椭圆定义及标准方程

1、椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程问问:解析几何要解决的两类基本问题是什么解析几何要解决的两类基本问题是什么?答答:(1)已知曲线研究其方程已知曲线研究其方程; (2)已知曲线方程研究其曲线的性质已知曲线方程研究其曲线的性质.椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程1F2F),(yxM回顾圆的定义及标准方程的学习过程及求法回顾圆的定义及标准方程的学习过程及求法:1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹2、求轨迹方程的基本步骤：求轨迹方程的基本步骤：（1）建立）建立适当适当的坐标系，用的坐标系，用(

2、x,y)表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件P的点的点M的集合的集合(可以省略可以省略);（3）将条件）将条件P（M）坐标化，列出方程）坐标化，列出方程 ; （4）对方程化简；）对方程化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以可以省略不写省略不写,如有特殊情况，如有特殊情况， 应当应当适当适当予以予以说明说明). 设想：设想： 平面内与两定点的距离的和等于平面内与两定点的距离的和等于定长的点的轨迹是什么呢？定长的点的轨迹是什么呢？椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程2.1 椭

3、圆定义及标准方程仙女座星系星系中星系中的椭圆的椭圆-“传说中的传说中的”飞碟飞碟椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程 平面内平面内与两个与两个定点定点F1、F2的距离的的距离的和和等于等于常数常数(大于大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点, 两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距。 问题问题1：当常数等于：当常数等于|F1F2|时，点时，点M的轨迹是的轨迹是 ;问题问题2：当常数小于：当常数小于|F1F2|时，点时，点M的轨迹是的轨迹是 .线段线段F1F2不存在不存在一、椭圆定义：一、椭圆定义：椭圆定

4、义及标准方程椭圆定义及标准方程二、椭圆的标准方程：二、椭圆的标准方程：1F2F),(yxMOxy 设设M(x,y)是椭圆上任一点，是椭圆上任一点，由定义知：由定义知：aMFMF221()()aycxycx22222-如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系 椭圆的焦距为椭圆的焦距为2c(c0) ，则，则F1(-c,0)、F2(c,0)，M与与F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数2a。分析：分析：（2）如何建系，）如何建系， 使得椭圆的使得椭圆的 方程较简单？方程较简单？（1）求椭圆的方）求椭圆的方 程出发点？程出发点？（定义）（定义）椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程将方程移项后平方得

5、：将方程移项后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-两边再平方得：两边再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-1F2FxyO),(yxM由椭圆定义知：由椭圆定义知：0,2222-cacaca即()()aycxycx22222-(): 0 222得设-bbca222222bayaxb椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程 这个方程叫做这个方程叫做椭圆的标准方程椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是轴上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0

6、)，其中，其中 c2=a2-b2 . 如果用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在如果用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在y轴上，轴上，可得出它的方程为：可得出它的方程为：()0 12222babxay它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。()0 12222babyax两边同除以两边同除以 得：得：22ba222222bayaxb1F2FxyO),(yxM椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程 yoF1F2Mx yxoF1F2M二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程：*两种椭圆图形的异同点两种椭圆图形的异同点:两种椭圆相对于坐标系的位置不两种椭圆相对于坐标系的位置不 同，它们的焦同，它们的焦点坐标也

7、不同点坐标也不同x、y下的分母大小不同。下的分母大小不同。同同:异：异：形状相同形状相同,大小相同，大小相同，a,c几何意义相同，并且：几何意义相同，并且：其中其中a最大最大,b,c大小无法确定。大小无法确定。()0 12222babyax()0 12222babxay椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程椭圆的标准方程的再认识：椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=c2+b2 。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由

8、椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（4）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上，（哪一个轴上，（a总是最大）总是最大）或看焦点坐标来决定或看焦点坐标来决定a、b。()0 12222babxay yoF1F2Mx yxoF1F2M二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程：()0 12222babyax椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程1：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明a2、b2， 写出焦点坐标。写出焦点坐标。11625)1(22yx答：在答：在 x 轴，轴，11

