高考文科数学真题及答案全国卷1

1、2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013课标全国，文1)已知集合a1,2,3,4，bx|xn2，na，则ab()a1,4 b2,3 c9,16 d1,2【答案】a【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】bx|xn2，na1,4,9,16，ab1,42(2013课标全国，文2)()a. -1-12i b c1+12i d1-12i【答案】b【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】.

2、3(2013课标全国，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()a b c d【答案】b【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为.4(2013课标全国，文4)已知双曲线c：(a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为()a y=14x by=13x c dy=x【答案】c【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。【解析】，即.c2a2b2，.双曲线的渐近线方程为，渐近线方程为.故选c.5(

3、2013课标全国，文5)已知命题p：xr,2x3x；命题q：xr，x31x2，则下列命题中为真命题的是()apq bpq cpq dpq【答案】b【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。【解析】由2030知，p为假命题令h(x)x31x2，h(0)10，h(1)10，x31x20在(0,1)内有解xr，x31x2，即命题q为真命题由此可知只有pq为真命题故选b.6(2013课标全国，文6)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为sn，则()a sn=2an-1 bsn=3an-2 csn=4-3an dsn=3-2an【答案】d【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。【解析】32an

4、，故选d.7(2013课标全国，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t1,3，则输出的s属于()a3,4 b5,2c4,3 d2,5【答案】a【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。【解析】当1t1时，s3t，则s3,3)当1t3时，s4tt2.该函数的对称轴为t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减smax4，smin3.s3,4综上知s3,4故选a.8(2013课标全国，文8)o为坐标原点，f为抛物线c：y2的焦点，p为c上一点，若|pf|，则pof的面积为()a2 b c d4【答案】c【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【解析

5、】利用|pf|，可得xp.yp.spof|of|yp|.故选c.9(2013课标全国，文9)函数f(x)(1cos x)sin x在，的图像大致为()【答案】c【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由f(x)(1cos x)sin x知其为奇函数可排除b当x时，f(x)0，排除a.当x(0，)时，f(x)sin2xcos x(1cos x)2cos2xcos x1.令f(x)0，得.故极值点为，可排除d，故选c.10(2013课标全国，文10)已知锐角abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c,23cos2acos 2a0，a7，c6，则b()a10 b9 c8 d

6、5【答案】d【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。【解析】由23cos2acos 2a0，得cos2a.a，cos a.cos a，b5或(舍)故选d.11(2013课标全国，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a168 b88c1616 d816【答案】a【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体v半圆柱2248，v长方体42216.所以所求体积为168.故选a.12(2013课标全国，文12)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()a(，0 b(，1c2,1

7、d2,0【答案】d【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示当a0时，yax与y|f(x)|恒有公共点，所以排除b，c；当a0时，若x0，则|f(x)|ax恒成立若x0，则以yax与y|x22x|相切为界限，由得x2(a2)x0.(a2)20，a2.a2,0故选d.第卷（选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2013课标全国，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.【答案】2【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。【解析】bc0，|a|

8、b|1，a，b60，ab.bcta(1t)bb0，即tab(1t)b20.1t0.t2.14(2013课标全国，文14)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_【答案】3【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如图所示画出直线2xy0，并平移，当直线经过点a(3,3)时，z取最大值，且最大值为z2333.15(2013课标全国，文15)已知h是球o的直径ab上一点，ahhb12，ab平面，h为垂足，截球o所得截面的面积为，则球o的表面积为_【答案】【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。【解析】如图，设球o的半径为r，则ah，oh.又eh2，eh1.在rtoeh中，r

9、2，r2.s球4r2.16(2013课标全国，文16)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.【答案】【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos .当x2k(kz)时，f(x)取最大值即2k(kz)，2k(kz)cos sin .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013课标全国，文17)(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和sn满足s30，s55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1

10、)设an的公差为d，则sn.由已知可得3a1+3d=05a1+10d=-5解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.18(2013课标全国，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为a药，b药)的疗效，随机地选取20位患者服用a药，20位患者服用b药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用a药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用b药的20位患者日平均增加

11、的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设a药观测数据的平均数为，b药观测数据的平均数为.由观测结果可得(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.

12、92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得，因此可看出a药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，a药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而b药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出a药的疗效更好19(2013课标全国，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若abcb2，a1c，求三棱柱abca1b1c1的体积【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取ab的中点o，连结oc，oa1，a

13、1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以 ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由题设知abc与aa1b都是边长为2的等边三角形，所以ocoa1.又a1c，则a1c2oc2，故oa1oc.因为ocabo，所以oa1平面abc，oa1为三棱柱abca1b1c1的高又abc的面积sabc，故三棱柱abca1b1c1的体积vsabcoa13.20(2013课标全国，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)

14、求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。【解析】(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)21(2013课

15、标全国，文21)(本小题满分12分)已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由已知得圆m的圆心为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23.设圆p的圆心为p(x，y)，半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线c是以m，

16、n为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x2)(2)对于曲线c上任意一点p(x，y)，由于|pm|pn|2r22，所以r2，当且仅当圆p的圆心为(2,0)时，r2.所以当圆p的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|ab|.若l的倾斜角不为90，由r1r知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为q，则，可求得q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆m相切得1，解得k.当k时，将代入，并整理得7x28x80，解得x1,2，所以|ab|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|ab|.综上，|ab|或|ab|.请考生在第(22)

17、、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(2013课标全国，文22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于点d.()证明：db=dc;()设圆的半径为1，bc=3，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径。【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。【解析】 (1)连结de，交bc于点g.由弦切角定理得，abebce. 而abecbe，故cbebce，

18、bece.又因为dbbe，所以de为直径，dce90，由勾股定理可得dbdc.(2)由(1)知，cdebde，dbdc，故dg是bc的中垂线，所以bg.设de的中点为o，连结bo，则bog60.从而abebcecbe30，所以cfbf，故rtbcf外接圆的半径等于.23(2013课标全国，文23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知曲线c1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为2sin .(1)把c1的参数方程化为极坐标方程；(2)求c1与c2交点的极坐标(0,02)【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。【解析】(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即c1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以c1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)c2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以c1与c2交点的极坐标分别为，.24(2013课标全国，文24)(本小题满