自控原理练习题

1、2.1系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)。图12.2系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。 例3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为： （t0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数。解 因为故系统传递函数为 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。h(t)t0.1034图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为然后由响应的、及相应公式，即可换算出、。（s）由公式得 换

2、算求解得： 、 例3-18 已知系统特征方程为试求：（1）在右半平面的根的个数；（2）虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为 由于行中各项系数全为零，于是可利用行中的系数构成辅助多项式，即求辅助多项式对s的导数，得原劳斯行列表中s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为 1 8 20 2 12 16 2

3、12 16 8 24 6 16 2.67 16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 得到 和例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为，和时系统的稳态误差。解 根据误差系数公式，有位置误差系数为 速度误差系数为加速度误差系数为对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为参考输入为，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为参考输入为，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为输入信号为r（t）

4、=A+t，A为常量，=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：对于本例，系统的稳态误差为本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以系统的稳态误差为例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。其中 ， ， 试求 时，系统的稳态误差。图3-38 复合控制系统R(s)K1解 闭环传递函数等效单位反馈开环传递函数表明系统为II型系统，且当时，稳态误差为例4-1

5、 设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。（1）系统的开环极点为，是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线渐进线的倾斜角为取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3。渐进线与实轴的交点为 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。（3）实轴上的根轨迹位于原点与1点之间以及2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。（4）确定分离点系统的特征方程式为即利用，则有解得 和 由于在1到2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=1.577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点

6、之间的分离点应为s1=0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 12 32 0 2由劳斯判据，系统稳定时K的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为。根轨迹与虚轴交点处的频率为方法二 令代入特征方程式，可得即 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即，所以 （6）确定根轨迹各分支上每一点的值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式求出后一条根轨迹分支上K=3的点为x=3。由（4）知，前两条根轨迹分支离开

7、实轴时的相应根值为0.423j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为 所以 ，x=2.154。 因本系统特征方程式的三个根之和为2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为0.423j0和2.154，该点的K值为即，K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。图4-1 例4-1系统的根轨迹jS平面例4-6 已知控制系统如图4-18所示R(s)C(s)图4-6图 3-10 标准化二阶系统（1） 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。（2） 估算时的K值。解 （1）系统有四个开环重极点：p1=p2=p3=p4=0。没有零点。实轴上除2一点外，没有根轨迹段。根轨迹有

8、四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为，下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。将根轨迹上任一点s=s1代入幅角方程，有即 和渐近线方位角的表达式比较，两者相等，于是有由于s1的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。系统的根轨迹如图4-7所示。jw 图4-7 例4-6系统的根轨迹S平面图知，随着Kg的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j2和j2处。将s=j2代入幅值方程有解得开环根增益：Kgc=64，开环增益：Kc=Kg/16=4即当时，闭环系统有一对虚根j，系统处于临界稳定的状态。当K4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0Kwc时，有L(w) 0，且

9、在此频率范围内，j(w)穿越 -180线一次，且为由上向下穿越，因此N+ =0 ，N - =1N = N+ - N - = -1 于是算得 右半平面的闭环极点数为z = p - 2N = 2系统闭环不稳定。例5-32 已知单位反馈系统的开环传递函数试判断系统的闭环稳定性。解 开环系统有虚极点s = j2。 系统开环幅相曲线如图5-72所示。由于n =1，从幅相曲线上对应w = 0的点起逆时针补作90且半径为无穷大的虚圆弧。因为存在一对虚极点s = j2，故从w =2- 的对应点起，顺时针补作180且半径为无穷大的虚圆弧。作虚圆弧如图5-72所示。因为p = 0，由开环幅相曲线知N = -1，s

10、右半平面闭环极点的个数z = p -2N = 2闭环系统不稳定。例6-9 设开环传递函数单位斜坡输入R(t)= t，输入产生稳态误差e 0.0625。若使校正后相位裕度g*不低于45，截止频率wc* 2(rad/s)，试设计校正系统。解: 令L(w)=0 ，可得 wc = 4不满足性能要求，需加以校正。系统中频段以斜率-40dB/dec穿越0dB线，故选用超前网络校正。设超前网络相角为jm，则中频段 所以 验算 = 48 45 所以超前校正网络后开环传递函数为例6-12 设单位反馈系统的开环传递函数试设计一串联校正装置，使校正后开环增益等于5，相位裕度g * 40，幅值裕度h* 10(dB)。解 选 k = 5对于校正前的系统 令L(w)=0 ，可得 wc = 2.9g = 180 - 90 - arctanwc - arctan(0.5wc) = -36.5 -180满足幅值裕度条件，所以例6-16 设复合控制系统如图6-29所示，图中Gn(s)为顺馈传递函数，Gc(s)=kts为测速电机及分压器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路中环节的传递函数，N(s)为可测量的干扰。若G1(s)= k，G2(s)=1/s2，试确定Gn(s)，Gc(s)和k1，使系统输出量完全不受干扰n(t)的影响，且单位阶跃响应的超调