第一讲：认识数列

1、第一讲：认识数列专题引导有一列数1，2，3，4，5；请问这列数的第9个数是多少？第99个数是多少？分 析：从1开始按照自然数的顺序排列，第1个数是1，第2个数是2第9个数就是9，第99个数是99。那么像这样的一列数字就叫做数列。问题：究竟什么是数列？数列到底有哪些性质呢？一、数列的系列概念1、数列的定义：按一定规律排列的一列数叫数列。含义：数按规律列出2、数列的项与项数：数列中的每个数叫做数列的项。数按顺序排列于数列的第几位叫第几项。排在第一位的数叫做这个数列的第1项，通常叫首项，排在最后一位的叫末项。例：2，4，6，8中，6位于数列的第3项，也就是“6”的项数为3。这个“几”叫做项数。【例题

2、1】1，2，3，1、2、3中的第10个3的项数是几？分析：这个数列是1、2、3的一个循环，所以第10个3是第103=30项。随堂练习1，3，5，7中49，99的项数是几？二、数列的基本性质及按性质分类1、数列性质的观察【例题2】1，3，5，7，9有哪些性质？性质分析：整数逐渐增大相邻两项的差相等奇数无限多项随堂练习2，8，14，20有哪些性质呢？解：性质有：整数、逐渐增大、项数有限、相邻两项差相等。2、数列的分类方法按数列中项的个数来分类：项数有限的数列为“有限数列”，如数列：1，3，5，7，9，11，13101；共51项，所以它是“有限数列”；项数无限的数列为“无限数列”，如数列：1，3，5

3、，7，9有无数多个项，所以 它是“无限数列”。按数列中项的变化规律来分类：从第2项起每一项都大于它的前一项的数列叫做“递增数列”；如：1，2，3，4，5，6，7，8100，它是递增数列。从第2项起每一项都小于它的前一项的数列叫做“递减数列”；如：100，99，98，972，1数列中各项都相等的数列叫做“常数列”如：1，1，1，1，11，这个数列的每项都是“1”，所以它是常数列。数列的重要类型：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个差叫做等差数列的公差。如：最常见的等差数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，自然数列。每相邻两项

4、，前项减后项差均为1，所以它是等差数列。【例题3】找出下面数列的规律，并填空。1，4，7，10，（ ），（ ），19，22，25分 析：各个数列的排列规律，一般是按顺序依次对这个数列中相邻的数进行相同的四则运算，根据计算结果进行比较，从中找到规律。依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是3。所以后两个空，依次填13，16。随堂练习请同学们判断，下面的数列是不是等差数列，对的打“”，错的打“”。（1）数列1，3，5是等差数列。（ ）（2）数列2，5，8，11，14，17不是等差数列。 （ ）递推数列：一般地，具有某种递推关系的数列，就叫递推数列。例如，1，2，3，5，8，13，21，34，55，

5、89这个数列从第3项起每项等于前两项之和，那么这就是它的递推关系，它就是一个递推数列。这个数列就是有名的斐波拉契数列。周期数列：数列的各项呈周期性（有规律反复出现）变化的数列叫做周期数列：如，1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4数列由项“1”，“2”，“3”，“4“有规律反复出现而形成。所以它是周期数列。三、数列性质的应用【例题4】观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。（1）5，9，13，17， ， 。（2）1，4，9，16， ， 。（3）4，5，7，11，19， ， 。分 析：各个数列的排列规律，一般是按顺序依次对这个数列中相邻的数进行相同的四则运算，根据计算结果进行比较，从中

6、找到规律。（1）依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是4。所以后两个空，依次填21，25。（2）由于1=11，4=22，9=33，16=44，因此，后两个数应分别为55=25，66=36。（3）由于5=4+1，7=5+2，11=7+4，19=11+8，观察加上的1，2，4，8这个数列，这个数的2倍便是它后面的数。因此，两个空应分别填16+19=35，32+35=67。方法总结：对于一个数列的排列规律的分析，通常是对这个数列进行某种运算，然后依次将运算结果写下来，组成新的数列。而后观察新数列的排列规律，从而得出原来那数列的排列规律。随堂练习找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。（1）5

