材料力学能量法

1、材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法1一、外力功与应变能一、外力功与应变能 1、外力功、外力功W载荷在其作用点位移上所作的功。载荷在其作用点位移上所作的功。 (1 1) FAFBD DW=FD DMq qW=Mq qM弹性固体的应变能弹性固体的应变能材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法2D D FD DFdDF对于一般弹性体对于一般弹性体0dWDDFFD D图下方面积图下方面积(2 2) 静载作功静载作功 静载静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，体上的载荷，静载作功属于变力作功静载作功属于变力作功。材料力学材料力学 材料力

2、学能量法材料力学能量法3对于线弹性体对于线弹性体DFFD12DWF 2、应变能应变能Ve e弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve e在数值上等于外力所作的功在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）。（忽略能量损失）即即 Ve e =WF为广义力，为广义力，D D为与力对应的广义位移。为与力对应的广义位移。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法4二、线弹性体的应变能二、线弹性体的应变能1、轴向拉压、轴向拉压FFD DlD Dl22N1222F lF lVWF lE

3、AEAeD FN为变量时为变量时2N( )d2lFxVxEAelFFllEAD F材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法5Me2 2、扭、扭 转转j jj jMeMe22eePP1222M lT lVWMGIGIejT为变量时为变量时2P( )d2lTxVxGIeePM lGIj材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法63 3、平面弯曲、平面弯曲ddMxEIq横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当，如矩形截面，当l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3。1ddMxEIq纯弯曲纯弯曲21dd22MxV

4、WMEIeq2( )d2lMxVxEIe横力弯曲横力弯曲M(x)为变量为变量MMdqdx材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法7 应变能应变能Ve e是内力（是内力（FN、T、M）的二次）的二次函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法8D DF从零逐渐增加到最终值，从零逐渐增加到最终值，变形亦缓慢增加最终值。变形亦缓慢增加最终值。F 一、能量法一、能量

5、法 利用能量原理解决力学问题的方法。利用能量原理解决力学问题的方法。 可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。 第十章第十章 能量法能量法10.1 10.1 概概 述述二、外力功与应变能二、外力功与应变能1、外力功、外力功W载荷在其作用点位移上所作的功，属于载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功变力作功。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法9弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。2、应变能、应变能三、功能原理三、功能原理条条 件：（件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性）弹性体（线弹性、非线弹性） （2

6、）静载荷）静载荷 可忽略弹性体变形过程中的可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。能量损失。原原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve e = W材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法10 x解：解：建立坐标系建立坐标系求外力功求外力功W 和应变能和应变能Ve ewA12AWFw222 300d() d226llMxFxxF lVEIEIEIe2 3126AF lFwEI3( )3AFlwEI列弯矩方程列弯矩方程 M =Fx （ 0 x l ）lFBA已知：已知：EI = 常数，用功能原理常数，用功能原理计算计算A点的挠度。点的挠度。 仅仅只能求力

7、作用点与力相对应的位移，仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，其它位移的求解有待进一步研究功能原理。其它位移的求解有待进一步研究功能原理。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法11图示对称结构，各杆抗拉刚度图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。均相等。由平衡方程，通过功能原理导出变形几由平衡方程，通过功能原理导出变形几何方程；由平衡方程结合功能原理求出何方程；由平衡方程结合功能原理求出各杆内力。各杆内力。FABCDl解：解：A点的位移等于点的位移等于杆的变形杆的变形D Dl3。由功能原理有由功能原理有 （1）311223311()22F lF lFlFlDD DD由平衡方程和对称条件有由

8、平衡方程和对称条件有 （2）1212FFll D D，132cosFFF（3）（2）、（）、（3）代入（）代入（1）得）得31cosllD D变形几何方程变形几何方程D Dl1D Dl32223312coscosFlF lF lF lFEAEAEAEA（1）考虑物理方程得）考虑物理方程得（2）、（）、（3）代入上式并化简得得）代入上式并化简得得231cosFF几何方程几何方程和物理方和物理方程的联立程的联立材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法12Fi 为集中力，为集中力，D Di为该力作用点沿力方向的线位移；为该力作用点沿力方向的线位移；Fi为力偶，则为力偶，则D Di为该力偶作用面

9、内沿力偶转向的角为该力偶作用面内沿力偶转向的角位移（转角）。位移（转角）。D Di 简称为与力简称为与力Fi (相相)对应的位移。对应的位移。10.2 10.2 互等定理互等定理Fi 广义力（集中力，力偶）广义力（集中力，力偶）D Di 广义位移（线位移，角位移）广义位移（线位移，角位移）一、外力功的计算一、外力功的计算材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法13对于一般弹性体对于一般弹性体0dWDDFFD D 图下方面积图下方面积 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。体上的载荷，静载作功属于变力作功。外力功属

