大学物理期末总结下

1、 稳恒磁场中物理量的求解稳恒磁场中物理量的求解 磁场中载流导线的受力磁场中载流导线的受力 电磁感应电磁感应 热热 学学一一. . 基本概念基本概念1.1.磁感应强度磁感应强度制制）siqvfb(max 大小大小：2.2.磁通量：磁通量：ssmdsbsdbcos方向方向： 的方向。的方向。单位：特斯拉单位：特斯拉（t）vf max二、稳恒磁场的基本定理和定律：二、稳恒磁场的基本定理和定律：304rrlidbd1.1.毕毕沙定律沙定律2.2.高斯定理高斯定理0ssdb3.3.安培定理安培定理ilil dhb的计算的计算1.2/32220210)(2)cos(cos4xrirbaib2.：利用上述公

2、式计算：利用上述公式计算 bdbtdqdi场无对称场无对称 bdb运载电流运载电流场有对称：利用安培定律场有对称：利用安培定律解：解：51iidbb方向方向 )223(40baibdadbi12345其中：其中：052 bb)8/(301aib方向方向 )221()4/(03bib方向方向 )221()4/(04bib方向方向 2.如图所示，一无限长载流平板宽度为如图所示，一无限长载流平板宽度为a，线电流密度，线电流密度(即沿即沿x方向单位长度上的电流方向单位长度上的电流)为为 ，求，求:与平板共面且与平板共面且距平板一边为距平板一边为b的任意点的任意点p的磁感强度的磁感强度 abpx 解解：

3、 1.分析载流导体的类型分析载流导体的类型 2.选坐标选坐标 4.4.计算微元产生的场强计算微元产生的场强 )(20 xbadibd5.5.判断微元产生场判断微元产生场 强的方向强的方向3.确定微元确定微元dxidxbp oxdx db6 6、求出载流导体的场强、求出载流导体的场强)(200 xbadxbaabaln20abaln20abpx b3.一半径一半径r = 1.0 cm的无限长的无限长1/4圆柱形金属薄片，沿圆柱形金属薄片，沿轴向通有电流轴向通有电流i = 10.0 a的电流，设电流在金属片上均的电流，设电流在金属片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点匀分布，试求圆柱轴线上任意一点p

4、的磁感强度的磁感强度 p解：解：1、选坐标（如图所示）、选坐标（如图所示）2 2、确定微元、确定微元 3 3、计算微元产生的场强、计算微元产生的场强 4 4、判断微元产生场强的方向、判断微元产生场强的方向dlrii2ddlririb22002dd pxy(o) dlrdb ribx20dsind5 5、求出载流导体的场强、求出载流导体的场强riby20dcosd2/020dsinribxri202/020dcosribyri202/122)(yxbbb ri2021.810-4 t pxy(o) dlrdb 方向方向 :1/tgxybb4 pxb y4.如图所示，一扇形薄片，半径为如图所示，一

5、扇形薄片，半径为r，张角为，张角为 ，其，其上均匀分布正电荷，面电荷密度为上均匀分布正电荷，面电荷密度为 ，薄片绕过角，薄片绕过角顶顶o点且垂直于薄片的轴转动，角速度为点且垂直于薄片的轴转动，角速度为 求求o点点处的磁感强度处的磁感强度 r 解：解：1、选坐标（如图所示）、选坐标（如图所示）2 2、确定微元、确定微元 3 3、计算微元产生的场强、计算微元产生的场强 4 4、判断微元产生场强的方向、判断微元产生场强的方向5 5、求出载流导体的场强、求出载流导体的场强rrodr/d21dqi rqrib4d2dd00rd40rrb00d440r方向方向b5.有一长直导体圆管，内外半径分别为有一长直

6、导体圆管，内外半径分别为r1和和r2，如图，它所载，如图，它所载的电流的电流i1均匀分布在其横截面上导体旁边有一绝缘均匀分布在其横截面上导体旁边有一绝缘“无限长无限长”直导线，载有电流直导线，载有电流i2，且在中部绕了一个半径为，且在中部绕了一个半径为r的圆圈设导的圆圈设导体管的轴线与长直导线平行，相距为体管的轴线与长直导线平行，相距为d，而且它们与导体圆圈，而且它们与导体圆圈共面，求圆心共面，求圆心o点处的磁感强度点处的磁感强度 i2i1i2odr解：解：31iiobbi2i1i2o123dr导体管电流产生的磁场导体管电流产生的磁场 )(2101rdib 长直导线电流的磁场长直导线电流的磁场

