位根与协整课件

1、位根与协整位根与协整一、非平稳序列non-stationary time series如果一个时间序列不是平稳序列，则称为非平稳序列（ ）。在以下几种情况下，都有可能出现平稳序列： t01tt011deterministic trendytE yttrend stationary确定性趋势：如果一个时间序列有一个确定性趋势（ ），则为非平稳序列。比如， 。显然，随时间而改变，故不是平稳序列。对于这种非平稳序列，只要把时间趋势去掉，就变成平稳序列，故称为趋势平稳（ ）序列。位根与协整 2structural breakchow test结构变动（ ）：如果一个时间序列存在结构变动，则为非平稳序列

2、。对此，可用邹检验（ ）进行检验（参见模型设定的内容） tt-1ttttttt3stochastic trendrandomwalkyyyy随机趋势：另一种导致非平稳的趋势为随机趋势（ ）。比如，随机游走模型（）： ，其中，为白噪声。由于 ，故来自的任何扰动对都具有永久性的冲击，其影响力不随时间而衰减，故称为这个模型的随机趋势。位根与协整 t0t-1t00t0t-1t01t-1t1random walk with driftyy0E yE yAR 1AR 1yy1difference sta在上式中，如果包含常数项，则为待漂移的随机游走（ ）： ，其中，为每个时期的平均漂移，因为。显然，随机游

3、走是的特例。对于， ，如果 ，则为随机游走。对于随机游走，只要对其进行一阶差分，就可以得到平稳序列，故也称为差分平稳（ tionary）序列位根与协整 Integratedof order zeroI 0Integrated of order oneI 1unitroot process定义：称平稳的时间序列为零阶单整（），记为。如果时间序列的一阶差分为平稳过程，则称为一阶单整（），记为，也称为单位根过程（ ）。 ddIntegrated of order dI d更一般地，如果时间序列的 阶差分为平稳过程，则称为 阶单整（），记为 I 0mean-reverting对于序列，由于它是平稳的，

4、故长期而言有回到其期望值的趋势。这种性质被称为均值回复（）。位根与协整 I 1wanderwidelyI 0I 1非平稳的序列则会“到处乱跑”（ ），没有上述性质。另外，序列对于其过去的行为只有有限的记忆，即发生在过去的扰动项对未来的影响随时间而衰减；而序列则对过去的行为具有无限长的记忆，即任何过去的冲击都将永久性地改变未来的整个序列。 ttydARMA p,qyARIMA p,d,qARIMA p,1,qARMA p,q定义：如果时间序列的 阶差分为平稳的过程，则称为过程最常见的为，即经过一次差分就得到平稳的。位根与协整ARMA二、的平稳性 t01t-1t1ARMA p,qMA qARMA

5、p,qAR pAR 1yy1在什么情况下，才平稳呢？显然，是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性组合。因此，的平稳性取决于其的部分。从第三章已经知道，对于， ，如果，则为平稳过程。 t01t-1pt-ptAR p yyy更一般地，考虑的平稳性，即位根与协整 t01t-1tt01t-1t01t-10tt1t-1t011AR 1yyyyyyyyyy1VAR pcompanion matrixI00 F0I0可以证明，如果对于复数 ， 特征方程 的所有根都落在复平面的单位圆之外（即1）则此为平稳过程。上述特征方程之表示行列式。该平稳条件的等价条件是，伴随矩阵（ ）的所有特征值（可以是复数）都落在复平面

6、的单位圆之内。位根与协整四、单位根所带来的问题 11AR 111对于，一般从理论上认为，不太可能出现的情形，否则任何对经济的扰动都将被无限放大。因此，经济学家通常只担心存在单位根的情形，即。如果时间序列存在单位根，则为非平稳序列，可能带来以下问题： t01t-1t110AR 1yy1自回归系数的估计值向左偏向于 。假设对于， ，其真实值为 。位根与协整 11t11n1OLS0yplim然而， 的估计量 却不服从渐近正态分布，甚至不是对称分布（即使是在大样本中），而是向左偏向于 。这是因为，由于不是平稳序列中心极限定理不再适用。虽然 （仍为一致估计），但在有限样本下可能存在较大偏差。使用蒙特卡罗