10、于静载作功。外力功属于静载作功。D D FD DFdDF对于线弹性体对于线弹性体DFFD D12DWFF为广义力，为广义力，D D为广义位移。为广义位移。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法14 外力功的数值与加载顺序无关，外力功的数值与加载顺序无关， 只与载荷与位移的最终数值有关。只与载荷与位移的最终数值有关。加载顺序：加载顺序： F1, F2, Fi， F2, F1, Fj， 不同时加载，加载顺不同时加载，加载顺序不同，外力功不变。序不同，外力功不变。 二、外力功与变形能的特点二、外力功与变形能的特点 如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出

11、现什么结果？什么结果？ 按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还能守恒么？能守恒么？反证法！反证法！材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法15F1F2F2F1先加先加F1后加后加F2先加先加F2后加后加F1不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，外力同时达到最终值，即外力同时达到最终值，即比例加载比例加载，外力功不变。，外力功不变。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法16即即 D D1= d d11F1+d d12F2+ +d d1iFi + +d d1nFnD Di= d di1F1+d

12、 di2F2+ +d diiFi + +d dinFn其中其中d dij 是与载荷无关的常数。是与载荷无关的常数。注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。三、克拉贝依隆（三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理原理线弹性体上，作用有载荷线弹性体上，作用有载荷F1, ,F2 , , Fi, , Fn与外力方向相应的位移为与外力方向相应的位移为D D1, , D D2, , D Di, , D Dn 由由线弹性体线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数的叠加原理，各位移是载荷的线性函数材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法17设各外载荷有一

13、增量，于是位移亦有一增量。载荷设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷在位移增量上所作的元功为：在位移增量上所作的元功为： dW=F1*dD D1*+Fi*dD Di*+Fn*dD Dn* =l lF1d(lDlD1)+l lFid(lDlDi)+l lFnd(lD(lDn) =(F1D D1+FiD Di+FnD Dn)l)ldl l外力作的总功为：外力作的总功为：1110111(+ ) d111+ 22212iinniinnniiiWFFFFFFFDDDll DDD D材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法18设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最设各外载荷按相同的比例，

14、从零开始缓慢增加到最终值。即任一时刻各载荷的大小为：终值。即任一时刻各载荷的大小为：F1*=l lF1, , F2*=l lF2 , , Fi*=l lFi , ,Fn*=l lFn 其中其中 l l从从0缓慢增加到缓慢增加到1，说明加载完毕。，说明加载完毕。加载过程中加载过程中 ，任一时刻的位移为：，任一时刻的位移为：D D1*= d d11F1* +d d12 F2 * + +d d1iFi * +d d1nFn *=lDlD1D Di*= d di1F1 * +d di2 F2 * + +d diiFi * +d dinFn *= lD lDi注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所注

15、意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所以是变数，随着以是变数，随着l l的变化而变化。的变化而变化。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法19112niiiVWFeD 线弹性体线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其的外力功或变形能等于每一外力与其对应位移乘积之半的总和。对应位移乘积之半的总和。F1F2FiD D1D D2D Di图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点位移都不是单个力引起的，是位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下所有力共同作用下的位移的位移。D D1既有既有F1的作用，也有的作用，也有F2 ， Fi 的作用。的作用。

16、所以所以Clapeyron原理不符合叠加原理。原理不符合叠加原理。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法20注注 意意1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体；原理只适用于线弹性，小变形体； 2、D Di 尽管是尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是作用点的位移，但它不只是Fi 一一 个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即 它是它是 i 点实际的点实际的总位移总位移；3、D Di 是是Fi 对应的位移，对应的位移，Fi为集中力，为集中力，D Di则为线位则为线位 移，移，Fi为集中力偶，为集中力偶，D Di则为角位移；则为角位移； 4、

17、Fi D Di 为正时，表明为正时，表明Fi作正功，作正功，D Di 与与Fi 方向方向 （或转向）相同；为负则表示（或转向）相同；为负则表示D Di 与与Fi 方向方向 （或转向）相反。（或转向）相反。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法21据据Clapeyron原理，原理，微段微段dx上上dxTFNM()N222NP111ddddd222ddd222VWFlMTFxMxTxEAEIGIeqjD 组合变形组合变形整个杆件的应变能为整个杆件的应变能为( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法22位移位