7、 rib2202圆电流产生的磁场圆电流产生的磁场 rib2203)()1)(2120drrridribo6.两彼此绝缘的无限长且具有缺口的圆柱形导线的横截面两彼此绝缘的无限长且具有缺口的圆柱形导线的横截面如图中阴影部分所示它们的半径同为如图中阴影部分所示它们的半径同为r，两圆心的距离，两圆心的距离1.60r，沿轴向反向通以相同大小的电流，沿轴向反向通以相同大小的电流i求在它们所包求在它们所包围的缺口空间围的缺口空间c中的磁感强度中的磁感强度(cos cos36.87=0.8000) 1.6riic 解解：利用补偿法求磁场强度：利用补偿法求磁场强度1.设设电流密度为电流密度为 sin8 . 0/

8、 222rrrrs其中其中:281.2r1.6riic xy则则:281. 2ri1.6riic xyo1o22.利用高斯定理求利用高斯定理求b2102ookbcjr0285. 01012rkb2022rkb201022rkrkbc7.均匀磁场的磁感强度与半径为均匀磁场的磁感强度与半径为r的圆形平面的的圆形平面的法线的夹角为法线的夹角为 ，今以圆周为边界，作一个半，今以圆周为边界，作一个半球面球面s，则通过，则通过s面的磁通量为多少？面的磁通量为多少？bn r解解: 1. 判断磁场的分布判断磁场的分布 2. 找微元找微元 sd3. 做一封闭曲面做一封闭曲面ssdb0021ssssdbsdbsd

9、bcos221rbsdbsdbss 电磁感应电磁感应 热热 学学一一. . 基本概念基本概念1.1.安培力安培力: :blidfd2.2.磁力矩磁力矩: :bpmm3.3.洛仑兹力洛仑兹力: :bvqf4.4.磁化强度磁化强度: :vpmmlim5.5.磁场强度磁场强度: :mbh0vpmmlim二、基本运算：二、基本运算：1.1.载流导线、线圈、运动电荷在磁场中受到的作用：载流导线、线圈、运动电荷在磁场中受到的作用：blidfd bpmm bvqf 2.2.载流导线、线圈在磁场运动时磁力对其作功：载流导线、线圈在磁场运动时磁力对其作功： ida稳稳恒恒磁磁场场磁感应强度磁感应强度b304rr

10、lidbd304rrvqb场的性质场的性质无源场无源场0ssdb有旋场有旋场ilildh场与物质场与物质 的作用的作用磁化现象磁化现象vpmmlimvpmmlim场对研究物场对研究物体的作用体的作用blidfdbpmmbvqf0asmida1. 如图所示，将一无限大均匀载流平面放入均匀磁场中，如图所示，将一无限大均匀载流平面放入均匀磁场中，(设均匀磁场方向沿设均匀磁场方向沿ox轴正方向轴正方向)且其电流方向与磁场方向且其电流方向与磁场方向垂直指向纸内己知放入后平面两侧的总磁感强度分别为垂直指向纸内己知放入后平面两侧的总磁感强度分别为 与与 求：该载流平面上单位面积所受的磁场力的大求：该载流平面

11、上单位面积所受的磁场力的大小及方向？小及方向？ 1b2box1b2b解：设解：设i为载流平面的面电流密度，为无限大载流平面产为载流平面的面电流密度，为无限大载流平面产生的磁场生的磁场,为均匀磁场的磁感强度，作安培环路为均匀磁场的磁感强度，作安培环路abcda，由安培环路定理得：由安培环路定理得： ihlb0dihbhbh0ib021bbb01bbb02)(21210bbb)(2112bbb012/ )(bbiox1b2by在无限大平面上沿在无限大平面上沿z轴方向上取长轴方向上取长dz，沿，沿x轴方向轴方向取宽取宽dx，则其面积为，则其面积为dl = dz，i=idx面元所受的面元所受的安培力为

12、：安培力为： )(d)(dd00jsbijzbxif单位面积所受的力单位面积所受的力 jbbjibsf0212202)(d2. 在长直电流在长直电流i1旁有一等腰梯形载流线框旁有一等腰梯形载流线框abcd，通，通有电流有电流i2，已知，已知bc , ad边的倾斜角为边的倾斜角为 ，如图所示，如图所示，ab边与边与i1平行，距平行，距i1为为a,梯形高为梯形高为b，上、下底长分别，上、下底长分别为为c , d。试求该线框受到的作用力。试求该线框受到的作用力。i1i2 abcdabcd解：解：4321fffffi caiif22101i1i2 abcdabcdoxi dbaiif)(22103解：

