统计量及抽样分布教学指导书

1、统计量及抽样分布一、实验目的熟练掌握matlab中关于样本统计量的基本语句，会绘制频率直方图。二、实验内容及要求1、熟练掌握matlab软件关于数据各种特征的基本操作；2、会进行经验分布函数与直方图的作图与分析；3、会在图形中标注文字，填充颜色等操作；4、提高观察实验现象或处理数据方面的能力。三、实验的重点和难点 实验的重点和难点是要求学生掌握样本统计量的基本语句，绘制经验分布函数图。四、实验准备实验室电脑需要安装matlab软件。五、实验步骤1、样本的数字特征样本均值格式：y=mean(x) % x 是向量，返回的y是x中元素的算术平均值。 例1. 随机抽取6个滚珠，测得直径(单位:mm)如

2、下：14.70, 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32 .试求该样本均值。解：在命令窗口中输入：x=14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32； mean(x) %计算样本均值. 回车后结果如下：ans = 15.0600 样本方差 格式：d=var(x)，d=var(x,1) 当x是向量时，返回的是x的方差。当x是矩阵时，返回的是一个向量，对应于矩阵每一列的方差值。命令d=var(x)计算的是：命令d=var(x,1)计算的是：样本标准差 格式：y = std(x) y = std(x,1) 协方差格式：cov(x) %求向量x的协方

3、差 cov(a) %求矩阵a的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是a的各列的方差，即：var(a)=diag(cov(a)。 cov(x,y) %x,y为等长列向量例2. 给出下列程序的结果 x=0 -1 1;y=1 2 2； c1=cov(x) %x的协方差 c2=cov(x,y) %列向量x、y的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差 a=1 2 3;4 0 -1;1 7 3 c1=cov(a) %求矩阵a的协方差矩阵 c2=var(a(:,1) %求a的第1列向量的方差 c3=var(a(:,2) %求a的第2列向量的方差 c4=var(a(:,3)相关系数函数：corrcoef格式：

4、corrcoef(x,y) %返回列向量x,y的相关系数corrcoef (a) %返回矩阵a的列向量的相关系数矩阵例3. a=1 2 3;4 0 -1;1 3 9a = 1 2 3 4 0 -1 1 3 9 c1=corrcoef(a) %求矩阵a的相关系数矩阵c1 = 1.0000 -0.9449 -0.8030 -0.9449 1.0000 0.9538 -0.8030 0.9538 1.0000 c1=corrcoef(a(:,2),a(:,3) %求a的第2列与第3列列向量的相关系数矩阵c1 = 1.0000 0.9538其它常用特征命令: 利用median计算中值（中位数）格式：m

5、edian(x) %x为向量，返回x中各元素的中位数。median(a) %a为矩阵，返回a中各列元素的中位数构成的向量。命令：利用geomean计算几何平均数格式：m=geomean(x) %x为向量，返回x中各元素的几何平均数。 m=geomean(a) %a为矩阵，返回a中各列元素的几何平均数构成的向量。说明 几何平均数的数学含义是 ，其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。例4. b=1 3 4 5b = 1 3 4 5 m=geomean(b)m = 2.7832 a=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5a = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 m=geom

6、ean(a)m = 1.2599 3.0000 2.5198 5.3133命令：样本的偏斜度格式：y = skewness(x) %x为向量，返回x的元素的偏斜度；x为矩阵，返回x各列元素的偏斜度构成的行向量。2、常见分布的随机数的产生 常见分布的随机数产生命令：namernd(a,b,m,n) 见表2-1. 表2-1 常见分布的随机数产生函数表函数名 调用形式注 释betarndbetarnd(a, b,m,n)参数为a, b的分布随机数binorndbinornd(n,p,m,n)参数为n, p的二项分布随机数chi2rndchi2rnd(n, m, n)自由度为n的2 分布随机数expr