18、移命名命名位移位移D D的第一个下标表示某点处的位移，的第一个下标表示某点处的位移，第二个下标表示由那点的力引起的位移。第二个下标表示由那点的力引起的位移。FiijD DiiD DjiFjijD DijD DjjD Dii和和 D Dij第一个下标第一个下标i表示表示i点的位移，第二个下标点的位移，第二个下标i和和j分别表示分别表示是由是由i点和点和j点的力引起的位移，点的力引起的位移， D Dji和和 D Djj亦可以类推得到。亦可以类推得到。四、功的互等定理四、功的互等定理(线弹性体线弹性体)材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法2312iiiWFD12jjjiijFFDD先加先加

19、Fi后加后加FjjFiiD DiiD Dji外力功为外力功为 外力功外力功W 与加载顺序无关，改变加载与加载顺序无关，改变加载顺序可得到相同的外力功。顺序可得到相同的外力功。D DiiFiD DijD DjiD DiFiOD DjFjOFjD DjjFjD DijD Djj材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法24先加先加FjjFjiD DijD Djj外力功为外力功为12jjjWF D后加后加Fi12iiijjiFFD D先加先加Fi 后加后加Fj外力功为外力功为1122iiijjjiijWFFFDDDWW iijjjiFFD DD DiFiOD DjFjOFjD DjjD DijD

20、 DiiFiD DjiFiD DiiD Dji材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法251122iiijjjiijWFFFD D DiijjjiFFD D11112222iiijjjiijiijFFFFD D D D11112222iiijjjiijjjiFFFFD D D D11()()22iiiijjjjjiFFD DD DClapeyron原理原理1122iijjFFD D外力功和变形能不符合叠加原理外力功和变形能不符合叠加原理材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法26线弹性体线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的

21、位移上作的功。一般地，乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。FiijD DiiD DjiFjijD DijD Djj功的互等定理功的互等定理注：力系、位移均为广义的。注：力系、位移均为广义的。iijjjiFFD D材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法27抗弯刚度为抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度，已知其跨中挠度 ，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中，如图所示

22、。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。 CqlwEI45=384解：设第一组力为解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为，梁上各点的挠度为w(x)。挠曲线与原始轴线围成的面积挠曲线与原始轴线围成的面积 ( )dwlAw xx第二组力第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC 。 45384CwFwFlAqEI d( )CwlFwq x w xqA由功的互等定理由功的互等定理材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法28 装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理装有尾顶针的工件可简

23、化为静不定梁。试利用互等定理求求C处的约束力。处的约束力。ABCFal解：解除解：解除C处约束的工件可处约束的工件可简化为悬臂梁，简化为悬臂梁，F、FC作为作为第一组力。悬臂梁在第一组力。悬臂梁在C处加处加单位力单位力1作为第二组力。作为第二组力。FCABC1alwBwC()2323()326Bla aala awEIEIEI33ClwEI第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）为铰支）。0BCCFwF w()2332CFaFlal材料力学材料力学 材料

24、力学能量法材料力学能量法29图示静不定结构由于铰链图示静不定结构由于铰链A的装配误差，使的装配误差，使A，B两点分别两点分别有位移有位移d dA 和和d dB 。在结构。在结构A点的新位置（无装配应力位置）点的新位置（无装配应力位置）重新安装铰链后，重新安装铰链后， 在在B点作用一向下的载荷点作用一向下的载荷 F，求此时铰，求此时铰链链A的约束力（设结构保持线弹性）。的约束力（设结构保持线弹性）。 ABd dAd dBFABFAFA1解：第一种情况下，解：第一种情况下，A处的约束力为处的约束力为FA1， 第二种情况下，第二种情况下，A处的约束力为处的约束力为FA。由功的互等定理有由功的互等定理

25、有100AABAFFFddAABFFdd材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法30 若若 Fi = Fj =F则则 D Di j = D Dj i线弹性体上作用在线弹性体上作用在 j 处的一个力引起处的一个力引起 i 处的处的位移，等于它作用在位移，等于它作用在 i 处引起处引起 j 处的位移。处的位移。五、位移互等定理五、位移互等定理功的互功的互等定理等定理iijjjiFFD DlbhFFlbhFF图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线弹性图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线弹性状态，求杆件的伸长状态，求杆件的伸长D Dl。解：沿杆件轴线加相

26、同的一对力解：沿杆件轴线加相同的一对力FhFhhEEbhbED FlhbED D 下图中下图中材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法31D D i j =D D j iFijD Dij力力F作用在作用在 j点点FijD Dji力力F作用在作用在 i点点位移互位移互等定理等定理材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法32位移互等定理位移互等定理 单位力单位力FiD Di j =FjD Dj id d i j =d d j i1ijd dij单位力单位力1作用在作用在 j点点1ijd dji单位力单位力1作用在作用在 i点点若若 Fi = Fj =1(无量纲无量纲) 称为单位力称为单