13、解：1、选坐标（如图所示）、选坐标（如图所示）2 2、找微元、找微元 dli24 4、计算微元受到的安培力、计算微元受到的安培力 dlbidf2方向xib2104 4、标出微元受到、标出微元受到安培力安培力的方向的方向5 5、求出载流、求出载流受到的安培力受到的安培力3 3、考察微元处的磁场、考察微元处的磁场 i1i2 0 xdfabaiidxxiidlbifrrbaalncos2cos2210221022jabaiiiabatgiifln2ln22102102i1i2 0 xdfjabaiiiabactgiifln2ln22102102iabactgiiaciibadiifffffln2)(

14、22102102104321同理同理:jabaiiiabactgiifln2ln221021033.半径为半径为r的半圆线圈的半圆线圈acd通有电流通有电流i2，置于电流为，置于电流为i1的的无限长直线电流的磁场中，直线电流无限长直线电流的磁场中，直线电流i1恰过半圆的直径，恰过半圆的直径，两导线相互绝缘求半圆线圈受到长直线电流两导线相互绝缘求半圆线圈受到长直线电流i1的磁的磁力力i1i2解：解：1、选坐标（如图所示）、选坐标（如图所示）2 2、找微元、找微元 dli24 4、计算微元受到的安培力、计算微元受到的安培力 dlbidf2方向xib2104 4、标出微元受到、标出微元受到安培力安培

15、力的方向的方向5 5、求出载流、求出载流受到的安培力受到的安培力3 3、考察微元处的磁场、考察微元处的磁场 i2i1oxy fdlbiblifddd22dsin2210rriisinddffy根据对称性知：根据对称性知： 0dyyffcosddffx0 xxdff2210ii2210ii半圆线圈受半圆线圈受i1的磁力的大小为：的磁力的大小为： 2210iif方向：垂直方向：垂直i1向右向右 4.一半径为一半径为 4.0 cm的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对称发散的，如图所示圆环所在处的磁感强度的大言是对称发散的，如图所示圆环所在处的磁感强度的大小为小为

16、0.10 t，磁场的方向与环面法向成，磁场的方向与环面法向成60角求角求:当圆环当圆环中通有电流中通有电流i =15.8 a时，圆环所受磁力的大小和方向时，圆环所受磁力的大小和方向 ib解：将电流元解：将电流元idl处的分解为平行线圈平面的处的分解为平行线圈平面的b1和垂直线和垂直线圈平面的圈平面的b2两分量，则两分量，则60sin1bb60cos2bb分别讨论线圈在分别讨论线圈在b1磁场和磁场和b2磁场中所受的合力磁场中所受的合力f1与与f2电电流元受流元受b1的作用力的作用力 liblbifd60sin90sindd11方向平行圆环轴线方向平行圆环轴线 因为线圈上每一电流元受力方向相同，所

17、以合力因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力 11d ffrlib20d60sinrib 260sin f1= 0.34 n， 方向垂直环面向上方向垂直环面向上 电流元受电流元受b2的作用力的作用力 liblbifd60cos90sindd22方向指向线圈平面中心方向指向线圈平面中心 由于轴对称，由于轴对称，df2对整个线圈的对整个线圈的合力为零，即合力为零，即 02f所以圆环所受合力所以圆环所受合力 34. 01 ffn， 方向垂直环方向垂直环面向上面向上 5. 一平面线圈由半径为一平面线圈由半径为0.2 m的的1/4圆弧和相互垂直的二直线圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流组成，通以电

18、流2 a，把它放在磁感强度为，把它放在磁感强度为0.5 t的均匀磁的均匀磁场中，求：场中，求：(1)线圈平面与磁场垂直时线圈平面与磁场垂直时(如图如图)，圆弧，圆弧ac段段所受的磁力所受的磁力 (2) 线圈平面与磁场成线圈平面与磁场成60角时，线圈所角时，线圈所受的磁力矩受的磁力矩 acob解：解：(1) 圆弧圆弧ac所受的磁力：在均匀磁场中所受的磁力：在均匀磁场中ac 通电圆弧通电圆弧所受的磁力与通有相同电流的直线所受的磁力相等，故所受的磁力与通有相同电流的直线所受的磁力相等，故有有 ， 283. 02rbifac方向：与方向：与ac直线垂直，与直线垂直，与oc夹角夹角45，如图，如图 (2

19、) 磁力矩：线圈的磁矩为磁力矩：线圈的磁矩为 nnispm2102本小问中设线圈平面与成本小问中设线圈平面与成60角，则与成角，则与成30角，有力角，有力矩矩30sinbpbpmmmm =1.5710-2 nmb pmpmdooiir6. 如图所示，在一通有电流如图所示，在一通有电流 i 的长直导线附近，有一半径为的长直导线附近，有一半径为r，质量为，质量为m的细小线圈。细小的细小线圈。细小线圈可绕通过其中心与直导线线圈可绕通过其中心与直导线平行的轴转动。直导线与细小平行的轴转动。直导线与细小线圈中心相距为线圈中心相距为 d，设，设dr，通过小线圈的电流为通过小线圈的电流为i。若开。若开始时线

