矩阵及其运算习题课

1、12 由mn个数 aij ( i=1,2,m;j=1,2,n )排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵. 简称 mn 矩阵.简记为: mnmmnnaaaaaaaaaa112222111211这mn个数aij称为矩阵a的元素.a=amn=( aij )mn=( aij ). 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.一、基本概念3 (5) 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量). ,21naaaa ,21 naaab 2. 两个矩阵a=(aij)与b=(bij)为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即aij = bij ( i=1,2,m; j=1,2, n )则称

2、矩阵a与b相等, 记作a=b.1. 两个矩阵的行, 列数对应相等, 称为同型矩阵. 设有两个同型的 mn 矩阵a=(aij)与b=(bij),那末矩阵a与b的和定义为(aij+bij), 记作a+b, 即4矩阵加法的运算规律(1) 交换律: a+b=b+a.(2) 结合律: (a+b)+c=a+(b+c).矩阵a=(aij), 称 a=(aij)为矩阵a的负矩阵.a+(a)=o, ab=a+(b).5. 数与矩阵相乘 数与矩阵a=(aij)的乘积定义为(aij), 记作a或a, 简称为数乘.设a, b为同型的mn 矩阵, , 为数:(1) ()a = (a).(2) (+)a = a+a.(3

3、) (a+b) = a+b.数乘矩阵的运算规律5矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算. skkjiksjisjijiijbabababac12211 设a=(aij)是一个ms 矩阵, b=(bij)是一个sn 矩阵, 定义矩阵a与矩阵b的乘积c=(cij)是一个mn矩阵, 其中6. 矩阵与矩阵相乘( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作c=ab.矩阵乘法的运算规律(1) 结合律: (ab)c=a(bc);(2) 分配律: a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca; (3) (ab)=(a)b=a(b), 其中为数;(4) amnen= emamn=

4、a;6 (6) 主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角矩阵; (7) 行列式 | a | 的各个元素的代数余子式aij 所构成的如下矩阵 nnnnnnaaaaaaaaaa212221212111称为矩阵a 的伴随矩阵.性质: aa* = a*a = | a | e. 对于n 阶方阵a, 如果存在一个n 阶方阵b, 使得ab = ba = e则称矩阵a是可逆的(非奇异的, 非退化的), 并称矩阵b为a的逆矩阵. a的逆矩阵记作a-1.7(2) 矩阵a可逆的充要条件是| a | 0.,|11 aaa(3) 若a是可逆矩阵, 则(4) 若 ab = e ( 或 ba = e ), 则

5、b = a-1.(1) 若a是可逆矩阵, 则a的逆矩阵是唯一的.(5) 若矩阵a可逆, 且 0, 则 a 亦可逆, 且 .111 aa (7) 若矩阵a可逆, 则at 亦可逆, 且(at)-1=(a-1)t.(6) 若a, b为同阶可逆方阵, 则ab亦可逆, 且(ab)-1 = b-1a-1.(8) 若矩阵a可逆, 则有| a-1 |=| a |-1.8逆矩阵的计算方法:;|11 aaa(3)初等变换法(下一章介绍).(2)伴随矩阵法:(1)待定系数法;矩阵的分块, 主要目的在于简化运算及便于论证.分块矩阵的运算规则与矩阵的运算规则相类似11. 分块矩阵9矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于

6、矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证论证分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似相类似10例1: 设,1111111111 nnnnnnnnnnnnna计算a2 项式, 并验证 f(a) = o., dcbaa例2: 设试将 f() = | ea |写成的多例3: 设a, b都是n 阶可逆矩阵, 证明d =为可逆矩阵, 并求d1. bcoa.,11 eobaezdcbayecaoex例4: 设a, b, c, d都是n 阶方阵, a是非奇异的, e是n 阶单位阵, 并且(2) 证明:. |1bcadadcba (1) 求矩阵积xyz;11例1:

7、设,1111111111 nnnnnnnnnnnnna 1111111111nnnna解: 由于计算a2 .12 1111111111222nnnan )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn= a.所以, 1111111111nnnn即 a2 = a, 所以a为幂等矩阵.13解:dcbaaef |)(由此得:项式, 并验证 f(a) = o., dcbaa例2: 设试将 f() = | ea |写成的多= 2 (a+d) + ( ad bc ).f(a) = a2 (a+d) a + ( ad bc )e. 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca.000

8、0 bcadbcaddadcdacbdabadadbccdacbdabbca002222得证 f(a) = o.14,222112111 xxxxd例3: 设a, b都是n 阶可逆矩阵, 证明d =为可逆矩阵, 并求d1. bcoa必证: 由于a, b都是n 阶可逆矩阵, 即| a | 0, | b | 0,则 | d |= | a | | b | 0,所以d为可逆矩阵.设其中xij 均为n 阶矩阵(i , j = 1,2). xxxxbcoadd222112111 221221111211bxcxbxcxaxax. eooe其中e为n 阶单位矩阵.15由矩阵相等的定义有: ebxcxobxc

9、xoaxeax221221111211.11111 bcaboad从而得, x11= a-1, x12= o, x21= b-1c a-1, x22= b-1. 故同理可得: 设a, b都是n 阶可逆矩阵, , bocad(1) 若;11111 bocbaad则(2) 若, obacd则.11111 cbaabod16.,11 eobaezdcbayecaoex 例4: 设a, b, c, d都是n 阶方阵, a是非奇异的, e是n 阶单位阵, 并且(2) 证明:. |1bcadadcba (1) 求矩阵积xyz;解(1): 根据分块矩阵的乘法, 得 eobaedcbaecaoexyz11 e

10、obaebcadoba11.1 bcadooa17|,|11bcadabcadooaxyz 解(2): 根据(1)的结果, 得又由于| xyz | = | x | y | z |,而| x | = | z | = 1,所以有. |1bcadadcba 18例5: 设n阶矩阵a的伴随矩阵为a*, 证明:(1) 若| a | = 0, 则| a* | = 0; (2) |a*| = | a |n1.证明(1): 当a = o时, | a |的所有代数余子式均为0,从而a* = 0, 故| a* | = 0.当 a o且| a | = 0时, 用反证法证明.假设| a* | 0, 则有a*(a*)1

11、 = e,由此得a = ae = aa*(a*)1 = aa*(a*)1 = | a |e(a*)1 = o,这与a o矛盾,故当| a | = 0时, | a* | = 0.证明(2): 当| a | = 0时, 则由(1)得| a* | = 0, 从而| a* | = | a |n1成立.当| a | 0时, 由 aa* = | a | e 得,| a | | a* | = | aa* | = | a | e | = | a |n,由| a | 0得, | a* | = | a |n1.19例例6.)0(的逆矩阵的逆矩阵求求 bcaddcba解解方法一用定义求逆阵方法一用定义求逆阵,43211 xxxxa设设得得由由,1eaa 20,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa则有则有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得21.11 acbdbcada注注., 元元方方程程组组矩矩阵阵的的各各列列的的同同而而常常数数项项分分别别为为单单位位个个系系数数相相实实质质上上是是求求解解的的逆逆依依定定义义求求nna22.,:,的的逆逆矩矩阵阵即即可可得得的的每每一一个个元元素素去去除除最最后后用用符符号号再再将将次次对对角角元元素素调调换换其其置置位位中中的的主主对对角角元元素素调调换换