27、位力材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法33位移互等定理位移互等定理注意：注意：(功、位移功、位移)互等定理只适用于线弹性小变形体。互等定理只适用于线弹性小变形体。 作用在作用在j 处的处的单位力单位力引起引起 i 处的位移，处的位移，等于作用在等于作用在 i 处的处的单位力单位力引起引起 j 处的位移。处的位移。d d i j = d d j iAB1llAB122BABlEIdq1力力22ABAlwEId1力力d dBAd dAB材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法34广义力广义力1作用在中点作用在中点ABC1q qAClABC1wCAl广义力广义力1作用在端点作用在端

28、点216ACAClEIdq216CACAlwEId材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法35关于互等定理关于互等定理q q BA = q qAB材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法36关于互等定理关于互等定理FiA =Mq qAi功的互等功的互等材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法37讨论讨论百分表百分表 悬臂梁受力如图示。现用百分表测量悬臂梁受力如图示。现用百分表测量 梁在各处的挠度，请设计一实验方案。梁在各处的挠度，请设计一实验方案。移动百分表？移动百分表？固定百分表？固定百分表？关于互等定理关于互等定理百分表固定在百分表固定在B处，移动载荷。处，移动载荷。材料

29、力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法38dFD DWCFFDW0dFCCVWFD显然显然 余功余功 WC = WC ( F ) 余能余能 VC = VC ( F )FD图上方面积图上方面积一、余功及余能一、余功及余能10.3 10.3 余能定理与卡氏定理余能定理与卡氏定理定义与外力功及应变定义与外力功及应变能互补的余功及余能能互补的余功及余能余功和余能均为余功和余能均为广义载荷的函数。广义载荷的函数。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法39D D1D D2D DiF1F2Fi二、余能定理二、余能定理 设任意弹性体（可以是非线性弹性体，）上设任意弹性体（可以是非线性弹性体，）上作

30、用广义载荷作用广义载荷 F1，F2， Fi , 对应点的位移为对应点的位移为 D D1，D D2， D Di ， 无刚性位移。无刚性位移。余能余能 VC = VC ( F1，F2 Fi ) 是载荷的函数。是载荷的函数。如果只有广义载荷如果只有广义载荷 Fi 有一个增量有一个增量dFi , 余功增量为余功增量为 dWC = D D i dFi材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法40FdFD DdWC D D余能增量为余能增量为ddCCiiVVFFddCiiiiVFFFDCiiVFD dWC = dVC 余能（余能（Crotti-Engesser）定理）定理 弹性体弹性体（线性和非线性）

31、（线性和非线性）某载荷作用点处的某载荷作用点处的位移，等于弹性体的余能对该载荷的一阶偏导数。位移，等于弹性体的余能对该载荷的一阶偏导数。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法41Di为正，表示位移方向（转向）和力为正，表示位移方向（转向）和力Fi 的方向的方向（转向）一致，反之，则相反。（转向）一致，反之，则相反。iiVFeD CiiVFD 线弹性体线弹性体某外力作用点处沿力作用方向某外力作用点处沿力作用方向的位移等于结构的应变能对该力的偏导数。的位移等于结构的应变能对该力的偏导数。对线弹性体对线弹性体 Ve e = VC三、卡氏第二定理三、卡氏第二定理D D FVe eVC意大利工程

32、师意大利工程师 阿尔伯托阿尔伯托卡斯提格里安诺卡斯提格里安诺 (Alberto Castigliano， 18471884)材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法42注意注意1、卡氏第二定理只适用于线弹性小变形体；、卡氏第二定理只适用于线弹性小变形体； 2、所求位移处必须要有与位移对应的广义、所求位移处必须要有与位移对应的广义 力作用；力作用；3、所求位移处广义力必须与其它载荷所求位移处广义力必须与其它载荷F1， F2， Fi ，要用不同的符号加以区别要用不同的符号加以区别；4、静定结构的约束力要表示为所有各外载荷、静定结构的约束力要表示为所有各外载荷 的函数。的函数。材料力学材料力学

33、 材料力学能量法材料力学能量法43注意注意5、若构件不同两点、若构件不同两点i、j处的两个载荷符号处的两个载荷符号F 相同，则令相同，则令i处处F=Fi 、j处处F=Fj ；若只求某点处位移，该点处载荷在若只求某点处位移，该点处载荷在求约束力求约束力前前必须与其它各处载荷用不同的符号区别！必须与其它各处载荷用不同的符号区别！ddddjiijijFVVFVFFFFFeee D D 材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法446、若所求位移处无外载荷作用，、若所求位移处无外载荷作用，则人则人 为附加一个与所求位移对应的载荷为附加一个与所求位移对应的载荷， 计算系统在原载荷和附加载荷共同计算系