7、法可以得到 的大样本分布 12tt传统的 检验失效：由于 不是渐近正态分布统计量也不服从渐近标准正态分布，传统的区间估计与假设检验是无效的。更一般地，建立于平稳性假设基础之上的大样本理论不再适用。位根与协整 tt-1ttt-1tttttttttt23yyuxxvuvyxOLSyxyx0OLSR0两个互相独立的单位根变量可能出现伪回归或伪相关。比如，假设 ， ，其中、 均为独立同分布且相互独立。因此， 与 也是相互独立的。考虑回归， 由于 与 相互独立，故真实参数 。如果样本容量足够大，我们期待估计值0，tttyx然而实际结果并非如此，因为扰动项 也是非平稳的（为什么？）tty（因为 ）Gran

8、ger这一结论最初由通过蒙特卡罗模拟而发现。位根与协整tOLS之非平稳部分会进入到模型中去，从而造成0。如何避免伪回归？方法之一，先对变量作一阶差分，然后再回归。（差分后平稳了）方法之二，做协整分析，参见下文。但首先必须对是否存在单位根进行检验位根与协整五、单位根检验与平稳性检验1DF、单位根检验 ttfinite variance定义，独立白噪声：如果为独立同分布的，且期望为0，方差有限（ ），则称为独立白噪声。 t01t-1tt0111111tAR 1yy H1vs H1H1yGDP考虑以下模型： ，其中，为独立白噪声。进行以下单边检验： ：其中，备择假设为“：”，因为如果将导致 呈指数增

9、长。对于有指数增长趋势的经济变量，如，通常可先取对数去掉其指数趋势。位根与协整 t-1t0t-1t101AR 1yyy1 H0vs H0OLSttDickey-FullerDF在模型两边同时减去可得 （9.1）其中，对应的原假设与备择假设变为： ：对方程（9.1）作回归，可得估计量 及相应的 统计量。此 统计量称为统计量，简记为统计量。DF可以证明，统计量的渐近分布为布朗运动的函数，并不服从渐近正态分布。由于其分布没有解析解，故临界值须通过蒙特卡罗模拟来获得。位根与协整DFDFDF1AR p定理：如果，则特征方程至少有一个根在单位圆之内，故为非平稳位根与协整 1p1p0100 111110zz

10、0 z1z0z1zAR p证明：首先，其次，由于，故 然而，为连续函数，根据中值定理，存在复数 ，满足，使得 。由于， 落在单位圆之内，故为非平稳位根与协整 01t-1t0t-11t-12t-2p-1tt- p-1AR p9.3 HvsH9.3yyyyyy9.71 综上所述，为了检验是否有单位根，可以考虑对方程进行回归，并检验： 1 ：1在方程两边同时减去可得 其中，。则原假设与备择假设变为01 HvsH0在这个模型中，“ 为”的原假设等价于“： ”（此时，故 为常数），而备择假设为“：”。位根与协整2LMKPSSKPSS对此原假设进行拉格朗日乘子检验（），即得到统计量。检验是单边右侧检验（正

11、如检验一样），其临界值须通过蒙特卡罗模拟得到order of integration6、单整阶数（ ）的确定 tttt2tt2ttyyI 1I 2yyyI 1yyyI 2对时间序列进行单位根检验后，如果认为为非平稳，则要进一步判断其为或。可以对一阶差分进行单位根检验。如果为平稳，则是，否则，要继续对二阶差分进行单位根检验。如果平稳，则为，依此类推位根与协整六、面板单位根检验如果样本容量较小，则对单个变量进行单位根检验的功效可能很弱，即如果接受“存在单位根”的原假设，则犯第二类错误的概率可能较大。此时，如果有面板数据，则可以找到更有效的检验方法。比如，可以同时考虑多个国家的实际汇率是否含有单位根

12、。LLCIPSChoiHadri第一代的面板单位根检验均假设面板数据中“不同个体的扰动项相互独立”，包括检验、检验、检验、检验等位根与协整 itiii,t-1ititLLCLLC ytyi=1nt=1TARMAi1、检验、 、 三人进一步假设，每个个体的自回归系数都相等，即 ， ， ；， ，其中，为平稳的过程，而共同的自回归系数 不依赖于个体 。 iiitpooled regressiontindividual fixed effectstt对上式进行混合回归（ ），可得估计量 及其对应的 统计量。然而，由于可能存在个体固定效应（ ） ，时间效应，或扰动项存在自相关，故需要对此 统计量进行修正

