初三数学圆的经典讲义

1、圆目 录一 圆的定义及相关概念二 垂经定理及其推论三 圆周角与圆心角四 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五 圆内接四边形六 会用切线 ，能证切线七 切线长定理八 三角形的内切圆九 了解弦切角与圆幂定理(选学）十 圆与圆的位置关系十一 圆的有关计算十二 圆的基础综合测试十三 圆的终极综合测试一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点:确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直

2、径是圆中最大的弦。弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念)弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长,弓高,半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图：考点:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为,点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr

3、;点在圆上d=r；点在圆内 d;【典型例题】例1 在abc中，ab=90,c2，c=4,c是边上的中线，以点c为圆心，以为半径作圆,试确定a，b,三点分别与有怎样的位置关系，并说明你的理由。mabc例2已知，如图，cd是直径,，ae交o于b,且ab=c,求a的度数。doebac例3 平面内一点和o上一点的距离最小为3c，最大为8cm，则这圆的半径是_。例4 在半径为5m的圆中,弦ad，a=6m，cd=cm,则a和cd的距离是多少?例5 如图,o的直径和弦cd相交于点e,已知e=6cm,eb=2m，,abdcoe求cd的长例6.已知：o的半径a1,弦b、a的长分别为,求的度数【考点速练】1.下列

4、命题中,正确的是（ ) .三点确定一个圆.任何一个三角形有且仅有一个外接圆 c.任何一个四边形都有一个外接圆 .等腰三角形的外心一定在它的外部.如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是( ) a等腰三角形b.直角三角形等边三角形d.钝角三角形3圆的内接三角形的个数为( ） a.1个 b. c.个d无数个4三角形的外接圆的个数为（ ） 1个 b2 c.3个d.无数个5.下列说法中,正确的个数为( ） 任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆;任意三点可以确定一个圆；经过任一点可以作圆;经过任意两点一定有圆. a.个 .2个 3个 d4个与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是

5、( ） a.圆的外部(包括边界)； b.圆的内部（不包括边界); c.圆； 圆的内部(包括边界）已知o的半径为6c,p为线段oa的中点,若点p在o上,则oa的长( ) .等于6m 等于m; 小于cm d.大于12m8.如图,的直径为0，弦ab为8c,p是弦ab上一点，若op的长为整数， 则满足条件的点有( ） a2个 b.3个 .4个 d.5个9.如图，a是半径为5的o内一点,且a=3,过点a且长小于的弦有（ ) .0条 .条 c.条 d.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径.(要求保留作图痕迹)1.如图，已知在中,，=cm,a

6、c=4cm，以点a为圆心,c长为半径画弧交cb的延长线于点，求d的长.bdaabd2、如图，有一圆弧开桥拱,拱的跨度b=16cm,拱高cd=4cm,那么拱形的半径是。、 abc中,ab=ac10，bc=2,则它的外接圆半径是_。14、如图,点p是半径为的o内一点,且op=3,在过点的所有的o的弦中,弦长为整数的弦的条数为_。15思考题abdcepfo如图所示,已知的半径为10cm，p是直径ab上一点,弦过点,c16m,过点和b分别向d引垂线e和bf,求ae-f的值.【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 、在半径为的圆中，弦长等于2的弦的弦心距为 _ . abc的三个顶点在o上,且ab=a=2,a

7、c=120,则o的半径= _, bc= _.p为o内一点，op=3cm,o半径为5m,则经过点的最短弦长为_;最长弦长为_.4. 如图,，c三点在上,且ab是o的直径，半径odac,垂足为,若a30，f=3,则a_ , ac=_ , bc _ .如图,为直径是52cm圆柱形油槽，装入油后,油深cd为6c,那么油面宽度b _ .如图6, o中弦abac,d,e分别是a,ac的中点. 若bac，则四边形oea是 形；若od=3，半径,则ab= _cm, =_ _ cm 7如图，o的直径ab和弦cd相交于点e，已知ae8c,eb=4cm,cea30,则cd的长为_.(5) (6) (7)二.垂径定理

8、及其推论【考点速览】考点垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论：平分弦（不是直径)的直径重直于弦,并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦;平分弦(不是直径）；平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图ab、cd是o的弦，m、n分别是ab、的中点,且.abdconm求证：ab=cd.例2已知，不过圆心的直线交o于、两点,ab是o的直径，a

9、e于e,bf于f。求证：cedf. 例3如图所示,o的直径ab=15c,有一条定长为9的动弦cd在弧amb上滑动(点c与点,点d与不重合）,且c交ab于e，fcd交b于。（1）求证：abf(2）在动弦cd滑动的过程中，四边形cdf的面积是否为定值？若是定值,请给出证明，并求出这个定值，若不是,请说明理由。例4 abcdpo。.如图，在内,弦c与直径b交成角,若弦cd交直径ab于点p，且o半径为1,试问：是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由【考点速练】.已知的半径为2,弦a长,则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ） a.c b.2m . d.cm如图,o的半径为6c，ab、cd

