高中数学新教材变式题8：《直线与圆》

1、欢迎光临中学数学信息网 zxsx127 八、直线与圆2007.5.11.（北师大版必修2 第93 页A组第1题）已知点，求直线的斜率.变式1：已知点，则直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D.解：，故选（C）.变式2：（2006年北京卷）若三点共线，则的值等于 .解：、三点共线，.变式3：已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有，或.由，得，直线的斜率为.2.（人教A版必修2 第111页A组第9题）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式1：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）A. B. C. D.解：令得，直线在

2、轴上的截距为；令得，直线在轴上的截距为，故选（B）.变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，直线的方程为或，即或.变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.解：依题意，直线的斜率为1，直线的方程为或，即或.3.（人教A版必修2 第124页A组第3题）求直线与坐标轴围成的三角形的面积.变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .解：设所求直线方程为，依题意有，（无解）或，解得或.直线的方程是或.变式2：（2006年上海春季卷）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐

3、标原点，则OAB面积的最小值为 .解：设直线的方程为，则，当且仅当即时取等号，当时，有最小值4.变式3：已知射线和点，在射线上求一点，使直线与及轴围成的三角形面积最小.解：设，则直线的方程为.令得，当且仅当即时取等号，当为（2，8）时，三角形面积最小.4.（北师大版必修2 第117页A组第10题）求过点，且与直线平行的直线的方程.变式1：（2005年全国卷）已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）A.0 B.-8 C.2 D.10解：依题意有，解得，故选（B）.变式2：与直线平行，且距离等于的直线方程是 .解：设所求直线方程为，则，解得或，直线方程为或.变式3：已知三条直线不能构成三角形，求

4、实数的取值集合.解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，实数的取值集合是.5.（北师大版必修2 第117页A组第7题）若直线和直线垂直，求的值.变式1：（1987年上海卷）若直线与直线平行但不重合，则等于（ ）A.-1或2 B.-1 C.2 D.解：，且，且，解得，故选（B）.变式2：（2005年北京春季卷）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）A.充分必要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要条件，故选（B）.变式3：设直线与圆相交于点、两点，为坐标原点，

5、且，求的值.解：圆经过原点，且，是圆的直径，圆心（1，-2）在直线上，.6.（人教A版必修2 第110页A组第3题）已知，求线段的垂直平分线的方程.变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.，的中点为（1，1），直线的方程是即，故选（B）.变式2：已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是 .解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.变式3：求点关于直线的对称点的坐标.解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，.7.（北师大版必修2 第118页B组第2题）光线自点射到点后被轴反

6、射，求反射光线所在直线的方程.变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是 .解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，反射光线所在直线的方程是或，即或.变式2：（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为.若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解：用特例法，取，则、分别为、的中点，此时.依题意，包含的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.变式3：已知点，在直线上求一点P，使最

7、小.解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.设，则，解得，直线的方程为.由，解得，.8.（人教A版必修2第144页A组 3）求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.变式1：（2006年重庆卷）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（ ）A.或 B.或C.或 D.或解：设直线方程为，即.圆方程可化为，圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，直线方程为或，故选（A）.变式2：（2006年湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为 .解：圆的圆心为（1，0），半径为1，解得或.变式3：求经过点，且与

8、直线和都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为，则，解得或，圆的方程为或.9.（人教A版必修2 第144页 A组 第5题）求直线被圆截得的弦的长.变式1：（1999年全国卷）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）A. B. C. D.解：依题意得，弦心距，故弦长，从而OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，故选（C）.变式2：（2006年天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则 .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.变式3：已知圆，直线.（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.解：（1）直线恒过定点，且，点在圆内，直线与

9、圆恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，所求直线的方程为即.10.（北师大版必修2第117页A组 第14题）已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.变式1：（2006年安徽卷）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解：依题意有，解得.，故选（A）.变式2：（2006年湖北卷）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .解：依题意有，解得，的取值范围是.变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.11.（北师大版必修2第101页例8）判

10、断圆与圆的位置关系，并画出图形.变式1：（1995年全国卷）圆和圆的位置关系是（ ）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，.，两圆相交，故选（C）.变式2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，或，或，解得或，或或，实数的取值集合是.变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.两圆外切于点，所求圆的方程为.12.（人教A版必修2 第145页B组第2题）已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.变式1：（2006年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）

11、A.36 B.18 C. D.解：圆的圆心为（2，2），半径，圆心到直线的距离，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选（C）.变式2：已知，点在圆上运动，则的最小值是 .解：设，则.设圆心为，则，的最小值为.变式3：已知点在圆上运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，最小值为.（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，最小值为.13.（人教A版必修2第135页B组第3题）已知点与两个定点，的

12、距离的比为，求点的轨迹方程.变式1：（2006年四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）A. B. C. D.解：设点的坐标是.由，得，化简得，点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，所求面积为，故选（B）.变式2：（2004年全国卷）由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .解：设.=600，=300.，化简得，动点的轨迹方程是.变式3：（2003年北京春季卷）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.解：设动点的坐标为.由，得，化简得.当时，化简得，整理得；当时，化简得.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

13、当时，点的轨迹是轴.14.（人教A版必修2第133页例5）已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.变式1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是（ ）A. B.C. D.解：设.，.点在圆上运动，即，点的轨迹方程是，故选（C）.变式2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 .解：设.是的平分线， .由变式1可得点的轨迹方程是.变式3：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.解：设，的中点为.是平行四边形，是的中点，点的坐标为，且.直线经过定点，化简得.点的轨迹方程是.15.（人教A版必修2第1

14、44页练习第3题）某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.圆经过点（10，0），（0，4），解得.圆的方程是. 令，得.故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约 ，台风将影响城，持续时间约为 .（结果精确到0.1）解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.依题意有，解得.从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或