34、统在原载荷和附加载荷共同 作用下的应变能，作用下的应变能，应变能对附加载应变能对附加载 荷求完偏导数后，再令附加载荷为荷求完偏导数后，再令附加载荷为 零零，即可求得该处的位移。，即可求得该处的位移。注意注意材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法45对线弹性杆系结构对线弹性杆系结构( )( )( )( )( )( )NNpdddiiiillliFxFxM xM xT xT xxxxEAFEVFIFGIFeD ( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe（对线弹性结构）卡氏定理的应用（对线弹性结构）卡氏定理的应用计算载荷作用点的位移；计算载荷作用点的位移

35、；计算无载荷作用点的位移，此时需在所求点沿计算无载荷作用点的位移，此时需在所求点沿 所求方向加一虚力，求导后再令虚力为零；所求方向加一虚力，求导后再令虚力为零；计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值 反向共线力，求导后再令其为零；反向共线力，求导后再令其为零；同样可以计算角位移及相对角位移。同样可以计算角位移及相对角位移。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法46轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端B作用竖直载荷作用竖直载荷F。设。设EI和和GIp已知，试用卡氏定理求截面已知，试用

36、卡氏定理求截面B在在竖直方向的位移。竖直方向的位移。解：在极坐标系中截面解：在极坐标系中截面mn上的上的弯矩和扭矩分别为：弯矩和扭矩分别为：()sin1 cosqq，MFRTFR2200p( d )( d )BMMTTRREIFGIFqqD 由卡氏定理由卡氏定理()23232200P33P11sind1 cosd(38)44FRFREIGIFRFREIGIq qqq材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法47解：解：(1)求求A点挠度点挠度梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为 M =Fx （0 xl）0dlAVMMwxFEIFe01()()dlFxxxEI3( )3FlEI 线弹性材料悬臂梁受力

37、如图，线弹性材料悬臂梁受力如图，已知载荷已知载荷F，刚度，刚度EI及及l 。用用卡氏定理求：卡氏定理求：(1)加力点加力点A处的挠度；处的挠度；(2)梁中点梁中点B处的挠度。处的挠度。FxABC2l2l材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法48 在在B处施加与所求处施加与所求挠度方挠度方向相同的力向相同的力F1 , ,弯矩方程为弯矩方程为F1M1=Fx （0 xl /2）21()()22llMFxF xxl 1122202111ddlllBVMMMMwxxFEIFEIFe121() () d22llllFxF xxxEIF1=0(2)求梁中点求梁中点(非加载点非加载点)B的挠度的挠度F

38、xABC2l2l材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法4935( )48FlEI21()d2lllFx xxEI说明说明 结果为正，表明结果为正，表明B点位移方向与虚力点位移方向与虚力F1一致一致, 即向下。即向下。 虚力虚力F1应在弯矩求完偏导以后再令其为零。应在弯矩求完偏导以后再令其为零。 虚力的符号应与其它力的符号有所区别，否虚力的符号应与其它力的符号有所区别，否 则会得出错误的结果。则会得出错误的结果。121() () d22llllFxF xxxEIF1=0材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法502223311002 32212dd23312()2324318llF

39、FVxxxxEIFF lFkkEIke( )342439CVFlFwFEIke解：系统变形能解：系统变形能C截面的挠度截面的挠度抗弯刚度为抗弯刚度为EI的梁，的梁，B端端弹簧刚度为弹簧刚度为k，试用卡氏，试用卡氏定理求力定理求力F作用点的挠度。作用点的挠度。 3l2 3lABCkFxx1材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法51解：求解：求A处挠度时处挠度时 令令A处集中力处集中力qa=F ，其它不变，其它不变M(x)=Fxqx2 / 2qa20daAVMMwxFEIFe2420123()()d( )224aqxqaqaxqaxxEIEI弯矩对弯矩对F 求完偏导求完偏导后，再用后，再用

40、qa 代回代回F 如何用卡氏定理求如何用卡氏定理求A端的挠度和转角？端的挠度和转角？qqa2qaaAx材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法52求求A处转角时令处转角时令 A处集中力偶处集中力偶 qa2=M1M(x)=qaxqx2 / 2M1011daAVMMxMEIMeq232015()( 1)d23aqxqaqaxqaxEIEI( )qqa2qaaAx材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法5322NN12112221.365mm1313ni iiyiiiVF lFFlFlFE AFEAEAeD 用几何法求解需作变形图，借助几何关系求位移。本题用几何法求解需作变形图，借助几何