7、，15，45，135， 405 ， 1215 。（2）60，63，68，75， 84 ， 95 。（3）180，155，131，108， 86 ， 65 。（4）0，1，1，2，3，5， 8 ， 13 小 结概念：数列，数列的项；数列的性质观察；数列的分类：递增数列，递减数列；有限数列，无限数列，常数列；等差数列；递推数列，周期数列； 数列性质的应用：观察数列运算规律，找出新数列，得到原数列规律。11第二讲：等差数列【引言】高斯（17771855）是德国一位著名的数学家，他十岁那年的一天，老师给同学们出了一道题；“12349899100=？”同学们都觉得计算起来很费劲。高斯很快得出结果是505

8、0，让老师和同学们都很吃惊。大家知道高斯是如何巧算的吗？原来根据分组计算法：1100，299，398，5556，这样共有1002=50（组），所以得数为10150=5050.其实这道题还可以这样解：设S=12349899100 ；S=10099984321 ；则得：2S=（1100）（299）（398）（983）（992）（1001）所以S=（1100）1002=5050。【知识要点】（1）数列的概念：若干个数排列成一列数，数列中的每一个数称为项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差等于一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常

9、数称为等差数列的公差。（2）等差数列的基本性质：求和公式：和=（首项末项）项数2通项公式：第几项=首项+（项数1)公差项数公式：项数=（末项首项）公差+1在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。（3）本章我们主要从以下几个方面来学习数列问题：利用等差数列的基本性质求和，求项数和第几项的问题；运用等差数列来解决生活实际问题；【例题讲解】一、等差数列基本性质的运用：【例题1】 有一个数列：4、7、10、13、25，这个数列共有多少项？提示 仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数

10、列的项数公式即可解答。解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)公差+1,可得,项数=(25-4)3+1=8,所以这个数列共有8项。随堂练习：有一个数列:2,6,10,14,106,这个数列共有多少项?。【例题2】 有一等差数列：2，7,12,17，这个等差数列的第100项是多少？提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)公差,可得,第100项=2+(1OO-1)5=497,所以这个等差数列的第100项是497。随堂练习：求1,5,9,13,这个等差数

11、列的第3O项。【例题3】已知一列数：2，5，8，11，14，80，问：80是这列数中的第几个数？前101个数的和是多少？分析：（1）已知首项、末项和公差，就可运用：项数=（末项首项）公差+1，求得项数；（2）已知首项、项数和公差，就可以运用：第几项=首项+（项数1)公差，求得第101项；解：（1）（802）31=27（项）（2）第101项为：2（1011）3=302，所以前101项的和为：（2302）1012=15352；【小结】等差数列的基本性质的运用：先定好基本量：首项，末项，项数与公差；根据题目的需要，求什么，运用三条基本性质对号入座；随堂练习1：有一等差数列3，7，11，15，这个等差

12、数列的第100项是多少？前100个数的和是多少？ 【例题4】计算12344950分析：这是一道等差数列求和，首项是1，末项是50，项数为：（501）11=50；解：（501）11=50(项)（150）502=5125=1275随堂练习：计算5152535499+100【小结】定项数（项数=（末项首项）公差+1）；求和：（和=（首项末项）项数2）【例题5】计算（1+3+5+l99l)-（2+4+6+1990）提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。解：

13、被减数的项数=(1991-1)2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)9962=992016;减数的项数=(l990-2)2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)9952=991020.所以原式=992016-991020=996。随堂练习：计算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+2002)第三讲：等差数列的应用一、等差数列基本性质求和公式：和=（首项末项）项数2通项公式：第几项=首项+（项数1)公差项数公式：项数=（末项首项）公差+1二、解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。在解

14、决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。【例题讲解】【例题1】北京鸟巢西侧看台有300排座位，后一排都比前面一排多5个座位，最后一排有2008个座位，你知道西侧看台共有多少个座位吗？分析：定好四个基本量：末项为2008，公差为5，项数为300，首项为：末项公差（项数1）；求和：求和：（和=（首项末项）项数2）解：2008（3001）5=513共有（513208）3002=108150（个）随堂练习：卖火柴的小女孩在地上玩堆火柴的，第一堆放20根，第二堆放18根，第三堆16根，最后一堆2根，问小女孩一共堆了多少根火柴？

15、【例题2】 小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？提示 根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）302=1470（页）答：这本书共有1470页。随堂练习：1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？【例题3】建筑工地上堆着一些钢管

16、(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+9+10的和。项数=(10-3)1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+9+10=(3+10)82=138 2=52(根)。答：这堆钢管一共有52根。随堂练习：一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？【例题4】有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打

17、开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，即 49+48+47+2+1=(49+1)49 2=1225(次)答：至多要试1225次。随堂练习：有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?【例题5】四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？提示：假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，依