lv_12动力学11

1、By Lvyanping1结结 构构 力力 学学 第十二章第十二章 结构的动力计算结构的动力计算By Lvyanping21 1-1 -1 动力计算概述动力计算概述一、动力计算的特点一、动力计算的特点 1 1、“静载静载”其大小、方向和作用位置不随时间而变化的其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起，由它所引起的内力和变形都是确定的。的内力和变形都是确定的。 2 2、“动载动载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载荷载。这类荷载对结构产生的

2、惯性力不能忽略对结构产生的惯性力不能忽略，因动载将使结构，因动载将使结构产生相当大的加速度，所引起的内力和变形都是时间的函数。产生相当大的加速度，所引起的内力和变形都是时间的函数。 3 3、对比：、对比：两者都是建立平衡方程；两者都是建立平衡方程；但动力计算利用动静法，建立的是形式上的平衡方程但动力计算利用动静法，建立的是形式上的平衡方程, ,力系中力系中包含了惯性力包含了惯性力; ;考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数; ;其其平衡方程是微分方程平衡方程是微分方程。By Lvyanping3二、动力计算的目的和内容二、动力计算的目的和内容 1

3、1、目的、目的计算结构的动力反应计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。 2 2、动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计、动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：涉及到内外两方面的因素： 1 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2 2）确定结构的动力特性（内部因素）确定结构的动力特性（内部因素: :如结构的自振频率、如结构的自振频率、

4、周期、振型和阻尼等等）；周期、振型和阻尼等等）；计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。1 1-1 -1 动力计算概述动力计算概述By Lvyanping4P(t )tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载一般周期荷载三、动力荷载分类三、动力荷载分类 按其变化规律及其作用特点可分为：按其变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）（转动电机的偏心力）3）随机荷载）随机荷载 ： 荷载在任一时刻的数值无法事先确定。荷载在任一时刻的数值无法事先确定。（如地

5、震荷载、风荷载）（如地震荷载、风荷载）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）PtP(t )ttrPtrPtr0，即为突加荷载，即为突加荷载By Lvyanping5 四、动力计算中体系的自由度四、动力计算中体系的自由度 确定体系上确定体系上全部质量位置全部质量位置所需独立参数的个数称为所需独立参数的个数称为体系的振体系的振动自由度。动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：度体系。计算困难，常作简化如下： 1 1、集中质量法、集中质量法 把

6、连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。题简化成有限自由度问题。mmm梁梁m+m梁梁1 1-1 -1 动力计算概述动力计算概述By Lvyanping62个自由度个自由度y2y12个自由度个自由度自由度与质量数不一定相等；自由度与质量数不一定相等；与体系的静定、超静定也无关。与体系的静定、超静定也无关。II2Im+m柱柱厂房排架水厂房排架水平振时的计平振时的计算简图算简图单自由度体系单自由度体系yBy Lvyanping7水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系多自由度体多自由度体系系4个自由度个自由度m1m

7、2m32个自由度个自由度)(xmy(x,t)x无限自由度体系无限自由度体系By Lvyanping82、广义座标法：、广义座标法：如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示nkklxktatxy1sin)(),( 用几条函数曲线来描述体系的振用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，动曲线就称它是几个自由度体系，其中其中lxksin 是根据边界约束条件是根据边界约束条件选取的函数，称为选取的函数，称为形状函数形状函数。 ak(t) 称称广义座标广义座标，为一组待，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度

8、体系简化为有此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。限自由度体系。x yx)(.),.(),(21xxxna1， a2，. annkkkxatxy1)(),(y(x,t)By Lvyanping9五、动力计算的方法五、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）动力平衡法（达朗伯尔原理）)()(tymtP m0)()(tymtP .运动方程运动方程m设其中设其中)()(tItym P(t)I(t).平衡方程平衡方程I(t)惯性力，惯性力，与加速度成正比，方向相反与加速度成正比，方向相反)()(tymtP 改写成改写成)(tym By Lvyanping1012-2 12-2 单自由度体系的自由

9、振动单自由度体系的自由振动 自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移y m获得初速度获得初速度 y自由振动产生原因自由振动产生原因：体系在初始时刻（：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。要解决的问题包括：要解决的

10、问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼.自由振动反映了体系的固有动力特性。自由振动反映了体系的固有动力特性。By Lvyanping11 一、运动微分方程的建立一、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）应用条件：微幅振动（线性微分方程）1、 刚度法刚度法：研究作用于：研究作用于被隔离的质量被隔离的质量上的力，建立平衡方程。上的力，建立平衡方程。m.yj.yd静平衡位置静平衡位置质量质量m在任一时刻的位移在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型力学模型. ydmmWS(t)I(t)+重力重力

