线性代数课时辅导提纲VIP

1、线 性 代 数 教 案第一章 行 列 式考试要求1. 了解行列式的概念,掌握行列式的性质.2. 会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.3. 会用克拉默法则.基本内容1. 二、三阶行列式2. 排列及其性质逆序数 奇偶排列 对换改变排列的奇偶性例1 求元排列的逆序数,并讨论其奇偶性.例2 已知元排列的逆序数为,试求排列的逆序数.3. 阶行列式的定义项、及所带符号阶行列式中,主对角线上个元素的乘积是的一项,除这一项外,还有项.对这项中每一项至少有两个元素不在主对角线上(该结论在讨论特征多项式的结构时需要用到).阶方阵的行列式,记作: .例3 计算阶上三角行列式例4 计算阶拟上三角行

2、列式4. 阶行列式的性质或. 性质及展开定理 三条推论及逆否例5 计算行列式(40).例6 计算行列式.例7 在例6中,计算(1) ；(2) .5. cramer法则(1) cramer的结论；(2)逆否命题；(3)齐次线性方程组有零解的充要条件例8 问取何值时下面齐次线性方程组有非零解:6. 若干例题例9 计算阶行列式.例10 计算行列式.例11 计算阶行列式.例12 计算阶行列式.例13 计算阶范德蒙行列式.例14 计算行列式.例15 设为阶方阵,为阶方阵,为矩阵,则(1) ； (2).例16 设阶矩阵,其中均为三维列向量, 已知行列式,计算.例17 设为三阶矩阵,计算.例18 设是三阶矩

3、阵,是四阶矩阵,且,计算.例19 设是阶方阵,是阶方阵,计算.例20 求的根的个数,其中 【1999,2】.第二章 矩 阵考试要求1. 理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角阵、三角阵、对称阵、反对称阵、正交阵的定义和性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律,了解方阵的幂和方阵乘积的行列式的性质；3. 理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵；4. 掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；5. 了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则1 矩阵及其运算

4、1. 矩阵的相等2. 方阵的行列式 ；.3. 矩阵的运算(1) 加法与数乘(2) 乘法交换律 零因子 消去律 矩阵问题运算律(3) 转置元素 类型运算律(4) 方阵的幂 方阵的多项式和(差)的方幂 二项式定理4. 特殊矩阵(1) 单位矩阵(2) 数量矩阵(3) 主、次对角阵及运算性质(4) 上、下三角阵(5) 对称矩阵、反对称矩阵(6) 正交阵 正交阵的积与行列式例1 设,求.例2 设维行向量,计算.例3 设,求. ,求的问题.例4 设,求. 【幂零矩阵】例5 设是阶方阵,试问: 参数取什么值时,等式成立.例6 设,是阶方阵,试讨论成立的条件.例7 求与可交换的矩阵. 例8 设,计算,.例9

5、证明:与任一阶方阵可换的矩阵只能是数量矩阵.例10 设,是阶对称矩阵,证明是反对称矩阵.例11 设,证明:(1) 是对称矩阵；(2) 是正交矩阵的充要条件是,或.例12 设是3阶正交阵,是3阶方阵,且,求.2 矩阵的逆1. 可逆矩阵(1) 概念 唯一性(2) 基本性质 可逆的逆 数乘 乘积的逆 转置的逆 行列式 定义一半例1 设是阶方阵,满足,证明可逆,并求.例2 设均为维列向量,满足,而,证明可逆,并求.例3 设是阶实反对称矩阵,证明(1)可逆；(2)是正交阵.例4 设均为阶方阵,且,证明(1)可逆,并求；(2)；(3)对称的充要条件是对称.例5 设均为阶可逆矩阵,且,则( ).a. b.

6、c. d. 例6 设都是阶方阵, 且, 则必有( ). a. b. 或 c. d. 2. 伴随矩阵(1) 概念(2) 【重要等式】(3) 定理1 设是阶方阵,则可逆的充要条件是,且在可逆时,.(4) 求逆矩阵的方法伴随矩阵法 初等变换法例7 设,求可逆的条件,并在可逆时,求.例8 设,求. 两种方法.例9 已知均为阶方阵,满足,求.例10 设 则.3. 伴随矩阵的性质设是阶方阵,则(1) 当时,； 求的逆矩阵(2) ； 求的伴随矩阵(3) ； 伴随与逆的可换(4) ； 伴随与转置可换(5) ；(6) ；(7) ；(8) ，；(9) 当时,； 与齐次线性方程组(10) 当时,； 与齐次线性方程组