41、关系求位移。本题求铅直位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡求铅直位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡氏定理较麻烦，可用莫尔定理求解较方便。氏定理较麻烦，可用莫尔定理求解较方便。图示结构已知图示结构已知F=35kN，d1=12mm，d2=15mm，E=210GPa。求求A点的垂直位移。点的垂直位移。 C B450 3001m A0.8m F解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为N1N2221313FFFF，N1N2221313FFFF ，对对F求偏导求偏导材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法54车床主轴如图所示，其抗弯刚度车床主轴如图所

42、示，其抗弯刚度EI可视为常量。试求在载荷可视为常量。试求在载荷F作用下截面作用下截面B的转角。的转角。a4aABCFx2ABCFMx1解：解：在截面在截面B处附加力偶矩处附加力偶矩M并求支座约束力并求支座约束力 FA4AFaMFa列外伸梁各段的弯矩方程列外伸梁各段的弯矩方程及其对及其对M的偏导数的偏导数 111()4AFaMM xF xxa 11( )4M xxMa AB段段 22)(FxxM2()0M xMCB段段 求截面求截面B的转角的转角 根据卡氏定理，截面根据卡氏定理，截面B的转角为的转角为 材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法550|( )( )dMBlM xM xxEIM

43、q 41210120200()()11()|d()|daaMMM xM xM xxM xxEIMEIM24111014()()d0443axFaFaxxEIaaEI111()4AFaMM xF xxa 11()4M xxMa AB段段 22)(FxxM2()0M xMCB段段 a4aABCF按叠加原理，外伸梁可转化为简支梁在按叠加原理，外伸梁可转化为简支梁在B处受力偶处受力偶MB=Fa作用，由卡氏定理有作用，由卡氏定理有4aAB MBBBVMeqx40( )daBM xMxEIM4021() ()d44(4 )433aBBMxxxEIaaMaFaEIEI 材料力学材料力学 材料力学能量法材料力

44、学能量法56aABCFDaaF外伸梁受两个大小均为外伸梁受两个大小均为F的集中力作用，梁的的集中力作用，梁的EI及及a已知，已知，求求D的挠度。的挠度。解：解：求支座约束力，令求支座约束力，令D点的点的载荷为载荷为F1，这时支座约束力为，这时支座约束力为 11322ABFFFFFF，FAFBF1=列出刚架各段的弯矩方程及其对列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数的偏导数x1x2x3AC段段111111( )22AFFxMM xF xxF ，CB段段11222221()()222AFFFFaxMM xF axFxaxF ，DB段段31 331()MM xFxxF ，计算计算D点挠度点挠度132

45、2233300113()()d()()d( )|24aaDFFVaxFawFxxFxxxFEIEIe材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法57弯曲刚度均为弯曲刚度均为EI的静定组合梁的静定组合梁 ABC，在，在 AB段上受均段上受均布载荷布载荷q作用，梁材料为线弹性体。试用卡氏第二定作用，梁材料为线弹性体。试用卡氏第二定理求梁中间铰理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。两侧截面的相对转角。 ABCqll解：解：在中间铰在中间铰B两侧两侧 虚设一对外力偶虚设一对外力偶MB。MBMB各约束力如图各约束力如图 222BqlM BMqllBMlx122111( )222BBqxqlMM xqlxM

46、lAB段弯矩方程段弯矩方程CB段弯矩方程段弯矩方程x222()BMM xxl 材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法58由卡氏第二定理得由卡氏第二定理得0( )( )dBlBM xM xxEIMqD MB2211122()222()BBBqxqlMM xqlxMlM xM xl 2231111017()(2)d2224lqxxqlqlqlxxEIlEI 结果符号为正，说明相对转角结果符号为正，说明相对转角D Dq qB B的转向与图中虚加外的转向与图中虚加外力偶力偶MB的转向一致。的转向一致。按照叠加原理，相对转角按照叠加原理，相对转角D Dq qB等于悬臂梁等于悬臂梁B的转角及的转角

47、及B的挠的挠度引起的度引起的BC转角的和。转角的和。ABCqll33478624BBBwqlqlqllEIlEIEIqqD若计算悬臂梁的转角和挠度会更简单。若计算悬臂梁的转角和挠度会更简单。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法59FRFj jR(1-cosj j )弯曲刚度弯曲刚度为为EI的等截面开口圆环受的等截面开口圆环受一对集中力一对集中力F作用，环的材料为线弹作用，环的材料为线弹性的。试用卡氏第二定理求圆环的性的。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移张开位移D D和相对转角和相对转角q q 。解：张开位移解：张开位移)cos1 ()()cos1 ()(jjjjRFMFRM()033