11、 W弹性力弹性力 )()()(djyyktkytS恒与位移反向恒与位移反向惯性力惯性力)()()(djyymtymtI Wyykyymdjdj)()( (a)By Lvyanping12其中其中 kyj=W 及及0jy 上式可以简化为上式可以简化为0ddkyym 或或).(.0bkyym 由平衡位置计量由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法刚度法。Wyykyymdjdj)()( (a)2、 柔度法柔度法：研究：研究结构结构上质点的位移，建立位移协调方程。上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡位置静平衡位置I(t).

12、(.)()()(ctymtIty 0)( ytym k1可得与可得与 (b) 相同的方程相同的方程By Lvyanping13二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解).(.0bkyym 改写为改写为0ymky 02yy 其中其中mk2它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：).(.cossin)(21dtCtCty积分常数积分常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定m静平衡位置静平衡位置I(t)设设 t=0 时时 vyyy)0()0( vCyC12.（d）式可以写成）式可以写成).(.sincos)(etvtytyBy Lvyanping14 由

13、式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初速度v 引引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令令 cos,sinavay (e)式改写成式改写成).(.).sin()(ftaty 它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中a 和和 可由下式确定可由下式确定).(.122gvytgvya 振幅振幅相位角相位角).(.sincos)(etvtytyBy Lvyanping15).(.sincos)(etvtyty).(.).sin()(ftaty y0ty-yTTTvvyt

14、0yt0 a-atycostvsin tasinBy Lvyanping16三、结构的自振周期和频率三、结构的自振周期和频率由式由式)sin()(tAty及图可见位移方程是一个周期函数。及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0 A-A周期周期,2T工程频率工程频率),(21HzTf圆频率圆频率Tf22计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式stgWgmmk1gkmTst22其中其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动

15、方向发生单位位移时，须在质点上使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。沿振动方向施加的力。 st=W在质点上沿振动方向施加数值为在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。点沿振动方向所产生的位移。计算时视计算时视、 k、 st 三参数中哪一个最便于计算来选用。三参数中哪一个最便于计算来选用。By Lvyanping17频率和周期的讨论频率和周期的讨论1.只与结构的质量、刚度有关，与外界干扰无关；只与结构的质量、刚度有关，与外界干扰无关； 干扰力只影响振幅干扰力只影响振幅a。两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性两个外形相似的结构，

16、如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。2.与与m的平方根成正比的平方根成正比: m越大，越大，越大（频率越小）越大（频率越小）; 与与k成反比，成反比， k越大，越大，越小（频率越大）。越小（频率越大）。 据此可改变周期；据此可改变周期；3.是结构动力特性的重要数量标志。是结构动力特性的重要数量标志。kmTmk 2 By Lvyanping18例例1. 计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。

17、mEI l /2 l /21EIl483348mlEIEImlT4823例例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1 stgWgmmk 1,2 TEIlH33 EAlV By Lvyanping19IIEI1= mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例例3.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。 312hEI312hEI由截面平衡由截面平衡324hEIk 324mhEImkEImhT223一般对梁用柔度计算，刚架用刚度计算简便。一般对梁用柔度计算，刚架用刚度计算简便。By Lvyanpin

18、g20例例4、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：解：1）求）求EIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEI7687)3253116332(2221132 EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得据此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 结构约束越强结构约束越强,其刚度越大其刚度越大,刚度越大刚度越大,

19、其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。By Lvyanping211例例5、求图示结构的自振圆频率。、求图示结构的自振圆频率。解法解法1：求：求 k=1 / hMBA=kh = MBCklhmIEIBAClhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 1h解法解法2：求：求 EIlhhlhEI33221221131mlhEImBy Lvyanping22例例6、求图示结构的自振频率。、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k33lEI解：求解：求 k3113lEIkkmkmklEI 3311 对于静定结构一般计算柔度系数方便。对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动

20、方向发生单位位移时，所有刚结点如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚结点都不能发生转动（如横梁刚度为都不能发生转动（如横梁刚度为刚架刚架)计算刚度系数方便。计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：By Lvyanping23四、简谐自由振动的特性四、简谐自由振动的特性由式由式)sin()( taty可得，可得，加速度为：加速度为：)sin()(2 taty )sin()()(2 tmatymtI 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按正弦

