线性动态电路的时域分析

1、第八章 线性动态电路的时域分析rlc)(tur)(tuc)(tul)(tuss第一节 动态电路的初始条件和初始状态1）换路：电路工作条件的改变称为换路。将换路发生的瞬间称为初始瞬间（initial instant）记为t=t0,一般取t=0,把换路前趋近于换路时的一瞬间记为t=0-（ t= t0- ），把换路后的初始瞬间记为t=0+ （ t= t0+ ）2）状态：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路的储能情况，因此常常将uc(t)，il(t)称为电路的状态。它们是确定电路响应的一、动态电路的微分方程3）换路后电路方程：仍由kl及vra可得动态电路的微分方程。最少信息（数据），一般以其

2、为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。uc(0- )，il(0- ) 为换路前瞬间电路的状态，uc(0+ )，il(0+ ) 为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态。由初始状态可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间的值，即初始条件。)0)()()()(ttutututusclr,)(dtdurctucr,)(dtductic22)(dtudlctuclrlc)(tur)(tuc)(tul)(tuss)(ti以uc(t)为变量一、动态电路的微分方程)0(22tuudtdurcdtudlcsccc)0)()()()(ttutututusclr,)(lrritu,)(liti,)(dtdiltull

3、dictutlc0)(1)()0()(10tudicdtdilristlll)0(22tdtducidtdircdtidlcslll以il(t)为变量二、换路定律：对于线性电容，在任意时刻t其电压（电荷）与电流的关系为：dtictututtccc)(1)()(00dtitqtqttccc)()()(00dtictututtccc)(1)()(0000初始瞬间dtitqtqttccc)()()(0000换路定理：一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的所以：)()(00tqtqcc0)(100dticttc0)(00dtittc电容上电荷和电压换路先后不发生跃变。（通过电流为

4、有限值时）)0()0(ccuu)0()0(ccqq对于线性电感，在任意时刻t其电流（磁链）与电压的关系为：dtultitittlll)(1)()(00dtuttttlll)()()(00dtultitittlll)(1)()(0000初始瞬间dtuttttlll)()()(0000)()(00tutucc)()(00ttll0)(100dtulttl0)(00dtuttl)0()0(llii)0()0(ll)()(00titill一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连续的所以：电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。（所加电压为有限值时）二、换路定律求得换路前电路稳态时的状态，由

5、换路定律可得电路的初始状态，在t=0+时，将电容看作值为uc(0+ )的电压源，电感看作值为il(0+ )的电流源，独立源取t=0+的值，从而建立t=0+的电路模型，求得电路的初始条件。)0()0()0(1rlciui，求开关打开瞬时的lc)(tulsu1r2r3r)(1tir)(ticvufchlrrrs10,5 . 0,1,2,4321已知：画出t= 0- 的电路图，求开关打开前 uc (0-), il( 0-),5)0(ailvuc10)0(由换路定理，画出t=0+的电路图，例：图示电路)0(li)0 (cusu1r2r1r3r)0 (cu)0(lisu)0 (lu)0(ci)0(1ri

6、,5)0(ailvuc10)0(,5 . 2)0(1air,0)0(vul,5 . 2)0(aic进一步可求各阶导数的初始值第二节 一阶电路的零输入响应 动态电路的响应由两种激励(excitation)产生：独立电源的输入（input)（外施激励源） 动态元件储能的释放即初始状态（state）（内部激励源）。外施激励源为零，由初始状态引起的响应称为零输入响应（zero-input response）;初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为零状态响应（zero-state response）。外施激励源和初始状态共同引起的响应称为全响应（complete response） 一阶电路的定义：换

7、路后，电路中仅含一个或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路（first order circuit）。一、一阶rc电路的零输入响应：如图所示电路，换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：,)0(scuu在t=0时，开关突然由a打向b，电容通过电阻r形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。csura b)(tuc)(ti由kvl得：0 riucdtducic又有)0(0tudtdurccc0)0(ru0)0(irc电路上式是关于uc的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之dtrcuducc1两边取积分：ktr

8、cuc1lntrcktrcckeeetu11)(得方程变形为：ssccukuuu代入方程得将)0()0()0()(10teututrcc）（0)()(1teutututrcsrc任意一阶rc电路的零输入响应为：)0()(10teititrc)0()(1terutitrcstcu0i00u0icsura b)(tuc)(titru00u)0()(10teututrcr一阶rc电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。衰减的速度取决于1/rc（衰减系数）。固有

9、频率。具有频率的量纲。称为令时间常数。具有时间的量纲。称为令秒）的单位为则的单位为，的单位为pprcsrcfcr,1,(,),0()(0teututc),0()(0teitit),0()(0teututr间越短。越小衰减越快，放电时间越长，越大衰减越慢，放电时tteueudtduutgucd001tru0pcd响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。一阶rc电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶rc电路的零输入响应的 实质。wr=wc一阶rc电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的各值。求时间常数：求