7、(11) 例11 设是3阶方阵,计算.例12 设为四阶矩阵,则计算.例13 设,求. .例14 设都是阶可逆矩阵,则( ). a. b. c. d. 一定可逆3 初等变换与初等矩阵1. 矩阵的初等变换2. 初等矩阵(1) 定义(2) 类型 ；.3. 初等矩阵的性质(1) 单位矩阵是初等矩阵.(2) 初等矩阵的转置是初等矩阵.(3) 初等矩阵的话来说.(4) 初等矩阵是可逆矩阵,初等矩阵的逆是初等矩阵.(5) 左行右列规则(6) 阶方阵可逆的充要条件是可以表示成初等矩阵的乘积.初等变换、初等矩阵与可逆矩阵之间的关系 灵活运用一系列初等变换与可逆矩阵例1 已知,求,其中,.例2 设是阶可逆矩阵,把

8、的第行的倍加到第行得到矩阵,(1) 证明矩阵可逆；(2) 推导与之间的关系；(3) 推导与之间的关系.例3 设阶方阵经过初等变换变成,试讨论与的关系.可以至多只相差一个非零常数4. 矩阵的等价和等价标准形(1) 等价的定义(2) 等价标准形定理定理1 任一矩阵都可以经过一系列初等变换变成形式为的矩阵,且这样的矩阵是唯一的.定理2 设是矩阵,则存在阶可逆阵及阶可逆阵,使得,或.(1) 求逆矩阵的方法推导例4 设是阶方阵,证明存在可逆阵和幂等阵(即),使得.例5 设是阶方阵,且,证明可以表示成一个非零列矩阵与一个非零行矩阵的乘积.例6 求解矩阵方程(1)；(2),其中, . 方法：(1)初等变换法

9、；(2)线性方程组法.例7 设,试求出的等价标准形,并求出一组可逆阵,使得.例8 已知矩阵满足,求矩阵,其中. 5. 矩阵可逆的判别设是阶方阵,则下列条件等价:(1) 是可逆矩阵；(2) 存在阶方阵,使或；(3) 或或的列(行)向量组线性无关；(4) 齐次线性方程组只有零解；(5) 对任意,方程组都有唯一解；(6) 的特征值不为零.3 分块矩阵1. 分块矩阵的运算(1) 分块矩阵的加法(2) 分块矩阵的数量乘法(3) 分块矩阵的乘法(4) 分块矩阵的转置2. 准对角阵3. 准对角阵的性质(1) .(2) 准对角阵可逆的条件及其逆(3) 次分块对角阵可逆的条件及其逆4. 几种特殊分法设,的列向量

10、组分别为；.与线性方程组及其解 向量组线性表示与矩阵等式 与相关性问题例1 设分别为阶和阶可逆矩阵,求的逆矩阵.例2 设是2阶可逆矩阵,是3阶可逆矩阵,且,的伴随矩阵已知,试求矩阵，其中, .第三章 向量组的线性相关性考试要求1. 理解维向量的概念、向量的线性组合和线性表示；2. 理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量线性相关、线性无关的性质及判别法；3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩与矩阵秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩；4. 了解向量的概念，以及向量组的秩与矩阵秩的关系；5. 了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；6. 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡

11、矩阵；7. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法；8. 了解规范正交基，正交矩阵的概念，以及它们的性质.1 向量组的线性相关性1. 向量的线性组合与线性表示(1) 线性组合与线性表示(2) 向量组的等价(3) 线性表示与线性方程组(4) 向量组线性表示与矩阵方程(5) 若,则的行向量组与的行向量组等价；若,则的列向量组与的列向量组等价.定理1 向量可由向量组线性表示的充要条件是线性方程组或有解. 定理2 列向量组可由列线性表出的充要条件是矩阵方程有解,其中,.例1 设,问能否由线性表出？若能，试写出其表出式.例2 设,试讨论取何值时,不能否由线性表出?能由线性表出?并在可以

