概率与数理统计习题

1、第二章 随机变量及其分布 教学要求教学要求1.理解随机变量及其概率分布的概念。2.理解随机变量分布函数的概念，掌握分布函数的性质，会计算与随机变量有关的事件的概率。3.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握（0-1）分布，二项分布，几何分布，泊松分布及其应用。4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握密度函数的性质，掌握均匀分布，指数分布，正态分布及其应用。5.会求简单的随机变量函数的分布。例1. 填空题：（1）同时抛掷三枚硬币，以 x 表示出现正面的个数，则 x 的概率分布为_（2）设（3）设 x 的概率分布为 为常数，则，0 ) , 2 , 1 , 0(!kkkxpk（4）设2 .

2、 0)0( 3 . 0)42( ), 2(2xpxpnx则，且， e27191 951 ) 3( , ) , 2(ypxppbypbx则，若，（5）设 x 的概率密度为其它 , 010 , 2)(xxxf用 y 表示对 x 的三次独立重复观察中事件 出现的次数，则（6）设 x 的分布为 6492 yp21x则 的分布律为， 13 20/3xya（6）设 x 的分布为 12 xy例2 选择题：（1）下列函数中，哪个是 x 的分布函数； 0 ,2302 ,212 , 0)(xxxxf）（c（a a） （b b） （c c） （d d）； , 10 ,sin0 , 0)(xxxxxf； 2 , 12

3、0 ,sin0 , 0)(xxxxxf. 21 , 1210 ,310 , 0)(xxxxxf（2）设 x 的分布律为)( 0), 2 , 1( bbkbkxpk为则，且，（a a） ； （b b） ； （c c） ； 的任意实数 01 b11b11b（3）已知 x 的分布函数为 )(a； , 1 0 ,0 , 0 )(xxbkxxxf则常数 k 和 b 分别为（a a） （b b） （c c） （d d）（d d） . 21b0,k 0b,21k 1b0,k 0b,1k（4）设 x 的概率分布为 ，则随着 的增大，概率 ）（dxp （5）设 ，概率密度为 ，则下列等式正确的是5 . 000x

4、pxp) , (2nx2（a a）单调增大； （b b）单调减少； （c c）增减性不定； （d d）保持不变。 )( ) 1 , 1 (xfnx）（c（a a） ； （b b） ； （c c） ； （d d） ),(- , )()(xxfxf. ),( )(1)(xxfxf，5 . 011xpxp（6）设 x 的概率分布为 )( 12 ) 1 , 0(ayxynx服从则，（a a）n (1 , 4) （b b）n (0 , 1) （c c）n (1 , 1) （d d）n (1 , 2)例3 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到（1）成功两次为止；（2）成功三次为止，分别求

5、所需试验次数的概率分布。4341解解： （1）设 x 表示直到成功两次为止的所需试验次数 x 的可能取值为2 , 3 , 4 ., 4 , 3 , 24341 2211kckxpkk，（2）设 y 表示直到成功三次为止所需试验次数，则 y 可能取值为3 , 4 , 5 . 5 , 4 , 343413321kckxpkk，例4 一批产品由9个正品3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取到正品为止，由 x 表示取到的次品个数，写出 x 的概率分布及分布函数。解解： x 所有可能取值为0 , 1 , 2 , 3 .220122094494313 ,2209109*112*1232

6、 ,449119*1231 431290 xpxpxpxp，故 x 的分布律为：，时，222144943)( 21xxpxfx当当当 ，时，0)( 0 xxpxfx，时，43)( 10 xxpxfx当，时，220219220944943)( 32xxpxfx当3 132 22021921 222110 430 0)(1)( 3xxxxxxfxfx，时，例5 设 x 的概率密度为解解： （1）由 的性质，有求（1）系数 k ；（2）x 的分布函数；（3）. 2 , 0, 20 ,41, 0 ,)(xxxkexfx.2111xpxpxp，)(xf，211214141 )( 1200200kkxke