10、解电路换路后初始值。（第一节）纽看进去的等效电阻。为换路后从电容两个端rrc,代入（*）式。)(7868aa），（例：习题二、一阶rl电路的零输入响应：如图所示电路，换路前电路已达稳态：,)0(00irruisl在t=0时，开关突然合上，电感通过电阻r形成回路，此时电路已没有外施激励源，,)0(00rirrruusr0)0(lu)(tulsur)(til0r)(tur电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。由kvl得：, 0rluudtdilull又有)0(0tridtdilll上式是关于il的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之dtlridill两边取积分：ktlrilln方程变形为

11、：tlrktlrlkeeeti)(得00)0()0(ikiiill代入方程得将,0)(0）（ teititlrl)0()()(0teritututlrlrtli00i0u0u)(tur)(tuli0t一阶rl电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。衰减的指数规律仅由rl电路的结构和参数决定与变量的选择无关。衰减的速度取决于r/l（衰减系数）。固有频率。具有频率的量纲。称为令时间常数。具有时间的量纲。称为令秒）的单位为则的单位为，的单位为pprlsrlhlr,1,/(/,),0()(0teututl),0()(0

12、teititl),0()(0teututr间越短。越小衰减越快，放电时间越长，越大衰减越慢，放电时tteueudtduutgucd001tru0pcd响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。一阶rl电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶rl电路的零输入响应的 实质。wr=wl一阶rl电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的各值。求时间常数：求解电路换路后初始值。（第一节）纽看进去的等效电阻。为换路后从电感两个端rrl,/代入（*）式。4838 ，例：线性一阶电路的零输入响应的要点：)0()0()(te

13、ftft响应模式：为换路后的初始值。压或电流，为换路后任意支路的电)0()(ftf时间常数决定于电路的结构和参数。阻两端纽看进去的等效电或电感为电容，电路中，电路中lcrrlrlrcrc/一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比第三节 一阶电路的零状态响应一、一阶rc电路的零状态响应：csur)(tuc)(tis) 0( t如图所示电路，开关闭合前电容器未充电即处于零状态：, 0)0(cu, 0)0(ru0)0(i开关闭合后，电源通过r、c形成回路，给电容充电。此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。)0()(tuudtdurctusccc：为变量列写微分方程为以此为一

14、阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：一阶rc电路的零状态响应：通解(general solution ):的解。对应齐次方程0ccudtdurc)()( 为时间常数rcaeaetutrctc特解(particular solution)：一般与微分方程常数项（外施激励源）的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。scscutuubbtu)( )()( 即，代入原方程得恒定量 由电路知us是换路后电路重新达到稳态即t=时电容电压。sccuutu)()( stcccuaetututu)( )( )(完全解：sccuauu代入方程得将0)0()0()0)(1 ()(teuueututsstsc

15、csur)(tuc)(ti)(tur),0()(terudtductitsc)0()(teututsriuc,0t从上述过程可以看出：su)(tuc)(tur)(tirus一阶rc电路的零状态响应有以下特点：电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：iuc,0trus)(tisu)( tuc)( tuca:稳态分量(steady stat component)：方程的特解即电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励源制约，也称为强制分量(forced component)b:暂态分量(transient component)：方程的通解其变化规律与零输入响应相同按

16、指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源无关也称为自由分量(force-free component )。起始值与外施激励源有关。电流在换路瞬间发生突变，其值为us/r即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，i=(us-uc)/r减小，最后为零，电容电压为us。一阶rc电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 wc=wr电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率50，与电阻电容数值无关。二、rl电路的零状态响应：rsu)(tis)

17、0( t)(tul)(turl如图所示电路，开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：, 0)0(li0)0(ru, 0)0(lu开关闭合后电源通过r、l形成回路，此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。)0()(turidtdiltislll：为变量列写微分方程为以其解由两部分组成：)/()( 为时间常数暂态分量：rlaetitlruitisll)()( 稳态分量：)0()( )( )(truaetititistlll完全解：ruaiisll代入方程得将0)0()0()0)(1 ()(teruerurutitstssl),0()(teudtdiltutsll)0)(1 ()(

18、teututsruil,0tsu)(tul)(turrus)(tilrus)(til一阶rl电路的零状态响应有以下特点：电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与rc电路相同。电压在换路瞬间发生突变，其值为us即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。一阶rl电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 wl=wr电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率50，与电阻电感数值无关。外施激励源为直流时的一阶电路的零状态响应的步骤如下：求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。 irlocu)(tul)(tilcocu)(tuc)(tiir据状态变量的响应模式得：)(0)(1 ()(crteutuitocc)/)(0)(1 ()(itioclrlteruti将电容看作电压源、电感看作电流源回到换路后的原电路按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。三、外施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：)(tus)(tis) 0( t)(tul)(turl在图示一阶rl零状态电路中，若：)cos()