12、线性表出时,写出其表示式. 例3 已知向量组与向量组, 等价,求的值. 例4 已知是3维列向量,矩阵, ,若,计算.例5 已知线性方程组的通解为.向量.试问(1)能否由线性表出?(2)能否由线性表出?2. 向量组的线性相关性(1) 线性相关与线性无关的定义(2) 相关性问题的基本结论单独一个向量线性相关的充要条件是.两个向量,线性相关的充要条件是,成比例.含有零向量的向量组线性相关.部分组线性相关,向量组线性相关.线性相关的向量组在相同位置减少分量所得向量组线性相关.维列向量组线性相关的充要条件是.(3) 线性相关判别定理定理3 设,则向量组线性相关的充要条件是齐次线性方程组,即向量方程有非零

13、解.(4) 三个基本定理定理4 向量组线性相关的充要条件是中有一向量可由其余向量线性表示. 逆否命题定理5 设向量组线性无关,若向量组线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一. 逆否命题定理6 若向量组可由线性表示,且,则线性相关. 逆否命题推论1 若向量组与等价,且它们都线性无关,则.推论2 任意个维向量线性相关.例6 已知向量组线性无关,证明线性无关.例7 设线性无关,而线性相关,求.例8 若线性相关,线性无关, 则( ).a. 可由线性表示 b. 可由线性表示c. 可由线性表示 d. 可由线性表示例9 设阶矩阵,记向量组(i)；(ii)；(iii),若(iii)线性相关,则( ).a. (

14、i),(ii)都线性相关 b. (i)线性相关c. (ii)线性相关 d. (i),(ii)至少有一个线性相关例10 设是满足的任意两个非零阵,则必有( ).a. 的列向量组线性相关,的行向量组线性相关；b. 的列向量组线性相关,的列向量组线性相关；c. 的行向量组线性相关,的行向量组线性相关；d. 的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.例11 设均为维列向量,是矩阵,则 .a. 若线性相关,则线性相关；b. 若线性相关,则线性无关；c. 若线性无关,则线性相关；d. 若线性无关,则线性无关.例12 设,分别是,矩阵,证明的列向量组线性无关.例13 设向量组线性相关,但任意两个向量线性无关,

15、求参数.例14 已知向量与线性相关,求参数,其中,.例15 设是阶方阵,是维列向量,若,证明线性无关.例16 设是阶方阵,是维列向量,已知, ,证明向量组线性无关.例17 已知是三维线性无关的列向量,而是三阶方阵,且有, ,计算.例18 已知向量组线性无关,而线性相关.证明:或者与至少有一个可由线性表示,或者与等价.例19 设为三阶方阵,为矩阵的分别属于特征值的特征向量,向量满足,证明线性无关.3. 向量组的极大无关组(1) 极大无关组的定义(2) 向量组的秩(3) 基本结论 向量组的极大无关组不一定唯一.唯一的情况存在,不唯一的情况也存在. 等价的向量组的极大无关组等价,且含有相同个数的向量

16、.从而等价的向量组有相同的秩.但秩相等不一定等价. 向量组与其极大无关组等价. . 向量组线性相关的充要条件是.例20 求向量组的一个极大无关组,并把其余向量表示成该极大无关组的线性组合.是一个极大无关组,且,.例21 设,问当取什么值时,向量组的秩等于,并在秩等于时求出向量组的一个极大无关组,并把其余向量表示为极大无关组的线性组合.2 矩阵的秩1. 矩阵的秩定义1 行秩；列秩.定理1 矩阵的行秩与列秩相等.定义2 矩阵的秩.矩阵的秩,记作.定义3 阶子式.2. 主要结论定理1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.定理2 非零矩阵的秩等于矩阵的不等于零的子式的最高阶数.【秩、子式不等于零、行（列）向

17、量组线性无关之关系】关于矩阵的秩有下列关系(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 若可逆,则；若可逆,则；(7) 若,则的列数,即的行数；(8) ；(9) .3. 矩阵秩的求法把矩阵用初等行变换化成行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.这是最常用的方法.另一种方法是求矩阵的不等于零的子式的最高阶数,它就是矩阵的秩.例1 设,已知,求.例2 设,求. 【07年试题】【一般化,若尔当】例3 证明.(两种方法)例4 证明.例5 设是矩阵,是矩阵,且,证明.例6 设是阶方阵,证明.例7 设是维非零列向量,证明.例8 设是维单位列向量,证明. 【,求特征值】例9 设为