13、。位根与协整IPSLLCIPSnTADF2、检验为了克服检验要求每个个体的自回归系数都相等的缺点， 、 、 三人提出了如下的面板单位根检验。假设面板数据中共有 个相互独立的个体每个个体均包括 个时期的观测值。对每个个体的时间序列分别构造一个检验，并为每个个体方程选择适当的滞后期数（可不相同）。位根与协整 inii=1dttitADFt1tttntE tZN 01Var tE tVar ttnZ 记第 个个体的 统计量（即统计量）为 ，计算所有个体 统计量的样本均值，然后构造统计量 ，其中，与为 的期望和方差，可通过查表获得。由于假设这 个时间序列相互独立，故适用中心极限定理，因此，的渐近分布为

14、标准正态分布位根与协整Choi3、检验1nnd2iii=1iChoinppppFisher type P2lnp2nTTi 提出，对面板数据中的每个时间序列分别进行单位根检验，得到 个检验统计量及对应的 值， ，然后把这些 值综合成一个费雪型（ ）统计量（即把几个统计检验的证据综合为一个检验统计量）： 其中， 为第 个个体的时间维度（可以因个体而异）位根与协整P由于取了负号，故这是一个单边右侧检验，即统计量 越大，则越倾向于拒绝“面板单位根”的原假设。ndii=1in1Z2lnp2N 012 nTn 如果面板中的个体数 很大，则应使用另一统计量： ， ，位根与协整4Hadri、检验HadriK

15、PSSLMHadriheterogeneous panel把平稳性检验推广到面板数据，提出了检验面板平稳性的检验（原假设为平稳过程）。检验允许异质性面板（ ）即个体扰动项之间可以存在异方差，或不同期的扰动项之间存在自相关。位根与协整七、协整的思想与初步检验对于有单位根的变量，传统的处理方法是对其进行一阶差分而得到平稳序列。但是，一阶差分后变量的经济含义与原序列并不相同，而有时我们仍然希望使用原序列进行回归。long-run equilibriumcommon stochastic trend如果多个单位根变量之间由于某种经济力量而存在长期均衡关系（ ），则有可能进行这种回归。其基本思想是，如果

16、多个单位根序列拥有共同的随机趋势（ ）则可以对这些变量作线性组合而消去此随机趋势。位根与协整例：短期利率与长期利率可能都是单位根过程，而二者的走势也很相似。从经济理论上来看，长期利率是未来预期短期利率的平均值与风险溢价之和，故存在长期均衡关系。 ttttttttttt1ttttI 1yxywxwuwwwvuv假设两个过程、，可以分别表示为 其中，为随机游走过程， ；而、 、 均为白噪声。位根与协整 tttttttttyxwyxuyxcointegrated1 由于与拥有共同的随机趋势，故二者的如下线性组合为平稳过程： 在这种情况下，称与是“协整的”（），而称向量，为“协整向量”或“协整系数”。

17、显然，可以把，标准化为， I 1nI 1n-1从这个例子可以看出，对于两个变量，只可能存在一个协整关系；而对于 个变量，则最多可能存在个协整关系。为什么？位根与协整 I 1一组变量之间协整关系的个数称为协整秩，即线性无关的协整向量的个数。为什么？ I 1Engle andGrangerEG-ADF如何判断一组变量间是否存在协整关系呢？首先，这些变量必须在理论上可能存在长期均衡关系否则，进行协整分析将没有意义。其次，如果只有两个变量，则可以直接画图，看二者的时间趋势是否有相似性。但这个方法不严格，也不适用于两个以上的变量。作为正式的协整检验， 提出了如下的“检验”位根与协整tttttyx1zyx

18、原假设为，存在协整关系，且协整系数为，则为平稳过程。 ttttADFzzyxEG-ADF如果 已知（比如通过经济理论而知），则可以用检验来确定是否平稳。如果接受“为平稳”，则认为，存在协整关系。然而，通常我们并不知道 的值，故检验分两步进行 ttttttttOLSyxzyxyxI 1zOLS第一步 用估计协整系数 ，即 在“，存在协整关系”的原假设下，虽然，为非平稳的过程，但为平稳过程在这种情况下估计量 与 都是一致估计量位根与协整ttt zyxADFEG-ADFADF第二步 对残差序列 进行检验，确定其是否平稳。由于协整系数 是估计出来的，不一定是真实的协整系数，故统计量的临界值与普通的检验

