湖南省永州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

1、湖南省永州市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1在等比数列an中，a1=2，a4=16则公比q为（）A2B3C4D82已知命题p：x0R，x02+10，则（）Ap：xR，x2+10Bp：xR，x2+10Cp：xR，x2+10Dp：xR，x2+103已知，且，则x的值为（）ABCD4“x5”是“x3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5在ABC中，已知a=2，b=2，A=，则B=（）ABC或D或6下列命题正确的是（）A若ab，则

2、ac2bc2B若ab0，则a2b2C若ab，cd，则 acbdD若ab0，则7抛物线y2=4x上到焦点的距离等于3的点的坐标是（）A（2，2）B（2，2）或（2，2）C（2，2）D（2，2）或（2，2）8四棱锥PABCD的底面为矩形，且PA平面ABCD，AB=AD=AP=2，E为侧棱PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）ABCD9已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=2，S5=15，则数列的前2017项和为（）ABCD10如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60，同时在C处测得建筑物顶部B的仰角为30，则此时热气球的高度CD为（）ABCD1

3、1已知函数，数列an满足，且an是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（2，3）CD12设F1，F2是椭圆C1： =1（a1b10）与双曲线C2： =1（a20，b20）的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，F1MF2=90，若椭圆C1的离心率e1，1），则双曲线C2的离心率e2的范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在ABC中，BC=，则AB等于14设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为15已知椭圆过点P（1，2），则m+n的最小值为16已知集合A=3，32，33，3n（n3），从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺

4、序排列构成等比数列，记满足此条件的等比数列的个数为f（n）（）f（5）=；（）若f（n）=220，则n=三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知命题p：不等式x2（2m1）x+m20对任意实数x恒成立，命题q：m1（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假，“pq”为真，求实数m的取值范围18在ABC中，A，B，C的对边分别为，且（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为，且a+c=6，求b19设Sn是数列an的前n项和，已知（1）求a1，并求数列an的通项公式；（2）求数列的前项和Tn20如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面AB

5、C平面AA1B1B，四边形AA1B1B是矩形，且AB=1，AC=2，BC=（1）求证：AA1平面ABC；（2）若直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角A1BC1B1的余弦值212016年10月中旬台风“莎莉嘉”登陆某海滨城市，某条长度为10千米的供电线路遭到严重破坏，造成大面积停电，为了快速恢复通电，某电力公司组织人员进行抢修，同时为了保证质量，抢修速度不得超过c千米/小时，已知每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为400，固定部分为10000元（1）把抢修成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数

6、，并指出函数的定义域；（2）为使抢修成本最小，电力公司应该以多大的速度进行抢修？22已知点P是圆心为F1的圆（x+1）2+y2=12上任意一点，点F2（1，0），若线段PF2的垂直平分线与半径PF1相交于点M（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点F2的直线l（l不与x轴重合）与M的轨迹交于不同的两点A，B，求F1AB的内切圆半径r的最大值，并求出此时直线l的方程2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1在等比数列an中，a1=2，a4=16则公比q为

7、（）A2B3C4D8【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比【解答】解：在等比数列an中，a1=2，a4=16，解得公比q=2故选：A2已知命题p：x0R，x02+10，则（）Ap：xR，x2+10Bp：xR，x2+10Cp：xR，x2+10Dp：xR，x2+10【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x0R，x02+10的否定是p：xR，x2+10，故选：C3已知，且，则x的值为（）ABCD【考点】空间向量的数量积运算【分析】，可得=0，解得x【解答】解：，=1+2+

8、3x=0，解得x=故选：B4“x5”是“x3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可【解答】解：不妨令A=（5，+），B=（3，+），AB，x5”是“x3”的充分不必要条件，故选：A5在ABC中，已知a=2，b=2，A=，则B=（）ABC或D或【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理即可得出【解答】解：由正弦定理可得：，可得sinB=，ba，解得B=或故选：C6下列命题正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab0，则a2b2C若ab，cd，则 acbdD若ab0，则【

9、考点】不等式的基本性质【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误【解答】解：Ac=0时不成立B由不等式的基本性质可知成立；C由ab，cd，则 acbd，因此不成立；Dab0，则，因此不成立故选：B7抛物线y2=4x上到焦点的距离等于3的点的坐标是（）A（2，2）B（2，2）或（2，2）C（2，2）D（2，2）或（2，2）【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标【解答】解：抛物线方程为y2=4x，焦点为F（1，0），准线为l：x=1抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离等

10、于3，根据抛物线定义可知P到准线的距离等于3，即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=2，故选D8四棱锥PABCD的底面为矩形，且PA平面ABCD，AB=AD=AP=2，E为侧棱PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与PD所成角的余弦值【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，4），C（2，2，0），E（1，1，2），D（0，2，0），=（1，1，2），=（0，2，

11、4），设异面直线AE与PD所成角为，则cos=异面直线AE与PD所成角的余弦值为故选：A9已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=2，S5=15，则数列的前2017项和为（）ABCD【考点】等差数列的前n项和【分析】设等差数列an的公差为d，由a2=2，S5=15，可得a1+d=2， d=15，解得a1，d，可得an，即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a2=2，S5=15，a1+d=2， d=15，解得a1=d=1，an=1+（n1）=n=则数列的前2017项和=+=1=故选：C10如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60，同时在C处测得建筑物

12、顶部B的仰角为30，则此时热气球的高度CD为（）ABCD【考点】解三角形的实际应用【分析】先求出AC，利用CD=ACsin60计算即可【解答】解：由题意，BCA=BAC=30，AB=BC=m，AC=m，ADC中，CD=ACsin60=m，故选D：D，11已知函数，数列an满足，且an是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（2，3）CD【考点】数列的函数特性【分析】数列an满足an=f（n）（nN*），且an是递增数列，我们易得函数f（x）为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a1，且3a0，且f（5）f（6），由此构

