光滑曲线弧长公式

1、定义定义1 设平面曲线设平面曲线 c 由以下参数方程表示由以下参数方程表示:( ),( ), ,.xx tyy tt ( )( ),( )( )x ty tx ty t 如如果果与与在在上上连连续续可可微微 且且与与.c不不同同时时为为零零，则则称称为为一一光光滑滑曲曲线线3 平面曲线的弧长与曲率本节定义光滑曲线的弧长本节定义光滑曲线的弧长, ,并用定积分给出弧并用定积分给出弧算公式算公式. .一、平面曲线的弧长定义定义2 设平面曲线设平面曲线 c 由参数方程由参数方程( ),( ), ,xx tyy tt 01:,max()niitttttt，101lim,niitippsc若若存存在在 则

2、则称称曲曲线线是是可可求求长长的的 , 表表示示. .对对的的一一个个分分割割cc相相应应地地对对有有一一个个分分割割, ,即即上上有有分分点点01,.nap ppb.sc并并定定义义该该极极限限值值为为曲曲线线的的弧弧长长曲线曲线, 则则 c 是可求长的是可求长的, 且弧且弧长为长为22( )( )d .sxtytt 定理定理10.1 (光滑曲线弧长公式光滑曲线弧长公式)设曲线设曲线 c 由参数方由参数方101,limniitipp可可以以证证明明 极极限限与与注注参参数数方方程程的的表表示示方方式式无无关关. .( ),( ), ,.xx tyy tt 程程表表示示若若 c c 为一光滑为

3、一光滑11( )()(),.iiiiiiiiyy ty tytxx 于是于是22111nniiiiiip pxy .:110 nnttttt证证 设设 , , 的的任任一一分分割割1, ,iitt在在上上由由微微分分中中值值定定理理11( )()(),iiiiiiiixx tx txtxx 221()()niiiixyt 221()().niiiixyt 22( )( ) ,xtyt 由由于于在在上上连连续续, ,从从而而可可积积， niiiityx122)()( niiiityx122)()( 因此因此222201lim()()( )( )d .niiitixytxtytt 由第一章由第一章

4、1习题习题6可知可知. )()()()()()(2222iiiiiiyyyxyx ( ) , ,y t 又又在在上上连连续续 从从而而在在上上一一致致连连续续, ,0,0,t 因因此此对对任任意意存存在在当当时时()(),1, 2, .iiyyin 于是于是,22221()()()()niiiiiixyxyt 1()(),niiiiyyt即即222201lim()()()()0,niiiiiiiiitixyxyt从而从而22101lim( )( )d .niitisp pxtytt 因此当因此当 f 在在 a, b 上连续可微时上连续可微时,21( )d .basfxx示示, ,则则 c 又可

5、看作又可看作( )cos ,( )sin , ,.xryr 注注1 若曲线若曲线 c 由直角坐标方程由直角坐标方程( ), , yf xxa b表示表示, ,则则 c 亦可看作亦可看作,( ), , .xx yf xxa b 注注2 若曲线若曲线 c 由极坐标方程由极坐标方程( ), ,rr 表表由于由于),()()()(2222 rryx( ) ,( )( )rrr 若若在在上上连连续续 且且与与不不同同时时为为零零, ,22( )( )d .srr 则则,cos)(sin)()( rry( )( )cos( )sin ,xrr 解解2( )3 cossin ,x tatt 2( )3 si

6、ncos .y tatt22204( )( )dsxtytt 因因此此202222dcossin3sincos34 tttatta20dcossin12 ttta220sin122ta .6a例例133cos,sin,0,2 xat yat t 求求星星形形线线的的.周周长长xyoa200eeee1dd.22xxaaaasyxx因因此此ee0, .2xxya求求悬悬链链线线在在上上的的一一段段弧弧长长例例 2解解ee,2xxy 22(ee)1.4xxy解解2222200( )( ) d1dsrra 22214ln(214) .2a 段段弧长弧长.例例3 ,0,2 (0)raa 求求阿阿基基米米