9、69144)2(22yx答：在答：在 y 轴。轴。11) 3(2222mymx答：在答：在y 轴。轴。判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。课堂练习：课堂练习： a2=25,b2=16;（3，0）.a2=169,b2=144; （0，5）a2=m2-1,b2=m2; （0，1）椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程2 椭圆上一点椭圆上一点P到一个焦点的距离为到一个焦点的距离为5，则则P到另一个焦点的距离为（到另一个焦点的距离为（ ）A.5 B.6 C.4 D.10192522yxA3.已知椭圆的方程为已知

10、椭圆的方程为 ，焦点在，焦点在X轴上，轴上，则其焦距为（则其焦距为（ ）A 2 B 2C 2 D 218222myx28m-m-2282-m222-mA ,焦点在焦点在y轴上的椭圆的标准方程轴上的椭圆的标准方程是是 _.1, 6ca2213635yx椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程小结：小结：本节课学习了椭圆的定义及标准方程本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点应注意以下几点: 椭圆的定义中椭圆的定义中a、b、c皆正，皆正，a2=b2+c2 ,其中其中2c是是 椭圆焦距；椭圆焦距； 要注意特征量要注意特征量a 、 b、c的几何意义的几何意义 ,它们确定椭它们确定椭圆的形状圆的形

11、状. 焦点的位置由椭圆的标准方程中焦点的位置由椭圆的标准方程中x2,y2的分母大小的分母大小 或焦点坐标来决定；或焦点坐标来决定； 求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确 定代入哪个方程解题定代入哪个方程解题.椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程 作业作业: 1、课课P33练习练习1、2 P39习题习题1。 2、世纪金榜世纪金榜P18-19 基础达标基础达标1、3、4 3、补充：若补充：若 表示椭圆，求表示椭圆，求k的取值范围的取值范围再见！再见！1162422-kykx椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程注注：1.标准方程中的两个参数标准方程中的

12、两个参数a和和b，确定了椭圆的，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的形状和大小，是椭圆的定形定形条件。条件。 3.由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的标准方程需要三个条件：焦点位置、标准方程需要三个条件：焦点位置、 a、b的值。的值。 2.焦点焦点F1、F2的位置，是椭圆的的位置，是椭圆的定位定位条件，它条件，它决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型，决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型，也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型。反式，不知道焦点位置，

13、其标准方程具有两种类型。反过来，只要知道方程的形式，就可以判定焦点位置。过来，只要知道方程的形式，就可以判定焦点位置。一般先定位后定形！一般先定位后定形！椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程()04，()04，-例例 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是 、椭圆上一点到两焦点距离的和等于椭圆上一点到两焦点距离的和等于10192522 yx两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),并且经过并且经过-2523，求焦点在坐标轴上，且经过求焦点在坐标轴上，且经过A（ , -2 )和和B（ ，1） 两点的椭圆的标准方

14、程。两点的椭圆的标准方程。32 3椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程分析：分析： 由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方 程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为 mx2+ny2=1(m、n0且且mn) ,其中其中m、n的大小先不做确定，的大小先不做确定， 即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出m、n值后值后 再行判断其焦点位置再行判断其焦点位置 。： 求焦点在坐标轴上，且经过求焦点在坐标轴上，且经过A（ , -2 )和和B（ ，1）两点

15、的椭圆的标准方程。两点的椭圆的标准方程。332解：解：设椭圆方程为：设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m、n0) 因为椭圆过点因为椭圆过点A（ , -2 )和和B（ ，1），）， 故得故得 3m+4n=1与与12m+n=1 所以，所以， 所以，椭圆的方程为所以，椭圆的方程为 332151522yx51,151nm椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程反思反思 ：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进行：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进行分类讨论，但计算较分类讨论，但计算较 为复杂。一般可先设其方程为复杂。一般可先设其方程为为mx2+ny2=1(m、n0且且mn) ，只是此时，只是此时m、n