7、dydxdxkedxxfxx当 ，时 0 xxxxedxexpxf2121 0)(当 ，时 20 xxtdxdxexfxxx4121412141 21 )(000当，1)( 2xfx2 , 1, 20 ,4121, 0 ,21)(xxxxexfx（3） 4141211) 1 ()2(21 01 ,43) 1 (1ffxpxpfxp，例6 设 x 的概率密度为解解： 设 y 的分布函数为 ；密度为求 的概率密度。xysin. , 0,0 ,2)(2其它xxxf)(yfy)(yfy当当当 ，时，0)( 0)( 0yfyfyyy，时，0)()( 1)( 1yfyfyfyyyy时， 10 yxyxyd

8、xxffxxfyxpyypyfarcsin0arcsin)( )( sin)() 10( 12 1)arcsin(211arcsin2)()( 22222yyyyyyyfyfyy故 , 0 10 ,12)(2其它yyyfy例7 已知 x 的概率密度为. , 0, 10 ,)(其它xbaxxf且 ，求8521xp（1）常数 a , b 的值；（2） 2141xp解解： （1）由 1)( 1)(10dxbaxdxxf即，得到 12ba再由，121 283)(21badxbaxxp，得85283 ba联立解得：.21 1ba，（2）.3272141 xp例8 在电源电压不超过200v，在200v 2

9、40v之间和超过240v这三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1 ，0.001 ，0.2 ，假设电源电压服从正态分布 ，求：（1）该电子元件损坏的概率 ；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200v 240v之间的概率 。解解： 设 a 表示“电子元件损坏”， 分别表示“电压不超过200v ”，“电压在200v 240v 之间”和“电压超过240v ”。)25,220(2n321 bbb，由，可得， ) 10(25220nx .2119. 0)8 . 0(1)8 . 0(2001xpbp）（.5762. 0)8 . 0()8 . 0( )25220200()25220240(24020

10、02xpbp）（.2119. 0)8 . 0(1 )25220240(124012403xpxpbp）（.06415. 0 )8 . 0()8 . 0( 2 . 0*2119. 0001. 0*5762. 01 . 0*2119. 0 )()()(3)2(iibapbpap（1）由全概率公式，得 （2）根据贝叶斯公式，有 .00898. 006415. 0001. 0*5762. 0)()()()(222apbapbpabp例9 公共汽车门的高度是按男子与车门顶不碰头的概率在0.01以下设计的。设男子身高 ，问车门高度为多少？解解： 设车门高度为 h ，按设计要求.184 184 33. 26

11、170 99. 09901. 0)33. 2( 99. 06170 01. 061701 01. 0cmhhhhhxp，故车门的高度为即于是即，为此必须有)(6 ,170(2cmnx求：随机变量例10 已知 x 的概率密度为解解： 当 当).( 2yfxyy的0 0 0)(xxexfxx，时，有0)()( 0)( 0yfyfyfyyyy时，有 0 y 0 )(2yxpyxypyxpyypyfy两端同时对 y 求导，得 yxyyeyyyfyfyf2121)()( )( 所以 0 0 0y 21)( yeyyfyy，例11 设 x 在 (0,1) 服从均匀分布，求（1）（2） 的概率密度。解解：

12、由题设知xey xyln2其他， 01x0 1)( xfx（1）当 当 当，时，0)()( 0)( 1yfyfyfyyyy，时，有0)()( 1)( yfyfyfeyyyy 1时，有ey ydyyxpyepyypyfyxylnln)(ln0yyfyfyy1)()( 故其他， 0 ey1 1 )( yyfy（2）当 当 时，有 0y，得时，由xyyln20，0)()( 0)(yfyfyfyyy，由公式得，2221)( )(yyeyheyhx的 ln2xy. 0 0 0y 21)( 2yeyfyy，例12 设 x n (0,1)，试求（1）（2）解解： x 的概率密度为的概率密度， xey 的概率密度。 xz , ,21)(22xexxfxx（1）当 当时，有 0y，0)()( 0)(yfyfyfyyy时，0y)(lnln)(yfyxpyepyypyfxxy2ln2211)(ln)( )(yxy