7、德德螺螺线线的的一一在光滑曲线在光滑曲线 上上, 弧段弧段 与与 的长度相差不的长度相差不cpqqr*二、平面曲线的曲率曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个概念曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个概念. .如图所示如图所示, , oxycpqr ( ) t 多而弯曲程度却很不一样多而弯曲程度却很不一样. . 转过的角度转过的角度 要大得多要大得多 比动点从比动点从q 移到移到 r 时切线时切线.到到q 时时, 切线转过的角度切线转过的角度这反映动点沿曲线从这反映动点沿曲线从p 移移设设 表示曲线在点表示曲线在点 处切线的倾角处切线的倾角, , ( ) t ( ( ), ( )p x ty tks liml

8、im,t0s0dkssds ()( )ttt 表示动点由表示动点由 p 沿曲线移至沿曲线移至( (), ()q x tty ttpq时切线倾角的增量时切线倾角的增量. .若若s 之长为之长为, ,则称则称pq为弧段为弧段 的平均曲率的平均曲率. .如果存在有限极限如果存在有限极限则称此极限则称此极限 k 为曲线为曲线 c 在在 p 处的曲率处的曲率. 由于曲线光滑由于曲线光滑, ,故总有故总有 ( )( )( )arctan( )arccot.( )( )y tx tttx ty t 或或( ), ( )x ty t若若二二阶阶可可导导, ,则则由由1 222( )( )( )s txtyt

9、可得可得3 2d( )( )( )( )( ).d( )( )( )22tx t y tx t y tss txtyt 即即223 2.()x yx ykxy 若曲线由若曲线由 表示表示, ,则则( )yf x23 2.(1)yky例例1 求椭圆求椭圆 上曲率上曲率cos ,sin , 02xat ybtt 解解 由于由于最大和最小的点最大和最小的点. .sin ,( )cos ,cos ,sin ,xat x tat ybt ybt 因此椭圆在各点的曲率为因此椭圆在各点的曲率为3 222223 22222.(sincos)()sinababkatbtabtbmaxmin,.22abkkba当

10、当 时时, 在在 处曲率最大处曲率最大, ,在在 0ab0,t ,2t 由例由例1 1可得可得, ,若若 则各点处曲率相等则各点处曲率相等, 为为 ,abr1.r32 处曲率最小处曲率最小, ,显然显然, 直线上各点处的曲率为直线上各点处的曲率为 0.设曲线上一点设曲线上一点p处曲率处曲率 若过若过 p 作一个半径为作一个半径为0.k 1k 的圆的圆, 使它在点使它在点 p 处与曲线有相同的切线处与曲线有相同的切线, 并在并在 p 近旁与曲线位于切线的同侧近旁与曲线位于切线的同侧( (见图见图). ). 在在p p 处的曲率圆处的曲率圆. .曲率圆曲率圆oxycp 0p1k率圆的圆心称为曲率中

11、心率圆的圆心称为曲率中心.的半径称为曲率半径的半径称为曲率半径, 曲曲我们把这个圆称为曲线我们把这个圆称为曲线火车轨道从直道进入半径为火车轨道从直道进入半径为 r 的的oxyqrb00(,)a xy0(,0)c xl 2va 不不发发生生跳跳跃跃式式的的突突变变).).火车的向心加速度火车的向心加速度以保证火车安全以保证火车安全(使使1,r道道(用虚线表示用虚线表示),使得曲率由零连续地变到使得曲率由零连续地变到圆形弯道时圆形弯道时,为了行车安全为了行车安全,必须经过一段缓冲轨必须经过一段缓冲轨例例2 如图所示如图所示,3,6xyrlloa其其中中 是是的的弧弧长长. .对此曲线对此曲线用曲率公式得用曲率公式得: :oa弧弧形形轨轨道道, ,为为缓缓冲冲轨轨道道. .缓冲曲线常用三次曲线缓冲曲线常用三次曲线abr轨轨道道, ,是是半半径径为为 的的圆圆(0)xx图图中中 轴轴表表示示直直线线2 22 243 28.(4)r l xkr lx的曲的曲率从率从 0 渐渐增加到接近于渐渐增加到