21、规律都按正弦规律变化，且变化，且作相位相同的同步运动作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，即它们在同一时刻均达极值，而且而且惯性力的方向与位移的方向一致惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于它们的幅值产生于1)sin(t时，其值分别为：时，其值分别为：ay 2 ay 2 maI 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，幅值出现时间也既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，幅值出现时间也一样，于是可一样，于是可在幅值处建立运动方程在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间，此时方程中将不含时间t，可把可把微分方程转化为代数方程微分方程转化为代数方程，使计算得以简化。，使计算得以

22、简化。惯性力为：惯性力为：By Lvyanping24例例7. 计算图示体系的自振频率。计算图示体系的自振频率。ABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.a1.a2lk1I2I 解：单自由度体系，解：单自由度体系， 以以 表示位移参数的幅值表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为：各质点上所受的力为： 221211lmamI lmlmamI 222222212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化简后得化简后得km2mkBy Lvyanping25五、阻尼对自由振动的影响五、阻尼对自由振动的影

23、响 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：1、阻尼的存在、阻尼的存在忽略阻尼的振动规律忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振

24、动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。By Lvyanping26 事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。2、在建筑物中产生阻尼、耗散能

25、量的因素、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦内摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。关于阻尼，有两种定义或理解：关于阻尼，有两种定义或理解：1）使振动衰减的作用；）使振动衰减的作用；2）使能量耗散。）使能量耗散。By L

26、vyanping27 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：*粘滞阻尼理论粘滞阻尼理论非弹性力与速度成正比：非弹性力与速度成正比：*滞变阻尼理论滞变阻尼理论yctR)(总与质点速度反向，大小与质点速度有如下关系：总与质点速度反向，大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼粘滞阻尼）。）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。）与质点速度平方成正比（如质点在流体中

27、运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。3、阻尼力的确定、阻尼力的确定By Lvyanping280ymkymcy 4、阻尼对自由振动的影响、阻尼对自由振动的影响0kyycym 令令)(2阻尼比 mc mk2及及022yyy 设解为：设解为：tBey 特征方程特征方程0222),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)( f振动模型振动模型ykyym kmycyc动平衡方程：动平衡方程：By Lvyanping29（1）低阻尼情形）低阻尼情形 ( 1

28、 ),1(22,1 特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)( ,122, 1i令令21 rtitirreBeBty)(2)(1)( )(21tititrreBeBe xixexixeixixsincossincos )sincos()(21tCtCetyrrt 低阻尼体系的低阻尼体系的自振圆频率自振圆频率By Lvyanping30由初始条件确定由初始条件确定C1和和C2；设设vyyy)0()0(得得ryvCyC21)sin)( taetyrt(其中其中yvytgyvyarr 122,)sincos()(tyvtyetyrrrt 或写成或写成:)sincos()(21tCtCety

29、rrt By Lvyanping31000220020)()sin(yvytgyvyataeyrrrt ae-ttyty低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y- t曲线曲线阻尼对自振频率的影响阻尼对自振频率的影响. 而随,12 r 当当0.2，则存在，则存在0.96r/1。 在工程结构问题中，若在工程结构问题中，若0.011 强阻尼：强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。不出现振动，实际问题不常见。2)=1（临界阻尼）情况（临界阻尼）情况)1(2 tetCCy)(21tetvtyy)1 (00022 yyy tyy0000vtg这条曲线仍具有衰减性，这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。但不

30、具有波动性。由初始条件：由初始条件：By Lvyanping34EI=m例、例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为中在横梁处共计为m9.8kN ，加一水平力，加一水平力P=9.8kN，测得侧移，测得侧移a0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一及一个周期后的侧移个周期后的侧移a1=0.4cm。求结构的阻尼比。求结构的阻尼比和阻尼系数和阻尼系数c。解：设解：设0.20335. 04 . 05 . 0ln21ln211kkyym

31、NaPk/10196005. 0108 . 9430 1189. 45 . 122sTcmsNmsN/2 .332/33220189. 4101960355. 024 kmmcmk222,2 By Lvyanping35 例例. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移时顶部侧移2cm，振动一周，振动一周T=1.4s后，回摆后，回摆1.6cm，求大梁，求大梁的重量的重量W、及及6周后的振幅。周后的振幅。k2k2W=mg 解：解：(1)大梁的重量大梁的重量,kNgkW6 .4869812200496. 024 . 12由由skgWT4 .