18、阶矩阵,证明 其中.例10 已知是三阶方阵,若存在非零矩阵,使得,且,求.例11 设,若,求满足的条件.例12 设为阶矩阵,证明的充要条件是存在维非零列向量,使得.例13 设,求证(1)；(2).3 向量空间1. 向量空间与子空间由全体维实向量构成的集合连同向量的加法和数乘运算作为一个整体称为维向量空间,记作.定义1 设是向量空间的非空子集,如果对向量的加法和数乘封闭,就称是的一个子空间.定理1 设是的一个非空子集,则是的子空间的充要条件是对中任意向量,和实数,有.例1 设,则是的一个子空间.定义2 子空间的基例2 元齐次线性方程组的全体解向量作成的集合是的一个子空间,称为齐次线性方程组的解空

19、间.的基础解系就是解空间的一个基,解空间的维数为.例3 在例1中,求基.定义3 设是子空间的一个基,是中任一向量,则可由唯一线性表示:,则称为向量在基下的坐标.例4 在例3下,求向量的坐标.2. 过渡矩阵 过渡矩阵 过渡矩阵的求法例5 求过渡矩阵3. 向量的内积 内积概念 向量长度 单位向量 单位化 正交4. 标准正交基与正交化 正交组与正交基 标准正交组与标准正交基 正交化方法:例6 正交化、单位化例子5. 正交矩阵的性质设是阶实矩阵,则下列条件等价:(1) 是正交矩阵；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 的行向量组是标准正交基；(6) 的列向量组是标准正交基.例7 设是正交阵,且,求.例

20、8 设是正交阵,且,证明是的特征值.例9 设为阶正交阵,且,证明.第四章 线性方程组考试要求1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念；3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；4. 掌握用行初等变换解线性方程组的方法.1 线性方程组解的结构1. 齐次线性方程组三种表示(是矩阵)定理1 齐次线性方程组有非零解的充要条件是.定理2 齐次线性方程组 有非零解的充要条件是线性相关.关于齐次线性方程组的定理结论:(1) 齐次线性方程组只有零解的充要条件是.(2) 齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是.(3)

21、齐次线性方程组只有零解的充要条件是线性无关.(4) 当的方程个数小于未知量个数时,齐次线性方程组(1)有非零解.(5) 当时,有非零解的充要条件是. 齐次线性方程组解的性质性质1 若是齐次线性方程组 的解,则也是的解.性质2 若齐次线性方程组 的解,是一个数,则也是的解.性质3 齐次线性方程组的解的线性组合还是的解.定义1 基础解系定理3 如果齐次线性方程组有非零解,则的基础解系存在,且它的基础解系由个线性无关的解组成.如果是齐次线性方程组的一个基础解系,则表达式称为它的结构式通解.例1 求齐次线性方程组的基础解系和结构式通解.例2 已知是齐次线性方程组的一个基础解系,证明, ,也是的基础解系

22、.例3 设是阶方阵,.(1) 若的每行元素之和等于零,求的通解；(2) 若,求的通解；例4 设有齐次线性方程组 【2004数1】其中.试问为何值时,该方程组有非零解,并求其通解.例5 设是矩阵,是矩阵,证明. 【基础解系】例6 设为三阶矩阵,且矩阵的每个列向量为方程组的解,求.例7 设,且存在三阶非零矩阵,使得,求.例8 设,非零向量为方程组的解,求及的通解.例9 设是矩阵且,且皆为的解.(1) 求常数；(2) 求方程组的通解.例10 已知的基础解系含有两个线性无关的解向量,求的通解,其中.2. 非齐次线性方程组三种表示(设是矩阵)定理4 线性方程组 有解的充要条件是.定理5 线性方程组有解的

23、充要条件是可由线性表示.关于线性方程组还有如下结论(1) 线性方程组有唯一解的充要条件是.(2) 线性方程组有无穷多解的充要条件是.(3) 线性方程组无解的充要条件是.(4) 线性方程组有唯一解的充要条件是可由线性表示,且线性无关.(5) 线性方程组有无穷多解的充要条件是可由线性表示,且线性相关.(6) 线性方程组无解的充要条件是不能由线性表示. 在非齐次线性方程组中,把常数项全部换成零,得到齐次线性方程组,此时称为的导出(齐次线性方程)组.线性方程组解的性质性质4 若是线性方程组的解,则是导出组的解.性质5 若线性方程组是的解,而是导出组的解,则是的解.性质6 若是非齐次线性方程组的解,则

