大学课件高等数学下册积分的对称性

1、四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 1给出了给出了利用积分区域的对称性利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算各种积分的命题计算各种积分的命题并给出了详细证明并给出了详细证明四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 2利用积分区间的对称性利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算计算定积分定积分四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 3命题命题 100, ( ) ( ) 2( ), ( ) aaaf xf x dxf x dxf x当是奇函数当是偶函数证证0000( )()()()=()=xtaaaaf x dxftdtft

2、 dtfx dx换元交换积分变量四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 4若若 f(x)是奇函数是奇函数: f(-x)= -f(x)0000( )( )( )( )( )0aaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 则所以若若 f(x)是偶函数是偶函数: f(-x)= f(x)00000( )( )( )( )( )2( )aaaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 5利用积分区域的对称性利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算计算二重积

3、分二重积分四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 6( , )df x y dxdy命题命题 2若区域若区域d 关于关于 y 轴轴 (x = 0) 对称，则对称，则当当 f(x, y) 关于关于 x 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 x 为偶函数为偶函数 012( , )df x y dxdy(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 关于关于 x 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 x 为偶函数：为偶函数：1( , )|0dx yd xd1d四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 7证证 不妨假定不妨假

4、定d的右半部分的右半部分d1为为x型区域：型区域：1:,( )( )daxbxyx由由d关于关于y轴的对称性，轴的对称性，d的左半部分的左半部分d2为：为：2:,()()dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxdxtatbtbtbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 换元交换变量则四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 8( ,)( , )f xyf x y 若2112( )( )( , )( , )( , )( , )( , )

5、( , )0bxaxdddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 9( ,)( , )f xyf x y若21121( )( )( , )( , )( , )( , )( , )+( , )=2( , )bxaxddddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 10( , )df x y dx

6、dy命题命题 2若区域若区域d 关于关于 x 轴轴 (y = 0) 对称，则对称，则当当 f(x, y) 关于关于 y 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 y 为偶函数为偶函数 012( , )df x y dxdy( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 关于关于 y 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 y 为偶函数：为偶函数：1( , )|0dx yd yd1d四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 11( , )df x y dxdy推论推论1若若 d 关于关于 x 轴轴 和和 y 轴都对称轴都对称且且 f(

7、x, y) 关于关于 x 和和 y 均为偶函数均为偶函数1( , )|0,0dx yd xy14( , )df x y dxdyd1d则则四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 12命题命题 3若若 d1是区域是区域 d 关于直线关于直线 y = x 对称的区域，则对称的区域，则1( , )( , )ddfdxdyfdxdyxxyyd1d四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 13证证 不妨假定不妨假定d为为x型区域：型区域：:,( )( )d axbxyx则则d1为为y型区域：型区域：1( )( )( )( )( , )( , )( , )( , )badx ybaxxy

8、dyfdxdyfddfdyyyyxxxxdfdxdyxxyy 交换积分变量 ,所以1:,( )( )daybyxy四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 14推论推论 1若若 d 关于直线关于直线 y = x 对称，则对称，则( , )( , )ddfdyyxdyfdxdxxyd证证 设设 d1 是是d 关于直线关于直线 y=x 对称的区域，则对称的区域，则d1=d。用命题。用命题 3 即得。即得。四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 151( , )2( , )ddf x y dxdyf x y dxdy推论推论 2若区域若区域 d 关于直线关于直线 y = x 对称对

9、称且且 f(x, y) 关于关于 x 和和 y 对称：对称：( , )( , )ffyyxx则则d1( , )|dx yd xy其中1d四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 16证证 设设2( , )|dx yd xy则则d2与与d1关于直线关于直线 y=x 对称，且对称，且12ddd由命题由命题 3211( , )( , )( , )dddfdxdyfdxdyfdxdyxyxyyx121( , )=( , )+( , )2( , )ddddf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 17利用

10、积分区域的对称性利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算计算三重积分三重积分四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 18( , , )f x y z dv当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数为奇函数当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数为偶函数 012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数：为奇函数：f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数：为偶函数：1( , , )|0 x y zz 命题命题

11、4 若空间区域若空间区域关于关于 xoy 面面 (z = 0) 对称，则对称，则高等数学学习手册高等数学学习手册255页页 第一行第一行四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 19证证 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1为为xy型区域：型区域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 由由关于关于xoy坐标面的对称性，坐标面的对称性，的下半部分的下半部分2为：为：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 202( , )( , )( , )( ,

12、)( , )( , )( , )( , )( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx ydztx yx ydx yx ydx yx ydf x y z dvdf x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz换元改变变量则四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 21( , ,)( , , )zy zf x yf x若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z

13、 dvf x y z dvf x y z dv 则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 22( , ,)( , , )f x yfzxzy若21121( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )2( , , )x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 23利用积分曲线的对称性利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算对计算对弧长的曲线

14、积分弧长的曲线积分四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 24( , )lf x y ds命题命题 5若曲线若曲线 l 关于关于 y 轴轴 (x = 0) 对称，则对称，则当当 f(x, y) 关于关于 x 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 x 为偶函数为偶函数 012( , )lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 关于关于 x 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 x 为偶函数：为偶函数：1( , )|0lx yl xl1l四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 25证证 设设 l

15、 的右半部分的右半部分 l1 由以下参数方程给出：由以下参数方程给出：1:( ),( ),lxtytatb 由由 l 关于关于 y 轴的对称性，轴的对称性，l 的左半部分的左半部分 l2 的参的参数方程为：数方程为：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )lbabaf x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),lxtytatb 四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 26(, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0lballllf

16、x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 27(, )( , )fx yf x y若2112122( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )lballlllf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 28( , )lf x y ds命题命题 5若曲线若曲线l关于关于 x 轴轴 (y = 0) 对称，则对称，则当当 f(

17、x,y) 关于关于 y 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 y 为偶函数为偶函数 012( , )lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 关于关于 y 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 y 为偶函数：为偶函数：1( , )|0lx yl yl1l四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 29( , , )f x y z ds当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数为奇函数当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数为偶函数 012( , , )f x y z ds( , ,)(

18、, , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数：为奇函数：f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数：为偶函数：1( , , )|0 x y zz 命题命题 6 若空间曲线若空间曲线 关于关于 xoy 面面 (z = 0) 对称，则对称，则四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 30证证 设设 的上半部分的上半部分 1 由以下参数方程给出：由以下参数方程给出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 关于关于xoy面的对称性，面的对称性， 的左半部分的左半部分 2 的的参数方程

19、为：参数方程为：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 31( , ,)( , , )f x yzf x y z 若2112222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z

20、dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 则所以四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 32( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 则所以四川大学数学学院 徐小

21、湛april 积分的对称性 33利用积分曲面的对称性利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算对计算对面积的曲面积分面积的曲面积分四川大学数学学院 徐小湛april 积分的对称性 34( , , )f x y z ds当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数为奇函数当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数为偶函数 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数：为奇函数：f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数：为偶函数：1( , , )|0 x y zz 命题命题 7 若曲面若曲面 关于关于 xoy 面面