xhy xxh()( )( , )()( )( , )y xhy xf x y hy

12、 xhy xf x y h 或或取一列点取一列点 ，记，记则有则有 0(0,1,2,)nxxnh n0()nyy xnh1(,) (0,1,2,)nnnnyyf xy h n欧拉（欧拉（euler）方法）方法 数学实验微分方程实验用欧拉方法和用欧拉方法和mathematica求微分方程近似解求微分方程近似解 clearallfeulerf_,x_,x0_,x1_,h_,y_,y0_,opt_:= modulepoints,y0=y0;xn_:=x0+n h; yn_:=yn-1+ h f/.x-xn-1,y-yn-1/n; m=floor(x1-x0)/h; points=tablexn,yn

13、,n,0,m;listplotpoints,opt133( , )2f x yy-2-112-2-112数学实验微分方程实验-2-112-2-112线素场和欧拉方法近似解的比较线素场和欧拉方法近似解的比较数学实验微分方程实验比较方程比较方程 的解析解与近似解的解析解与近似解dsin,(0)1dyxyyx0.511.52246810数学实验微分方程实验欧拉方法的改进欧拉方法的改进 11111111(,)(,)(,)2nnnnnnnnnnzyf xyhf xyf xzyyh数学实验微分方程实验实验三：黄土高原上的沟壑实验三：黄土高原上的沟壑最陡下降法最陡下降法 也许你去过西北的黄土高原，也许从各种

14、媒体上了也许你去过西北的黄土高原，也许从各种媒体上了解那里的景象，到处是沟壑交错，这主要是由于长解那里的景象，到处是沟壑交错，这主要是由于长年雨水的冲刷而形成的年雨水的冲刷而形成的. 你也许会想到，这些沟壑的你也许会想到，这些沟壑的分布走向与地形有关，如果你手中有一张当地的地分布走向与地形有关，如果你手中有一张当地的地形图，你会发现这些沟壑往往是垂直穿过所倚山峦形图，你会发现这些沟壑往往是垂直穿过所倚山峦的等值线的等值线 .数学实验微分方程实验西点军校附近地区地形等高线图西点军校附近地区地形等高线图数学实验微分方程实验例例 设有一表面光滑的橄榄球，它的表面形状为由长设有一表面光滑的橄榄球，它的

15、表面形状为由长半轴为半轴为6，短半轴为，短半轴为3的椭圆绕其长轴旋转一周所得的椭圆绕其长轴旋转一周所得的旋转椭球面。在无风的细雨天，将球放在室外草的旋转椭球面。在无风的细雨天，将球放在室外草坪上，使长轴水平放置，求雨水从椭球面流下的路坪上，使长轴水平放置，求雨水从椭球面流下的路线方程。线方程。36oyz63xyoz.),(yxfgrad数学实验微分方程实验36oyz63xyoz.),(yxfgrad建立方程建立方程),(),(ddyxfyxfxyxyxyo0 x0y),(yx.),(yxfgrad投影曲线投影曲线36913),(:22yxyxfz数学实验微分方程实验),(),(ddyxfyxf

16、xyxy22( , )3 1936xyf x y 解方程解方程 ，其中，其中（1）求投影曲线方程）求投影曲线方程 （2）求出投影曲线的自变量的变化范围）求出投影曲线的自变量的变化范围 （3）描绘雨水下流路线及投影曲线）描绘雨水下流路线及投影曲线利用利用mathematica求解上述问题的步骤：求解上述问题的步骤：数学实验微分方程实验quickestdescenta_, b_, c_, x0_, y0_, h1_, h2_, opt_:=modulef, fx, fy, g, ellipsoid, s, t, r, l, p, d, descentroad, projection, genera

17、tor, y,fx_, y_:=c sqrt1-x2/a2-y2/b2;fxx_, y_:=dfx, y, x;fyx_, y_:=dfx, y, y;gx_, y_=fyx, y/fxx, y;ellipsoid=parametricplot3da sinu cosv, b sinu sinv, c cosu,u, 0, pi/2, v, 0, 2pi, displayfunction-identity;s=dsolveyx=gx,yx, yx0=y0, yx, x;yx=yx/. s1,1;printy(x)= , yx;t=solvefx,y=0, y=yx/. s1,1, x, y;f

18、ori=1, i0, l=r;p=tablex, yx/. s1,1, 0, x, x0, l, h1;projection=graphics3drgbcolor1,0,0, thickness0.015, linep;d=tablex, yx/. s1,1, fx, yx/. s1,1, x, x0, l, h1;descentroad=graphics3drgbcolor1,0,0,thickness0.015, lined;generator=tablegraphics3drgbcolor0, 1, 0,linex, yx/. s1,1, 0, x, yx/.s1,1, fx, yx/.

19、s1,1, x, x0, l, h2;startpoint=graphics3dpointsize0.03, rgbcolor1,0,0,pointx0, y0, fx0, y0;showprojection, ellipsoid, startpoint, descentroad, generator,plotrange-a,a,0,b,0,c,opt 数学实验微分方程实验x0=0.1;y0=1.5;a=3;b=6;c=3;f1=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,viewpoint-1,-2,1, displayfunction-identity,box

20、ed-falsef2=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,viewpoint-1,2,1, displayfunction-identity,boxed-falsef3=quickestdescenta,b,c,x0,y0,0.001,0.2,viewpoint-1,-2,0.7, displayfunction-identity,boxed-falseshowgraphicsarrayf1,f2,f3 数学实验微分方程实验实验四：战争能爆发吗？实验四：战争能爆发吗？微分方程稳定性微分方程稳定性 两国势均力敌的军事力量互相制约，能保证相互两国势均力敌的军事

21、力量互相制约，能保证相互之间的和平共处，一旦某一国的军事力量无限扩之间的和平共处，一旦某一国的军事力量无限扩张，便会对另一国构成威胁，爆发战争的机会大张，便会对另一国构成威胁，爆发战争的机会大大增加大增加. 影响军事力量增加的速度有三个方面：影响军事力量增加的速度有三个方面：（1）对方国家的军事力量可以刺激本国军事力量）对方国家的军事力量可以刺激本国军事力量的发展；的发展；（2）本国已有的军事力量会对本国继续扩军产生）本国已有的军事力量会对本国继续扩军产生抑制作用；抑制作用；（3）本国人民、军队对对方国人民、军队产生仇）本国人民、军队对对方国人民、军队产生仇视的程度会增加本国扩军视的程度会增加

22、本国扩军. 数学实验微分方程实验将甲乙两国的军事力量量化为将甲乙两国的军事力量量化为 和和( )x t( )y td( )dd( )dxkyxg ttylxyh tt 其中其中 为正常数，为正常数， 和和 是对对方国的是对对方国的敌视程度，为简单我们设它们为常数敌视程度，为简单我们设它们为常数 和和 . , ,k l ( )g t( )h tgh解方程解方程 得平衡点得平衡点 00kyxglxyh00lg(,)(,)khghxyklkl数学实验微分方程实验（1）当）当 时时 ，平衡点是稳定的，此时由，平衡点是稳定的，此时由于甲、乙两国的军事力量趋于于甲、乙两国的军事力量趋于 和和 ,所以在这一所以在这一时期内两国会和平相处；时期内两国会和平相处； 0kl0 x