48、201( )2( )(d )231 cosd()MVMRFEIFFFRREIEIejjjjj D FRFj jR(1-cosj j )M1M1求相对转角求相对转角q q，虚加一对力偶虚加一对力偶M1。 1( )(1 cos )MFRMjj1220001( )( )22d2(1 cos )dMMMFRFRREIMEIEIjjqjjj材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法60说明下图中说明下图中的含义的含义VFe讨讨 论论12VFe D DD D1D D2FF材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法61若仅求若仅求D D1 1或或D D2 2又如何计算？又如何计算？先计算先计算A、B

49、支座约束力；支座约束力；再令再令C 处处F=FC ，或，或D处处F=FD ;分段列弯矩方程；分段列弯矩方程；由卡氏定理求由卡氏定理求D D1 1或或D D2 2 。方方法法一一先令先令C 处处F=FC ，或，或D处处F=FD ;再计算再计算A、B支座约束力；支座约束力；分段列弯矩方程；分段列弯矩方程；由卡氏定理求由卡氏定理求D D1 1或或D D2 2 。方方法法二二D D1D D2FFFFABCD材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法62解：解：求支座约束力求支座约束力 由图可知，由图可知，A、D点载荷同为点载荷同为F，为便于区分，为便于区分起见，令起见，令A点载荷为点载荷为F1，D

50、点载荷点载荷为为F2，这时支座约束力为，这时支座约束力为 2221FFqlFE12()GxFFF1222GyFFqlF试用卡氏定理求图所示刚架试用卡氏定理求图所示刚架A点的水点的水平位移，设各杆抗弯刚度均为平位移，设各杆抗弯刚度均为EI。（计算中可略去轴力和剪力的影响）（计算中可略去轴力和剪力的影响）Fqll2l2l2FFlABCDEGl2l2l2F2F1lABCDEGqFEFGyFGx列出刚架各段的弯矩方程及其列出刚架各段的弯矩方程及其对对F1的偏导数。由于是求的偏导数。由于是求A点的点的水平位移，则应该对该位移方水平位移，则应该对该位移方向的力向的力F1求偏导数。求偏导数。 材料力学材料力

51、学 材料力学能量法材料力学能量法630M01FMED段段 12xFM 01FMDC段段 21222212222FFqllMxFqx221xFMCB段段 ()313212xFlxFFM21lFMAB段段 12()G xFFF1222G yFFqlF1222EFFqlFl2l2l2F2F1lABCDEGqFEFGyFGxx1x2x3x4()421xFFM41xFMGA段段 计算计算A点水平位移点水平位移 注意求完导后，可令注意求完导后，可令F1=F2=F。根据卡氏定理。根据卡氏定理A点水平位移为点水平位移为 ( )( )1dDAlMxMxxEIF()3203222220d21d22221xlFxE

52、IxxqxFlxqlEIllEIFl63材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法64 所求位移处载荷要在求支所求位移处载荷要在求支座约束力前与其它载荷区分座约束力前与其它载荷区分所求位移处若无载荷作用要所求位移处若无载荷作用要人为附加一个载荷，弯矩求人为附加一个载荷，弯矩求完偏导后再令附加载荷为零。完偏导后再令附加载荷为零。 卡氏定理计算卡氏定理计算位移的不便之处？位移的不便之处？如何消除消除不便之处？如何消除消除不便之处？材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法65iiVFeD以弯矩为例，探讨弯矩对某广义力求偏导的含义。以弯矩为例，探讨弯矩对某广义力求偏导的含义。式中式中M(x)

53、是是所有载荷共同作用下所有载荷共同作用下的弯矩方程。的弯矩方程。线弹性小变形情况下，内力符合叠加原理。线弹性小变形情况下，内力符合叠加原理。M(x) = M(F1 ， F2 ， Fi ， Fn ) =M1(x) + + Mi(x) + Mn(x)其中其中Mi(x) 是是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩单独作用于结构时引起的弯矩对线弹性杆系结构对线弹性杆系结构( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe( )( )dliM xM xxEIF 材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法66111222( )( )( )( )( )( )iiiMxF MxMx