32、 122(2)自振频率自振频率)(714. 04 . 111HzTfsf148. 42(3)阻尼特性阻尼特性,0355. 06 . 12ln21212)999. 0(1r(4)6周后的振幅周后的振幅 nkkkkyynyyln21ln211 TTtteeeyy)(10006106)6(6000yyeeeyyTTttcmyyyy524. 0226 . 1606016 0.2By Lvyanping36m12-3 12-3 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动 受迫振动受迫振动（强迫振动）：（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyym P(t

33、)mP(t )P(t )弹性力弹性力ky、惯性力、惯性力ym 和荷载和荷载P(t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:)()(atPkyym mtPyy)(2 一、简谐荷载一、简谐荷载 P(t)=FsinttmFtAsinsin)(22tmFtAtAsinsinsin22tAy sin mtFyy sin2 )(22mFAtytmFystsin)1 (1sin)1 (22222单自由度体系强迫单自由度体系强迫振动的微分方程振动的微分方程特解：特解：By Lvyanping37最大静位移最大静位移 yst：把荷载幅值当作静荷载作用时质体所产生的位移。把荷载幅值当作静荷载作用时质体所产生的位移。ty

34、yst sin1122 特解可写为：特解可写为：通解可写为：通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221st2FFyFmkststyAyy 22max11 动力系数动力系数为：为：By Lvyanping38设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按自振频率振动按荷载频率振动

35、按荷载频率振动tyyst sin1122 stymFA )(22By Lvyanping391023123重要的特性重要的特性：f当当/0时时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。f当当0 / 1，并且随，并且随/的增大而增大。的增大而增大。f当当/ 1时时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为限增大。称为“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1时时,的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。的增大而减小。 当当很大时，荷载变化很快，很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。结构来不及反应。2211 By

36、Lvyanping40 当当简谐荷载简谐荷载作用在作用在单自由度体系质点单自由度体系质点上上, ,且且与惯性力共线与惯性力共线时，时，只需只需将干扰力幅值乘以动力系数将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可按静力方法来计算即可。 （此时体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最（此时体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数统一的动力系数。）。）例：已知例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。求

37、梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：解：1)求求kEIl212148321EIlEIlEIl1925192483331316.13451921smlEIm2)求求552. 11122mEIlPPy35333max1075. 51090192451020552. 119253)求求ymax， MmaxmkNlPM.04.31420552. 141)(41maxBy Lvyanping41例、一简支梁（例、一简支梁（I28b），惯性矩），惯性矩I=7480cm4，截面系数，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量。在跨度中点有电动机重

38、量Q=35kN，转速，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖的竖向分量为向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：解：1）求自振频率和荷载频率）求自振频率和荷载频率 SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848Sn13 .526050014. 326022）求动力系数）求动力系数88. 54 .573 .5211112222EIPlEIQlystst484833maxW

39、lPQWPlWQl4)(44maxstg175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。I22b3570cm4357039.739.7-1.35对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。又能获得较好的经济效益。325149.2By Lvyanping42 P2Is

40、insinsinsinFty tAtF tmyFFtFtttm 三者同时达到最大值。三者同时达到最大值。 为负数时，位移、惯性力与动荷载方向相反。为负数时，位移、惯性力与动荷载方向相反。惯性力与位移总是同向。惯性力与位移总是同向。动荷载、动位移、惯性力三者的关系动荷载、动位移、惯性力三者的关系By Lvyanping43例例 试求刚架在动荷载作用下的质体振幅和柱端剪力和弯矩。试求刚架在动荷载作用下的质体振幅和柱端剪力和弯矩。1263 /2EIh26EIhABCD解解 （1 1）振幅）振幅3st3291409FhAyFkEIh m3331212321409ACBDkkkEIEIhhEIh2223

41、211140140911EImEImhkDsinFt1EI mEIEIhh/2ABC1ACkBDkkBy Lvyanping44（2 2）柱端剪力和弯矩）柱端剪力和弯矩QQ32321409ACCAACEIFFkAFEIh mQQ321081409BDDBBDEIFFkAFEIh mQ3232441409ACCAACEIhMMFhFhEIh mQ325421409BDDBBDhEIMMFFhEIh mDsinFt1EI mEIEIhh/2ABCBy Lvyanping45在挑梁上有一电动机，扰力在挑梁上有一电动机，扰力 PsinF tFt 的幅值为的幅值为F=4.9kg，转数为，转数为n=120