19、不同。 ttttttttt zyxyxyxyxECM如果检验结果确认为平稳，则接受“，存在协整关系”的原假设。此时，估计出的协整关系“ ”即为，之间的长期均衡关系（ ， 为长期参数）。如果要估计，之间的短期关系（短期参数），则需要使用误差修正模型（）。位根与协整ttt01t-10t1t-1tt0t1t-1t-1tyxADLyyxxECMyx1yx假设，之间的关系可由一个模型来表示比如， ，则其对应的模型为（参见第八章）： tttt-1t-1tttt-1t-1yyxyxxyxyxECM显然，上式左边的为平稳过程。如果，存在协整关系，则上式右边的误差修正项 为平稳，而也为平稳，故方程右边整体上也是

20、平稳的。反之，如果，不存在协整关系，则误差修正项 为非平稳而方程左边依然平稳，故模型不能成立。位根与协整tttttt0t1t1tyx zyxECMyx1 zerrorOLS在，存在协整关系的前提下，将残差 代入模型可得 使用估计上式，即可得到对短期参数的估计EG-ADFEG-ADF方法的一个缺点是，它不能处理同时存在多个协整关系（即协整秩大于1）的情形。另外，由于方法分两步进行，第一步估计的误差会被带到第二步中，故不是最有效率的方法。EG-ADFMLE比方法更有效率的方法是，用同时估计长期与短期参数（也是目前最流行的方法）。位根与协整 I 1I 1I 1为此，必须更深入地研究过程，并给出协整的

21、严格定义。由于最简单的过程就是随机游走，故下面首先把一般的过程分解为随机游走、时间趋势与平稳过程之和。Beveridge-Nelson八、分解公式 tttttt2012jj=0012yI 0yuuLLLLj1考虑关于 的 元方程组 ，称其线性无关解的个数为的协整秩，即线性无关的协整向量的个数，记为 。根据线性代数知识， 由于，故。如果 ，则不存在协整关系。如果，则存在一个协整关系，可以解释为长期均衡关系。如果，则存在多个协整关系，通常需要用经济理论来剔除不合理的协整向量，而将最合理的协整向量解释为长期均衡关系。位根与协整tn-1 11tt2tn-1 1tt001t2tt0000a11ayyya

22、0ya yataay yyzay1y不失一般性，假设协整向量 的第一个分量不为0并将其标准化为 ，即 。将 也同样地分块即 。假设不存在时间趋势项，即则可以将方程写成 其中， 为初始条件tttza1可以视为截距项。而 为平稳过程，可以视为扰动项。位根与协整tcointegrating regressionyOLS这个回归称为协整回归（ ）在 存在协整关系的前提下，估计是一致的。 t1t12t2ptptI 1VMAMLEVAR Representation ytyyy以上讨论的是系统的表示法。但由于扰动项不可观测，为了进行估计，考虑以下的向量自回归表示法： 2pn12pVAR pVMALILLL

23、如何知道此何时为协整系统呢？为此，先导出其对应的表示法。定义滞后多项式位根与协整 tt1111ttL ytL yLLtL则 在上式两边同时左乘可得 11tt1111ttyLL1LL11LL1LyL 对上式两边同时进行差分可得。由于 为常数，而常数的滞后就是它本身。故，令。令，于是有 位根与协整 VARhLOSP5859r1n-h显然，如果此系统 差分向量 为协整秩为 的协整系统，则必须为，而且由课件可知。 1nn nn nn ntn nn nLL1LLL1L IL 111P5859yhr1n-h11r1n-hr1h 由于，故 令 ，则有0。由课件可知，若的协整秩为 ，则。由于与正交，且，故有位

24、根与协整 n hn nh nn hn nh nn nn hn nh nn nn h11BABAnhBABA1BA1A根据线性代数知识，可以将分解为 ，其中， 、 为两个的列满秩矩阵、 不唯一 。这个条件称为降秩条件。因此，0由于列满秩，故0。由此可见矩阵中的列向量都是协整向量 满足协整向量定义t1t12t2ptptVARytyyyVECMRepresentation从方程 出发可以导出其对应的向量误差修正表示法（）位根与协整tnt-11t-1p-1t-(p-1)t12pss+1pADFytIyyys12p-1 根据与推导检验类似的方法可得 其中， ， ， ， t-1nn12ptt-11t-1p-1t-(p-1)tzt-1t-1II1BAytBAyyyzAyAI 1VMAVARVECMGranger Representation Theorem 由于 ，故 其中，为误差修正项（因为 中的列向量皆为协整向量）。因此，一个协整的系统同时有，表示法，这个结论称为格兰杰表示法定理（ ）位根与协整 0t0t-11t-1p-1t-(p-1)t- p-1- p-201Tt1BAJohansenMLEVECMyyyyT+pyyyyyyVECM （）（）定义。使用来估计如