54、F MxMxF Mx其中其中 是是Fi =1，即，即i处单独处单独作用一个单位力作用一个单位力时引起的弯矩。时引起的弯矩。( )iM x因为因为Mi(x) 是是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩单独作用于结构时引起的弯矩于是于是( )(00)( )(010)iiiMxMFM xM，111( )( )( )( )iiiM xMxMxFMFM x ( )( )iiM xMxF( )M x简记为简记为所以所以材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法67( )( )( )( )ddlliM xM xM x M xxxEIFEI 是所求位移处是所求位移处单独作用单独作用一个与一个与位移对应的位移对应

55、的单位力单位力时引起的弯矩时引起的弯矩( )M x莫尔莫尔积分积分若若K 处无载荷作用，处无载荷作用，附加一个载荷附加一个载荷FK ，附加载荷后的弯矩附加载荷后的弯矩*( )( )kMM xF M xKKVFeD( )( )*dlKMxMxxEIFFk =0即无论所求位移处是否有载荷，只要在原结构即无论所求位移处是否有载荷，只要在原结构单独单独加一个加一个与所求位移对应的单位力，单位力作用下求得的内力方程与所求位移对应的单位力，单位力作用下求得的内力方程便是原所有载荷作用下的内力方程对广义力的偏导数。便是原所有载荷作用下的内力方程对广义力的偏导数。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法

56、68一、虚位移一、虚位移D D虚位移虚位移约束允许的（满足约束条件）；约束允许的（满足约束条件）；满足连续条件的满足连续条件的 ； 在平衡位置上增加的（不是唯一的）；在平衡位置上增加的（不是唯一的）；任意微小位移。任意微小位移。真实位移真实位移AB10.4 10.4 虚功原理虚功原理材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法69（1） 可以是与真实位移有关的位移，也可以与真可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关；实位移无关； 虚位移虚位移真实位移真实位移虚位移与真实位移无关虚位移与真实位移无关AB（2）可以是真实位移的增量；）可以是真实位移的增量；（3）可以是另外一个与之相关系统

57、的真实位移；可以是另外一个与之相关系统的真实位移；材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法70w1(x)可作为集中力作用下的虚位移，可作为集中力作用下的虚位移，w2(x)也可作为分布载荷作用下的虚位移。也可作为分布载荷作用下的虚位移。w1(x)w2(x) 总之，虚位移是指有可能发生的无限小位移总之，虚位移是指有可能发生的无限小位移, 它与载荷无必然关系。因此，它不是唯一的。它与载荷无必然关系。因此，它不是唯一的。虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。 “虚位移虚位移” 一词，用以区别物体自身原有外力引一词，用以区别物体自身原有外力引 起的真实

58、位移。起的真实位移。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法71式中式中D Di是与是与Fi对应的虚位移。对应的虚位移。二、虚功二、虚功W力在虚位移上所作的功力在虚位移上所作的功。 一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个虚位移，这时各力作功是常力作功，因此虚位移，这时各力作功是常力作功，因此iiWFD三、虚变形能三、虚变形能Ve e* 弹性体在虚位移过程中增加的变形能。弹性体在虚位移过程中增加的变形能。其数值等于内力虚功其数值等于内力虚功材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法72dqFNFNd() lDMMdxdxTdjNd()ddVFlMTeq

59、jD四、变形体虚功原理四、变形体虚功原理 处于平衡状态的变形体在虚位移中，处于平衡状态的变形体在虚位移中，外力所作的虚功等于弹性体的虚变形能。外力所作的虚功等于弹性体的虚变形能。材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法73F1FiF2 D D1 D D2 D Di以梁为例以梁为例变形体虚功原理变形体虚功原理()()NdddiilFFlMTqjD D（1）虚功原理与材料性能无关）虚功原理与材料性能无关 适用线弹性、非线弹性材料；适用线弹性、非线弹性材料；（2）不要求结构位移与力呈线性关系）不要求结构位移与力呈线性关系 也适用位移与力呈非线性的结构。也适用位移与力呈非线性的结构。材料力学材料

60、力学 材料力学能量法材料力学能量法74以梁为例证明功的互等定理以梁为例证明功的互等定理i1D DiF1i2D DiF2ikFikD D第一组力第一组力j1D DjF1j2D DjF2jkFjkD D第二组力第二组力第二组力引起的变形第二组力引起的变形作为第一组力的虚位移作为第一组力的虚位移Njd()ddjiijijilFFlMTqjD D第一组力引起的变形第一组力引起的变形作为第二组力的虚位移作为第二组力的虚位移由虚功原理由虚功原理Nd()ddijijijijlFFlMTqjD D材料力学材料力学 材料力学能量法材料力学能量法75FNFNd() lDNdd()FxlEADdqMMdxddM x