42、0转转/分，质量为分，质量为m=123kg。梁截面。梁截面转动惯量为转动惯量为I=78cm4，弹性模量为，弹性模量为E=2.1106kg/cm2，长为，长为l=1m。试求梁端最大。试求梁端最大动位移动位移和和动弯矩图动弯矩图。1m解解（1 1）自振圆频率）自振圆频率33lEI481572 123160524 4162.6/k ms4386101332.1 109.878/14815721N m0kEI l 2401640040131160524/41226040/sn（2 2）频率比）频率比1/1078)108 . 91061 . 2(384 By Lvyanping46st54.924.01

43、4815722407869.97 109.8m0.01cmFyk222111640011401310.33 （3 3）静位移和动力系数）静位移和动力系数st22324.0111640024078614013124.01240786984003.29 10cmAy （4 4）梁端最大动位移）梁端最大动位移F=4.9kg，n=1200转转/分，分，m=123kg。梁截面。梁截面I=78cm4，E=2.1106kg/cm2，长，长l=1m。By Lvyanping47（5 5）固定端最大动弯矩）固定端最大动弯矩2st24.9 9.811640014013115.85kNmAAMM 动内力是动荷载和惯

44、性动内力是动荷载和惯性 力共同作用下产生的力共同作用下产生的. .4.9 9.848.02NF 22I22224.012407869840123160078752840131 1640063.87N0FmA 惯性力幅值惯性力幅值动荷载幅值动荷载幅值48.02NF 48.02Nm静弯矩图静弯矩图I63.87NF 48.02NF 15.85Nm动弯矩幅值图动弯矩幅值图F=4.9kg，n=1200转转/分，分，m=123kg。梁截面。梁截面I=78cm4，E=2.1106kg/cm2，长，长l=1m。By Lvyanping48m2a2aasinFtIstAFy353aEI1aM图图sinFatPM

45、图图已知已知: ，EI=常数。试求：质体振幅和动弯矩幅值图。常数。试求：质体振幅和动弯矩幅值图。2解解（1）质体振幅）质体振幅22I/44FmAmAA343Aa FEII45FAF（2）动弯矩幅值图）动弯矩幅值图IPMMFMF/5Fa/5F11Fa/10M图图EIFaFyPPst311 FaEIFaA34/ By Lvyanping49IstAFy348lEI2st16MlyEI已知已知:EI=常数。试求：质体和梁两端转角的位移幅值。常数。试求：质体和梁两端转角的位移幅值。解解（1）质体振幅）质体振幅2IFmA42 342161481MlAmEIlEIml/2l/2sinMtM图图1l/4PM

46、图图MM42I416148MFmAl静位移静位移动力系数动力系数By Lvyanping50（2 2）两端的转角位移振幅）两端的转角位移振幅2I441 77681168334RlllFMMEIEIEI424lllFMMEIEIEIIFMl/2l/2动力系数动力系数力不作用在质点上时，力不作用在质点上时，体系没有统一的动力系数体系没有统一的动力系数M图图1l/4PM图图MM42 342161481MlAmEIlEIBy Lvyanping51例例 建立图示体系的受迫振动方程，各杆建立图示体系的受迫振动方程，各杆EA相同相同12P12图PN解解)()(111tPymyP

47、EAl )222(11EAlP)221(1 )(222221222tPylEAym 11P112图1NllP(t)mym )()(111tPymytPkyymP 00000By Lvyanping52Example 建立图示体系的受迫振动方程建立图示体系的受迫振动方程l/2l/2l/2P(t)mym 11Pl/4图1M tPPl/2图图PM解：解：Pymy111)( EIl48311EIltPP32)(31 )(23483tPylEIym )()(111tPymytPkyymP )(111tPP 当动荷载作用在质量上当动荷载作用在质量上,并且与惯性力一致时并且与惯性力一致时,比值为比值为1.B

48、y Lvyanping53例例 建立图示体系的受迫振动方程，各杆建立图示体系的受迫振动方程，各杆EI相同相同解：解：）2)(11tPymy EIl2311)(2123tPylEIym P(t)llmmym P(t)/211P图1MlBy Lvyanping54例例 建立图示体系的受迫振动方程，各杆建立图示体系的受迫振动方程，各杆EI相同相同EIEIlm EI1=P(t)324lEIk 解解16EI/l2kP(t)ym ky)(tPkyym )(243tPylEIym By Lvyanping55设体系在设体系在t=0时静止，然时静止，然后有瞬时冲量后有瞬时冲量S作用。作用。二、一般荷载二、一般