13、造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论【解答】解：数列an是递增数列，又，an=f（n）（nN*），1a3且f（5）f（6）5（3a）1a2解得a7，或a2，故实数a的取值范围是（2，3），故选：B12设F1，F2是椭圆C1： =1（a1b10）与双曲线C2： =1（a20，b20）的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，F1MF2=90，若椭圆C1的离心率e1，1），则双曲线C2的离心率e2的范围是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，由双曲线的定义可得st=2a2，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范

14、围【解答】解：设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，由双曲线的定义可得st=2a2，解得s=a1+a2，t=a1a2，由F1MF2=90，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，即为a12+a22=2c2，由离心率的公式可得，由e1，1），可得，1），即有2，1），解得e2（1，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在ABC中，BC=，则AB等于1【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：AB2=2cos=1，解得AB=1故答案为：114设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为12【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域

15、，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=3x+y为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z=33+3=12故答案为：1215已知椭圆过点P（1，2），则m+n的最小值为9【考点】椭圆的简单性质【分析】将P（1，2），代入椭圆方程，则，（m0，n0），由基本不等式的性质则m+n=（m+n）（+）=1+45+2=9【解答】解：将P（1，2），代入椭圆，则，（m0，n0），m+n=（m+n）（+）=1+45+2=9，当且

16、仅当=时，m=3，n=6时，取等号，m+n的最小值9，故答案为：916已知集合A=3，32，33，3n（n3），从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，记满足此条件的等比数列的个数为f（n）（）f（5）=8；（）若f（n）=220，则n=22【考点】等比数列的通项公式【分析】（I）n=5时，A3，32，33，34，35，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，则共有3，32，33；32，33，34；33，34，35；3，33，35其顺序反过来也成立可得f（5）（II）A=3，32，33，3n（n3），公比为3的共有：n2个；公比为的共有：n2个公比为

17、32的共有：n4个；公比为的共有：n4个，则f（n）=220=2（n2）+（n4）+2，即可得出【解答】解：（I）n=5时，A3，32，33，34，35，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，则共有3，32，33；32，33，34；33，34，35；3，33，35其顺序反过来也成立因此f（5）=8（II）A=3，32，33，3n（n3），公比为3的共有：n2个；公比为的共有：n2个公比为32的共有：n4个；公比为的共有：n4个，则f（n）=220=2（n2）+（n4）+2，n22n440=0，解得n=22故答案为：8，22三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出

18、必要的文字说明或推理、验算过程.17已知命题p：不等式x2（2m1）x+m20对任意实数x恒成立，命题q：m1（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假，“pq”为真，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】（1）根据二次函数的性质求出m的范围即可；（2）根据p与q为一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：（1）不等式x2（2m1）x+m20对任意实数x恒成立，则=（2m1）24m2=4m+10得：m；（2）若“pq”为假，“pq”为真，则p与q为一真一假，当p真q假时，故m1；当p假q真时，故m，综上，实数m的范围是（，）1，+）18在ABC中，A，B，C的

19、对边分别为，且（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为，且a+c=6，求b【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（1）根据=2acosB，得a=2acosB，求出B的值即可；（2）根据三角形的面积求出ac=8，由a+c=6，联立方程组，求出a，c的值，根据余弦定理求出b的值即可【解答】解：（1）由=（a，0），=（1，cosB），=2acosB，得a=2acosB，故cosB=，得B=；（2）SABC=acsinB=2得ac=8，联立，解得或，由余弦定理得b2=16+48=12，解得：b=219设Sn是数列an的前n项和，已知（1）求a1，并求数列an的通项公式；（2）求数列的前项和T

20、n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）n=1时，3a1，解得a1=2Sn=，n2时，an=SnSn1，化为an=3an1，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可知： =n3n1利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）n=1时，3a1，解得a1=2Sn=，n2时，an=SnSn1=，化为an=3an1，（2）由（1）可知： =n3n1数列的前项和Tn=1+23+332+n3n1，3Tn=3+232+（n1）3n1+n3n，2Tn=1+3+32+3n1n3n=n3n，Tn=20如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面AA1B1B，四边形AA1B1B

21、是矩形，且AB=1，AC=2，BC=（1）求证：AA1平面ABC；（2）若直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角A1BC1B1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出AA1AB，由此能证明AA1平面ABC（2）以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出二面角A1BC1B1的余弦值【解答】证明：（1）三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B是矩形，AA1AB，平面ABC平面AA1B1B，且AA1垂直于这两个平面的交线AB，AA1平面ABC解：（2）由（1）知AA1AB，AA1AC，AB=1，AC=2，BC=，AB2+AC2=BC2

22、，ABAC，如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，由（1）知CC1平面ABC，直线BC1与平面ABC所成角的大小即为C1BC的大小，由已知得tan，CC1=2，则C1（2，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2），=（0，1，2），=（2，1，2），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），同理求得平面BB1C1的法向量=（1，2，0），cos=，由图知二面角A1BC1B1的平面角为锐角，二面角A1BC1B1的余弦值为212016年10月中旬台风“莎莉嘉”登陆某海滨城市，某条长度为10千米的供电线路遭到严重破坏，造成大面积停电，为了快速恢复通电，某电力公司组织人员进行抢修，同时为了保证质量，抢修速度不得超过c千米/小时，已知每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为400，固定部分为10000元（1）把抢修成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；（2）为使抢修成本最小，电力公司应该以多大的速度进行抢修？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）依题意每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的