16、 的大的大小还未确小还未确 定，用已知的条件来求出其值即可确定定，用已知的条件来求出其值即可确定X、Y型。型。 所以像这种求椭圆方程先假设其方程所以像这种求椭圆方程先假设其方程, 然后根据题目然后根据题目条件得出所求方程的方法条件得出所求方程的方法,我们称之为我们称之为待定系数法待定系数法。： 求焦点在坐标轴上，且经过求焦点在坐标轴上，且经过A（ , -2 )和和B（ ，1）两点的椭圆的标准方程。两点的椭圆的标准方程。332椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程()0 12222babyax12xyoFFMy xoF2F1M()0 12222babxay定定 义义图图 形形标准方程标准方程焦焦

17、点点F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c的关系的关系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)椭圆的标准方程椭圆的标准方程,焦距为2c,焦距为2c椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程1、椭圆、椭圆 的焦距为的焦距为 222312xy21 2xy-所表示的曲线是所表示的曲线是 2、3、已知方程、已知方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则 m的取值范围是的取值范围是221259xymm-4、已知椭圆、已知椭圆 上一点上一点P到其中一个焦点的距离为到其中一个焦点的距离为3， 则点则点P到另一个焦点的距离是到另一个焦点的

18、距离是2212516xy5、已知、已知F1， F2是椭圆是椭圆 的两焦点，过的两焦点，过F2的直线交椭圆的直线交椭圆于点于点A，B，若，若 ，则，则221169xy5AB 11AFBF22右半个右半个X X型椭圆型椭圆（8,258,25）7 71111练习：练习：椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程例例2、已知点、已知点P是椭圆是椭圆4y2+5x2=20上的一点，上的一点，F1与与F2是焦点，且是焦点，且 F1PF2=600 ，求，求 F1F2P的周长与面积。的周长与面积。252334椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程例例3：已知圆：已知圆A：(x3)2y2100，圆，圆A内一定点内一定点

19、B(3，0)，圆，圆P过过B点且与圆点且与圆A内切，求圆心内切，求圆心P的轨的轨 迹方程迹方程圆圆P与圆与圆A内切，圆内切，圆A的半径为的半径为10两圆的圆心距两圆的圆心距PA10r，222 51 6xy2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即点即点P的轨迹方程为的轨迹方程为 1解：设解：设PBr即即PAPAPBPB1010点点P的轨迹是以的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆两点为焦点的椭圆(大于大于AB)椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程练习：已知练习：已知 B、C 是两个定点，是两个定点，|BC| = 6，且，且ABC的的 周长等于周长等于16，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨

20、迹方程 .ABCxyO解：解： 建系如图，建系如图， 由题意由题意|AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6，有 |AB|+|AC|=10， 由椭圆的定义知由椭圆的定义知：点点A的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆，2c=6 , 2a=10， c=3 ，a=5 ，b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .故顶点故顶点A的轨迹方程是：的轨迹方程是：1162522yx(y0) 椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程小结：小结：1、先定位后定量；、先定位后定量；2、设方程技巧：焦点位置不确定时，不妨设其标准、设方程技巧：焦点位置不确定时，不妨设其标准方程为方程为mx2+ny2=1(m、n0且且m

21、n)3、设方程技巧：与、设方程技巧：与有相同焦点的椭圆方有相同焦点的椭圆方程不妨设为程不妨设为4、求动点的轨迹方程时：、求动点的轨迹方程时：若无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤若无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤;若可由若可由定义法定义法判断出曲线类型：可直接套用现成结论。判断出曲线类型：可直接套用现成结论。求出曲线的方程之后，要验证方程是否有求出曲线的方程之后，要验证方程是否有增根增根，如有，如有，应在方程后应在方程后注明限制条件注明限制条件。12222byax22221xyakbk椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程椭圆过点椭圆过点A(2,A(2,3)3)，且与椭圆，且与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点。有相同的焦点。 求该椭圆的标准方程求该椭圆的标准方程1162422-kykx补充作业：补充作业：若若 表示椭圆，求表示椭圆，求k k的取值范围的取值范围 平面内两个定点的距离是平面内两个定点的距离是8 8，写出到这两个定点的距离，写出到这两个定点的距离 的和是的和是1010的点的轨迹方程的点的轨迹方程在平面直角坐标系中，已知在平面