49、荷载作用下的动力反应作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导可利用瞬时冲量的动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应、瞬时冲量的动力反应P(t)tP瞬时冲量瞬时冲量S引起的振动可视为引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由初始条件引起的自由振动。由动量定理：由动量定理：mtPmSv000yt tmStysin)( t ttttmStysin)()(sintmSsincos)(00 tvtytytPSmv00By Lvyanping562、任意荷载、任意荷载P(t)的动力反应的动力反应P(t)tdPdS)( 时刻的微分冲量对时刻的微分冲量对t瞬时瞬时(t )引起的动力反应引起的动力反应:)

50、(sin)(tmdPdy 初始静止状态的单自由初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的度体系在任意荷载作用下的位移公式位移公式: :dtPmtyt)(sin)(1)(0(Duhamel 积分积分)初始位移初始位移y0和初始速度和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式: : dtPmtvtytyt)(sin)(1sincos)(000 tBy Lvyanping573、几种典型荷载的动力反应、几种典型荷载的动力反应1）突加荷载）突加荷载 0,0, 0)(0tPttP当当P(t)tPdtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyt)(sin1)(00)c

51、os1 ()cos1 (20tytmPstyst=P0=P0 /m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡位置作简谐振动位置作简谐振动2)(maxstytyBy Lvyanping582）短时荷载）短时荷载 ututPttP, 00,0, 0)(0P(t)tPu阶段阶段(0tu)：无荷载，体系以：无荷载，体系以t=u时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动。为初始条件作自由振动。)cos1 ()(uyuystuyuvstsin)(sincos )(00tvtyty)(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuytystst)cos)(costutyst

52、或者直接由或者直接由Duhamel积分作积分作dtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyu)(sin1)(00)cos)(cos20tutmP)2(sin2sin2utuystBy Lvyanping59另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu)cos1 ()(tytyst)(cos1 ()(utytyst当当0t u)cos1 ()(tytyst)(cos1 (utyst)cos)(costutyst)2(sin2sin2utuystBy Lvyanping60ysty(t)t023T最大动反应最大

53、动反应1）当）当 u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段)cos1 ()(tytyststyy2max2）当）当u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段 =2)2(sin2sin2)(utuytyst2sin2maxuyyst2sin2u21, 221,sin2TuTuTu当当Tu1/611/22动力系数反应谱动力系数反应谱(与与T和和u之间的关系曲线之间的关系曲线)By Lvyanping613）线性渐增荷载）线性渐增荷载 rrrttPttttPtP当当,0,)(00P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求

54、解积分来求解:rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)( 对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：很大关系。其动力系数的反应谱如下：By Lvyanping6201.02.03.04.0Ttr1.41.21.01.61.82.0trP0动力系数反应谱动力系数反应谱动力系数动力系数介于介于1与与2之间。之间。如果升载很短，如果升载很短，tr4T,则则接近于接近于1,即相当于静荷载情况。即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。

55、By Lvyanping63三、有阻尼的强迫振动三、有阻尼的强迫振动单独由单独由v0引起的自由振动：引起的自由振动：瞬时冲量瞬时冲量ds=Pdt=mv0所所引起的振动，可视为以引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件为初始条件的自由振动：的自由振动：tveyrrtsin0tmPdteyrrtsin将荷载将荷载P(t)的加载过程的加载过程 看作一系列瞬时冲量：看作一系列瞬时冲量：)(sin)()(temdPdyrtr总反应总反应dtemPtyrttr)(sin)()()(0tyvtyerrrtsincos000P(t)tddPdS)(tBy Lvyanping64（1）突加荷载）

56、突加荷载P0)sin(cos1 )(20ttemPtyrrrt低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y- t曲线曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静静力力平平衡衡位位置置具有阻尼的体系在具有阻尼的体系在突加荷载作用下，突加荷载作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于静位移位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，的两倍，然后逐渐衰减，最然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡后停留在静力平衡位置。位置。By Lvyanping65（2）简谐荷载）简谐荷载P(t)=FsinttmFyyy sin22 设特解为：设特解为：y=Asint +Bcost代入上式得：代入上式得：22

57、2222222222224)(2,4)(mFBmFAsincos21tCtCeyrrt+Asin t +Bcos t 齐次解加特解得到通解：齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。振幅和周期不随时间而变化。结论结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。By Lvyanping66y=Asint +Bcost =yPsin(t )2122222222)(1)(2,4121 tgyBAystP振幅：振幅：yp，最大静力位移：最大静力位移：yst=F/k=F/m2 stPyy 2122222241 By Lvyanping67stPyy2122222241 与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1