20、圈是静止的，它的正法始时线圈是静止的，它的正法线单位矢量线单位矢量 的方向与纸面的方向与纸面法线单位矢量法线单位矢量 的方向成角的方向成角 ，问线圈平面转至与纸面，问线圈平面转至与纸面重叠时，其角速度的值为多少？重叠时，其角速度的值为多少？ne/ne0解：解：当当dr时，小线圈附近的磁场可视作均匀磁场，通电小线时，小线圈附近的磁场可视作均匀磁场，通电小线圈受到的磁力矩为圈受到的磁力矩为sin202diribpmm根据转动惯量定义根据转动惯量定义20222221d2sindmrmrmrj由动能定理有由动能定理有:02202041dsin2mrdirinei2/100)cos1 (2mdiinei

21、7.如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线1和和2绞接绞接于于o点，两导线间夹角为点，两导线间夹角为 ，通有相同的电流，通有相同的电流i试求试求单位长度的导线所受磁力对单位长度的导线所受磁力对o点的力矩点的力矩 o 12ii解：在任一根导线上解：在任一根导线上(例如导线例如导线2)取一线元取一线元dl，该线元，该线元距距o点为点为l该处的磁感强度为该处的磁感强度为 sin20lib方向垂直于纸面向里方向垂直于纸面向里,电流元电流元idl受到的磁力为受到的磁力为方向垂直于导线方向垂直于导线2，如图所示该力对，如图所示该力对o点的力矩点的力矩blifddsin2d

22、dd20llilibf其大小其大小 sin2ddd20liflm任一段单位长度导线所受磁力对任一段单位长度导线所受磁力对o点的力矩点的力矩导线导线2所受力矩方向垂直图面向上，导线所受力矩方向垂直图面向上，导线1所受力矩方向所受力矩方向与此相反与此相反120dsin2dlllimmsin220i8.一个顶角为一个顶角为30的扇形区域内有垂直纸面向内的均匀的扇形区域内有垂直纸面向内的均匀磁场有一质量为磁场有一质量为m、电荷为、电荷为q (q 0)的粒子，从一个边的粒子，从一个边界上的距顶点为界上的距顶点为l的地方以速率的地方以速率v = lqb / (2m)垂直于边界垂直于边界射入磁场，求粒子从另

23、一边界上的射出的点与顶点的距射入磁场，求粒子从另一边界上的射出的点与顶点的距离及粒子出射方向与该边界的夹角。离及粒子出射方向与该边界的夹角。bl v解解: 对应的圆运动半径为对应的圆运动半径为 22/lqbmmlqbqbmvr故故l为该圆的直径为该圆的直径,2/3lv 69.如图所示如图所示,某空间存在着相互正交某空间存在着相互正交 的电场和磁场的电场和磁场.现有一现有一电子从原点静止释放电子从原点静止释放.试求该电子在试求该电子在y轴正方向所能达到轴正方向所能达到的最大位置的最大位置.zxyobe解解:yzzyebvmaebveemadtdyebdtzdmdtdzebeedtydm2222)

24、cos1 (2tmeeymeb2max2ebeey 热热 学学4.位移电流：位移电流：sdtdis 0一、基本概念一、基本概念1.电流密度矢量电流密度矢量 ：ndsdij ldek 2.电动势：电动势：3.涡旋电场：涡旋电场：sdtbl deslk 5.位移电流密度：位移电流密度：tdjd 5磁场的能量及能量密度：磁场的能量及能量密度：6.麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：sdbtl deqsddsls 0sddtil dhsdbsls 00bhm21 a.能量密度能量密度:dvbhdvwvvmm 21 b.磁场能量：磁场能量：7玻印廷矢量：玻印廷矢量：hes 二、基本定律二、基本定律1.1.法

25、拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律： 负号表明方向负号表明方向2 2楞次定律：（略）楞次定律：（略）dtdm 三、基本运算：三、基本运算：1）动生电动势：）动生电动势： baabldbv)( 2）感生电动势：）感生电动势： sdtbldei 涡涡 ildtdill 3) 自感与互感自感与互感a.自感电动势：自感电动势：b.互感电动势：互感电动势：112212imdtdim 4）电磁场能量）电磁场能量dvbhdvwvvmm 21 b.磁场能量：磁场能量：bhm21 a.能量密度能量密度:5）其它物理量的计算）其它物理量的计算电电磁磁感感应应定律定律dtdmi 楞次定律楞次定律麦氏方程组麦氏方程

