直线平面简单几何体

1、第第4747课时课时 空间向量的概念和运算空间向量的概念和运算1空间向量的概念：空间向量的概念：在空间在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量，我们把具有大小和方向的量叫做向量 (1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示 的向量的向量 (2)空间的两个向量可用空间的两个向量可用 的两条有向线段来表示的两条有向线段来表示2空间向量的运算空间向量的运算 定义定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如 下：下： ab； 同一或相等同一或相等同一平面内同一平面内3运算律

2、：运算律：(1)加法交换律：加法交换律：ab . (2)加法结合律：加法结合律：(ab)c (3)数乘分配律：数乘分配律：(ab) .4共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量空间任意两个向量a、 b(b0), ab的充要条件是存在实的充要条件是存在实 数数，使，使 .5共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量如果两个向量a，b不共线，不共线，p与向量与向量a，b共面的充要条件共面的充要条件 是存在实数是存在实数x，y使使 .baa(bc)aba bpxayb6空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果如果三个向量三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 p，存

3、在一个唯一的有序实数组，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使，使 .7空间向量的夹角及其表示：空间向量的夹角及其表示：已已知两非零向量知两非零向量a，b，在空间任取一点，在空间任取一点o，作，作 ，则，则aob叫做向量叫做向量a与与b的夹角，记作的夹角，记作a，b；且规定；且规定 0a，b，显然有，显然有a，bb，a；若；若a，b ， 则称则称a与与b ，记作：，记作：ab.8向量的模：向量的模：设设 a，则有向线段，则有向线段 的的 叫做向量叫做向量a的长度或模，的长度或模， 记作：记作：|a|.pxaybzc互相垂直互相垂直长度长度9向量的数量积：向量的数量积：已知向量已知向量a，b，则

4、则|a|b|cosa，b叫做叫做a，b的的 ，记作记作 ab，即即ab|a|b|cosa，b10空间向量数量积的性质空间向量数量积的性质 (1)ae|a|cosa，e；(2)abab0；(3)|a|2aa.11空间向量数量积运算律空间向量数量积运算律 (1)(a)b(ab) ；(2)ab (交换律交换律)； (3)a(bc) (分配律分配律)数量积数量积a(b)baabac1已知向量已知向量a平面平面，向量，向量a所在直线为所在直线为a，则，则() aa ba ca交交于一点于一点 da或或a 答案：答案：d2如图，在四面体如图，在四面体pabc中，中，g为为abc的重心，且的重心，且 ， 则

5、则 _.(用用a，b，c表示表示) 答案：答案： (abc)3已知向量已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且，且k kab与与2ab相互垂直，则相互垂直，则k k值是值是() a1 b. c. d. 答案答案：d4如图，在四面体如图，在四面体oabc中，中， a， b， c，d为为bc的中点，的中点，e为为 ad的中点，则的中点，则 _.(用用a，b，c表示表示) 解析：解析： 答案：答案： 计算平行六面体体对角线的长度与求异面直线上两点间的距离实质上是同一计算平行六面体体对角线的长度与求异面直线上两点间的距离实质上是同一问题利用向量法求平行六面体的体对角线长与几何法相比有着非常明显的

6、问题利用向量法求平行六面体的体对角线长与几何法相比有着非常明显的优势优势【例【例1】 已知在一个已知在一个60的二面角的棱上，如右图，有两的二面角的棱上，如右图，有两 个点个点a、b，ac、bd分别是在这个二面角的两个分别是在这个二面角的两个 面内垂直于面内垂直于ab的线段，且的线段，且ab4 cm，ac6 cm， bd8 cm则则cd的长为的长为_解析：解析： ，则，则624282268cos 12068.| |2 (cm)答案：答案：2 cm变式变式1.平行平行六面体六面体abcda1b1c1d1中，向量中，向量 两两的夹角均为两两的夹角均为60， 且且| |1， ，则，则 等于等于()

7、a5 b6 c4 d8 解析：解析： ， 12223212233125. 则则 5. 答案：答案：a利用共面向量定理可解决四点共面和直线与平面平行等问题利用共面向量定理可解决四点共面和直线与平面平行等问题【例【例2】 如右图如右图，已知平行六面体，已知平行六面体abcdabcd，e、f、g、h分别是棱分别是棱ad、dc、cc 和和ab的中点，求证的中点，求证e、f、g、h四点共面四点共面证明证明:取取 则则 与与b、c共面共面. .即即e、f、g、h 四点共面四点共面. .变式变式2.如右图如右图，pa平面平面abcd，abcd是矩形，是矩形，m、n 分别是分别是ab、pc的中点，求证：的中点

8、，求证：mn平面平面pad. 证明证明:设设 ,则则 与与b、c向量共面，即向量共面，即mn平面平面pad. 利用平行向量的充要条件可解决三点共线和直线与直线平行等问题利用平行向量的充要条件可解决三点共线和直线与直线平行等问题【例【例3】 如右图如右图，在棱长为，在棱长为a的正方体的正方体abcda1b1c1d1中，中，g为为bc1d的重心，的重心，(1)试证试证a1、g、c三点共线；三点共线；(2)试证试证a1c平面平面bc1d；(3)求点求点c到平面到平面bc1d的距离的距离解答：解答：(1)证明证明： 可以证明：可以证明： 即即a1、g、c三点共线三点共线(2)证明：设证明：设 则则|a

9、|b|c|a，且，且abbcca0， abc， ca， (abc)(ca)c2a20， ，同理可证：，同理可证： ，因此，因此a1c平面平面bc1d.(3) abc， a2b2c23a2，即，即| | a，因此，因此 .即即c到平面到平面bc1d的距离为的距离为 a. 1利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题 2利用共面向量定理，可解决立体几何中，直线在平面内，直线与平面平行以利用共面向量定理，可解决立体几何中，直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题及四点共面等问题 3要注意空间向量基底的选取，同时要重视

10、空间向量基本定理的使用，用基底要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程程 4通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线所成角以及距离等问题线所成角以及距离等问题. 【方法规律】【方法规律】 (本题满分本题满分12分分)已知如图所示，平行六面体已知如图所示，平行六面体abcda1b1c1d1的底面的底面abcd是是菱形，且菱形，且c1cdc1cbbcd

11、60 (1)求证求证：c1cbd； (2)当当 的值是多少时，能使的值是多少时，能使a1c平面平面c1bd？请给出证明请给出证明.解答：解答：(1)证明：连结证明：连结a1c1、ac；ac交交bd于于o，连，连c1o，四边形四边形abcd为菱为菱形，形，acbd，dobo，又，又bcc1dcc1，cc1cc1，c1bc c1dc，c1bc1d，dobo，c1obd，又，又acbd，所以所以bd平面平面ac1，又，又cc1平面平面ac1.cc1bd.(2)由由(1)知：知：bd平面平面ac1，因，因为为a1c平面平面ac1，所以所以bda1c，当，当 1时时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理：，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理：bc1a1c.又又bdbc1b，a1c平面平面c1bd. 向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问