10、为两弦,且abcd，垂足为点e,若ce=3cm，e7，则ab的长为( ) a.0cm b.8c c. d.4有下列判断：直径是圆的对称轴;圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ) a0个 b.1个 .2个 d.3个5如图2,同心圆中,大圆的弦交于c、d若ab4,c=,圆心o到ab的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ) .:2 b.：2 c.： d.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为,则外接圆直径为( )adecbo图1 a.2cm b4cm c.6cm d.8cmaocdb图27.如图，o的直径为10,弦b，p是弦a上的一个动点，那

11、么p长的取值范围是 8.如图，已知有一圆弧形拱桥，拱的跨度b=16cm,拱高c=4c,那么拱形的半径是 _m.abdco8009如图，直径为100mm的圆柱形水管有积水(阴影部分)，水面的宽度ab为800,求水的最大深度cd.abcd0.如图,已知ab中,cb=9，ac=6,bc8cm，以c为圆心,ca为半径作圆交斜边ab于d，则ad的长为 。11已知:如图，在中,弦ab的长是半径oa的倍,c为弧的中点,ab、oc相交于点m.试判断四边形oacb的形状,并说明理由1.如图所示，在o中，弦c,弦bdb，ac、交直径mn于e、f求证:me=nf.oabdcefmnabmncp13.(思考题）如图，

12、与交于点a,b，过的直线分别交，于m,n,c为mn的中点，p为的中点,求证:a=pc.【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 .已知o的直径a=1c,弦db，垂足为。且m=3m，则d .2d是半径为c的o内的一点，且0=m，则过点的所有弦中，最小的弦ab= cm.3.若圆的半径为2cm,圆中一条弦长为cm，则此弦所对应弓形的弓高是 .已知的弦b2m,圆心到ab的距离为n,则的半径r= ,o的周长为 .的面积为 .5在o中，弦ab10cm,为劣孤的中点，oc交a于,d=cm，则o的半径是 6o中,ab、d是弦，且b，且a8cm，c6m，的半径为5cm,连接a、c，则梯形bcd的面积等于 .7如图，o

13、的半径为4cm,弦ab、c交于点，acb,ofc于,of=2cm，则bed .aefbcdo8.已知o的半径为10c,弦mef,且mncm,e16cm,则弦n和ef之间的距离为 .三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。e: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可eg： 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角,并说明理由考点2定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.g:如下三图，请证明。 考点4 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆

14、周角所对的弧也相等.半圆（或直径）所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.经典例题例1:下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 例2:如图，a是的圆周角，且=35，则obc=_.bocaoabc例:如图,圆心角b=100,则acb=efcdgo例例4:如图,是o的直径，点都在o上，若,则 （例）例5：如图2,o的直径过弦的中点,，则 .例6：已知:如图，ad是o的直径,bc3，则cd_._d_c_b_a_o 例:已知o中，,则的半径为.aobdcgf1e例8 已知:如图所示，是的内接三角形,的直径bd交c于e，abd于f,延长

15、af交b于g求证：考点练习1.如图,已知是o的圆周角,则圆心角是（ ） b. . d. 2已知：如图，四边形abcd是的内接正方形，点p是劣弧上不同于点的任意一点,则bc的度数是（ ).5 b.6 .75 d.9.abc中，a=30，=60,ac6,则ab外接圆的半径为(） a b . d.34.圆的弦长与它的半径相等,那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） a30 b.10 c3或150 d605.如图所示，ab是的直径,add，a与bd交于点,则图中与bc相等的角有（ ) .2个 b3个 个 d5个 bedcoabo（第9题）aabocp6.下列命题中,正确的是（ ）顶点在圆周上的角是圆周角

16、；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等abco.bd.7.如图,o是等边三角形的外接圆,o的半径为2,则等边三角形的边长为（ ）b.cd（第9题）a.如图，ab内接于,ac=1，ab=ac，bd为o的直径，d=6,则bc 。9.如图9,有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是.为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台。abocxpo1.如图，量角器外沿上有a、b两点,它们的读数分别是0、40，则1的度数为 。11.如图， a是o的直径,点在上，a=30,点p在线段ob上运动.设acp=x,则x的取值范围是 .12如图所示,小华从一个圆形场地的点出发,沿着与半径a夹角为的方向行走,走到场地边缘b后,再沿着与半径ob夹角为的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧ab上,此时oe56，则的度数是 . 13.如图，已知a、b、是o上的四个点，ab=，d交ac于点e,连接cd、ad.(1）求证：平分adc； (2）若=,e=6，