7、ndexprnd(lambda,m,n)参数为lambda的指数分布随机数frndfrnd(n1, n2, m,n)第一自由度为n1,第二自由度为n2的f分 布随机数gamrndgamrnd(a, b, m,n)参数为a, b的分布随机数georndgeornd(p,m,n)参数为 p的几何分布随机数hygerndhygernd(m,k,n,m,n)参数为 m，k，n的超几何分布随机数lognrndlognrnd(mu, sigma, m, n)参数为mu, sigma的对数正态分布随机 数nbinrndnbinrnd(r, p,m,n)参数为r, p的负二项式分布随机数ncfrndncfrn

8、d(n1, n2, delta,m,n)参数为n1,n2, delta的非中心f分布随机数nctrndnctrnd(n, delta, m,n)参数为n, delta的非中心t分布随机数ncx2rndncx2rnd(n, delta, m,n)参数为n, delta的非中心卡方分布随机数normrndnormrnd(mu, sigma, m,n)参数为mu, sigma的正态分布随机数poissrndpoissrnd(lambda,m,n)参数为lambda的泊松分布随机数raylrndraylrnd(b, m,n)参数为b的瑞利分布随机数trndtrnd(n, m,n)自由度为n的t分布随机

9、数unidrndunidrnd(n,m, n)离散型均匀分布随机数unifrndunifrnd ( a,b,m,n)(a,b)上连续型均匀分布随机数weibrndweibrnd(a, b,m, n)参数为a, b的威布尔分布随机数例5. 产生参数n为10， p为0.5 的二项分布的随机数。(1) 产生1个随机数；(2) 产生10个随机数；(3) 产生6(要求2行3列)个随机数。解 只需在命令窗口中依次输入下列命令: r1=binornd(10,0.5), %产生一个随机数 5. r2=binornd(10,0.5,1,10), %产生1行10列共 10个随机数. r3=binornd(10,0

10、.5,2,3). %同命令 binornd(10,0.5,2,3). 通用函数求各分布的随机数 在matlab中用函数random产生指定分布的随机数，其基本的调用格式如下： y = random(name,a1,a2,a3, m, n) % name为分布函数名,例6. 用函数“random”产生12(含3行4列)个均值为2, 标准差为0.3的正态分布随机数. 解：在命令窗口输入： y=random(norm, 2, 0.3, 3, 4) 回车后显示： y = 2.3567 2.0524 1.8235 2.0342 1.9887 1.9440 2.6550 2.3200 2.0982 2.2

11、177 1.9591 2.0178 三、统计作图频率直方图 根据实验数据，绘出直方图，来显示数据的分布特征，进而观察实验数据所反映的统计规律. 调用格式：n = hist(y) % n = hist(y)将y中的元素分到10个间隔相同的条形中, 并返回每个条形中元素的个数，若y是矩阵，则hist函数对每一列生成直方图，hist() %无输出变量的hist函数创建一个上面描述的直方图输出，hist函数在y的最小值和最大值之间沿x分配条形。直方图用添加阴影的图形对象创建，若希望改变图形颜色，可以设置阴影属性。例7. 创建服从正态分布的数据的钟形直方图，设置图形颜色，使得条形为红色,，条形的边为白色

12、。解：在命令窗口中输入: x =-2.9:0.1:2.9;y = randn(10000, 1); %生成10000 个正态分布的随机数. hist(y, x) h = findobj(gca, type, patch); % gca 表示获得当前图形窗口内当前坐标轴的句柄值 “句柄”，每个图形对象都用一个数字来标识，这个数字叫“句柄”。set(h, facecolor, r, edgecolor, w) %设置条形颜色和边框颜色. 回车后显示图 1所示. 图2-1 正态分布的随机数的直方图附加有正态分布概率密度曲线的直方图 调用格式：histfit(data) %data为向量, 返回直方图

13、和正态曲线. histfit(data, nbins) % nbins指定bar的个数, 缺省时为data中数据个数的平方根. 例8 产生 100 个均值为10，标准差为1的正态分布的随机数，画出它们的直方图并附加正态密度曲线，观察它们之间的拟合程度。解：在命令窗口中输入: r = normrnd (10, 1, 100, 1); histfit(r) 回车后显示(见图 8): 图2-2 直方图与正态分布概率密度曲线经验累积分布函数图形 调用格式：cdfplot(x) % 作样本 x(向量)的累积分布函数图形.h = cdfplot(x) %h表示曲线的句柄. h,stats = cdfplo