26、组 slslssiisdtdil dhsdbsdtbl deqsdd000电动势电动势dtdmi baabldbv)( dtdill dtdim121 其它计算其它计算il 121212iim 22121liwdvwbhmvmmm tdjhesd 1,两根平行无限长直导线相距为两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相，载有大小相等方向相反的电流反的电流 i，电流变化率，电流变化率 di /dt = 0一个边长为一个边长为d 的正的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所，如图所示求线圈中的感应电动势示求线圈中的感应电动势 ，并说明线圈中的感应

27、电流，并说明线圈中的感应电流的方向的方向 ddii解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上 b的分布的分布b. 选坐标选坐标c. 选微元选微元d.计算微元中的磁通量计算微元中的磁通量)(dxixib2200ddiioxdxddxdxixid)(2200df. . 求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量ddddxdxixi320022)(4320lnid3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势34234200lndd)(lndddtidtddii方向：顺时针方向：顺时针

28、3.如图所示，一长直导线中通有电流如图所示，一长直导线中通有电流i，有一垂直于导线、长度，有一垂直于导线、长度为为l 的金属棒的金属棒ab在包含导线的平面内，以恒定的速度沿与棒成在包含导线的平面内，以恒定的速度沿与棒成 角的方向移动开始时，棒的角的方向移动开始时，棒的a端到导线的距离为端到导线的距离为a，求任意，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高 ia lvab解：解： 1.规定导线的正方向规定导线的正方向ab2.选坐标选坐标3.找微元找微元dx4.确定微元处确定微元处v 和和bcoscoslnsin2sin2sin)(0cosc

29、os0coscosvtavtlaivdxxivvbdxl dbvvtlavtavtlavtabaab5.积分求解积分求解ia+vtcos lvaboxa点电位高点电位高4.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流i的无限的无限长直导线，其旁另有一边长为长直导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈的等边三角形线圈acd该线圈的该线圈的ac边与长直导线距离最近且相互平边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈行今使线圈acd在纸面内以匀速在纸面内以匀速 远离长直导线运动，远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当线圈且与长直导线相垂直求当线圈ac边与长直导线相距边

30、与长直导线相距a时，时，线圈线圈acd内的动生电动势内的动生电动势 vaiacdv解：解：1.规定导线的正方向规定导线的正方向ac d aaiacdacdal dbv)(cal dbv)(1dcl dbv)(2adl dbv)(3321aivlvlb2012.选坐标选坐标3.找微元找微元dl4.确定微元处确定微元处v 和和baiacdvoxdlbvlvblbvdcosd)(d602xib 20 6060202sindcosdxxiv300260602cossindcoslaaxxiv2/3lc 令令 acaivln6302另外一边产生的动生电动势与另外一边产生的动生电动势与 大小相等绕向相同大

31、小相等绕向相同 23ln33222021alaalivaiacd其方向为顺时针其方向为顺时针 5.半径为半径为r的无限长实心圆柱导体载有电流的无限长实心圆柱导体载有电流i，电流沿轴，电流沿轴向流动，并均匀分布在导体横截面上一宽为向流动，并均匀分布在导体横截面上一宽为r，长为，长为l的矩形回路的矩形回路(与导体轴线同平面与导体轴线同平面)以速度向导体外运动以速度向导体外运动(设设导体内有一很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分导体内有一很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布布)设初始时刻矩形回路一边与导体轴线重合，求：设初始时刻矩形回路一边与导体轴线重合，求： (1) t (t ) 时刻回路中的感应电

32、动势时刻回路中的感应电动势 (2) 回路中的感回路中的感应电动势改变方向的时刻应电动势改变方向的时刻 vrrrliv解：解：(1) (1) 取顺时针方向为回路正向，则回路中的感应取顺时针方向为回路正向，则回路中的感应电动势为电动势为 lvblvb21)(201tribv2022 rtibv)rvtvtr(ilv2012 (2) (2) 当当 =0=0时，时， 将改变方向将改变方向 012rttrvv0)(22rtrtvv22222024vrvrvvrtv2) 15(r000tttt顺时针逆时针6.长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行矩形线圈的边长分别为长边平行矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线，它到直导线的距离为的距离为c (如图如图)当矩形线圈中通有电流当矩形线圈中通有电流i = i0sin t时，求直导线中的感应电动势时，求直导线中的感应电动势 iacb解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向, ,假设长直导线的电流为假设长直导线的电流为i2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上