14、t(x) %stats表示样本的一些特征：样本最小值、最大值、平均值、中位数和标准差。例9. 产生50个标准正态分布的随机数，指出它们的分布特征，并画出经验累计分布函数图(输出图见2). 解：在命令窗口中输入: x=normrnd (0,1,50,1); % 产生 501 标准正态分布的随机数,用命令 normrnd (0,1,1,50) 也可以, 这时产生 150 标准正态分布的随机数. h,stats=cdfplot(x) 回车后显示: h = 152.0016 stats = min: -2.1707 % 样本最小值. max: 2.1832 % 样本最大值. mean: 0.0393

15、% 样本平均值. median: 0.1196 % 样本中位数. std: 0.9760 % 样本标准差. 样本数据的箱形图 箱形图可以比较清晰地表示数据的分布特征，它由 5个部分组成： 1) 箱形上、下的横线为样本的 25%和 75%分位数，箱形顶部和底部的差值为内四分位极值；2) 箱形中间的横线为样本的中值，若该横线没在箱形中央，则说明存在偏度，3) 箱形向上或向下延伸的直线称为“触须”，若没有异常值，样本的最大值为上触须的顶部，样本最小值为下触须的底部，默认情况下，距离箱形顶部或底部大于1.5倍内四分位极值的值称为异常值；4) 图中顶部的加号表示该处数据为一异常值，该值的异常可能是输入错

16、误、测量失误或系统误差引起； 5) 箱形两侧的“v”形槽口对应于样本中值的置信区间. 默认情况下，箱形图没有“v”形槽口，调用格式：boxplot(x) % 产生矩阵 x 的每一列的箱形图和“触须”图, “触须”从箱形末端延伸出来, 表示数据向极大和极小方向延伸的程度. 如果“触须”的外面没有数据, 则在“触须”的底部有一个点. boxplot(x, notch) %当notch=1时, 产生一个带刻槽的箱形图. 默认时 notch=0, 产生一个矩形箱形图. boxplot(x, notch, sym) %sym表示图形颜色和符号, 默认值为蓝色和“+”. boxplot(x, notch,

17、 sym, vert) %当 vert=0 时, 生成水平箱形图; vert=1 时, 生成竖直箱形图(默认值 vert=1).boxplot(x, notch, sym, vert, whis) %whis 定义“触须”图的长度. 若 whis=0, 则 boxplot 函数通过绘制 sym符号图来显示箱形图以外的数据值. 六、实验结果例10. 产生100个均值为5, 标准差为1的正态分布的随机数, 再产生100个均值为 6, 标准差为 1 的正态分布的随机数, 用箱形图比较它们均值大小. 解：在命令窗口中输入: x1 = normrnd(5, 1, 100, 1); x2 = normrn

18、d(6, 1, 100, 1); x = x1 x2; %形成 100 行2 列正态分布的随机数. boxplot(x, 1, g+, 1, 0) %产生矩阵x的每一列的箱形图和“触须”图. 回车后显示(见图 6): 图2-3 两个正态样本的箱形图比较七、注意事项 要求学生爱护电脑，不能损坏电脑及其他实验室设备。每次开机电脑会更新，要提醒学生把自己做的数据分析结果保存在自己的u盘或其他移动设备上。八、实验报告的格式以及内容要求1、给出下列各题的程序和计算结果产生 100 个标准正态分布的随机数，指出它们的分布特征，并画出经验累计分布函数图；产生 100 个均值为 1，标准差为 1 的正态分布的随机数，画出它们的直方图并附加正态密度曲线，观察它们之间的拟合程度；产生 100 个均匀分布的随机数，对这 100 个数据的列向量，用加号“*”标注其数据位置，作最小二乘拟合直线；产生100个参数为5的指数分布的随机数，再产生100个参