24、是的解的充要条件是.定理5 若非齐次线性方程组的一个解,而是的导出组的一个基础解系,则的通解可表示为的形式.上式称为的结构式通解.例11 设是阶矩阵,下列命题正确的是 .a. 若,则方程组一定有无穷多个解；b. 若,则方程组一定有唯一解；c. 若,则方程组一定有唯一解；d. 若,则方程组一定有唯一解.例12 参数为何值时,线性方程组无解?有唯一解?有无穷多解?并在有无穷多解时,求出通解.例13 参数取何值时,线性方程组无解?有唯一解?有无穷多解?并在有无穷多解时,求出解.例14 已知方程组无解,求参数.例15 设为的三个解,求其通解.例16 设(i)而为四元非齐次线性方程组的四个解,其中.(1

25、) 求方程组(i)的基础解系；(2) 求方程组(ii)的基础解系；(3) (i)与(ii)是否有公共的非零解? 若有公共解求出其公共解.例17 设是4阶方阵列向量,其中线性无关,.如果,求线性方程组的通解.例18 设,问为何值时,矩阵方程有解? 有解时求出全部解.例19 求参数,使线性方程组与同解,并求通解.例20 设,则三直线相交于一点的充要条件是 . a. 线性相关； b. 线性无关； c. ； d. 线性相关,线性无关.例21 已知三平面,相交于一条直线,(1)求参数；(2)求直线方程.第五章 特征值与特征向量考试要求1 理解矩阵的特征值和特征向量的概念,会求矩阵的特征值和特征向量；2

26、理解相似矩阵的概念和性质,掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件；3 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质、掌握用相似变换化矩阵为对角阵的方法，会用正交相似变换化实对称矩阵为对角阵1 特征值与特征向量1 特征值与特征向量的概念定义1特征值与特征向量定义2 特征多项式定理1 设是阶方阵,是一个数,则是的特征值的充要条件是,即.2 特征值与特征向量的求法例1 求矩阵的特征值与特征向量. ,例2 已知是的一个特征向量,求及与相应的特征值.例3 设是3阶方阵,且,不可逆,求的特征值.例4 已知3阶矩阵的每行元素之和等于,试求的一个特征值和与这个特征值相应的一个特征向量.例5 已知矩阵满足,且,求的一个特

27、征值.例6 已知向量是方阵的属于特征值的特征向量,而,试计算.例7 已知是方程组的两个不同的解向量,则下列向量中必是的对应于特征值的特征向量是 .a. ； b. ； c. ； d. .例8 设为维非零列向量,.(1) 证明可逆,并求；(2) 证明为矩阵的特征向量.3. 特征值与特征向量的性质定理2 设是阶方阵,是的个特征值,重根按重数计算,则(1) ；(2) .定理3 矩阵的关于不同特征值的特征向量线性无关.定理4 设是线性变换的不同的特征值,而是的属于特征值的特征向量,则向量组,线性无关.定理5 矩阵的重特征值至多有个线性无关的特征向量.关于特征值特征向量还有如下结论要注意把握:(1) 如果

28、的特征值为,则的特征值为,其中是矩阵的一个多项式；特别有的特征值为, 的特征值为；(2) 如果的特征值为,则的特征值为；(3) 如果是的关于特征值的特征向量,则也是的关于特征值的特征向量；也是的关于特征值的特征向量.例9 设,求的特征值之和与特征值之积.例10 设是三阶矩阵,其三个特征值为,计算.例11 设为的逆矩阵的特征向量,求,并求对应的特征值.例12 设是3阶方阵,其特征值为,则的特征值为；的特征值为；的特征值为.例13 设是4阶方阵,已知有一个特征值是,而是的关于特征值的一个特征向量,求的伴随矩阵的一个特征值.例14 设三阶矩阵有三个不同的特征值,而是相应的三个特征向量,若线性无关,试

29、讨论应满足的关系.例15 设为三阶矩阵,方程组的基础解系为,又为的一个特征值,其对应的特征向量为,下列向量中是的特征向量的是 .a. ； b. ； c. ； d. .2 矩阵的相似对角化 1. 相似矩阵的概念定义1 相似矩阵例1 设,是两个阶方阵,且,证明(1) 与有相同的特征多项式；(2) 如果是幂等矩阵,那么也是幂等矩阵.例2 设,是两个阶方阵,且,而是的一个特征值,是的属于的一个特征向量,求的一个特征向量. 2. 相似矩阵的性质(1) 若,则；(2) 若,则；(3) 若,则与有相同的特征多项式；(4) 若,则与有相同的特征值；(5) 若,则；(6) 与数量矩阵相似的矩阵只能是本身.例3

30、设,计算(1)；(2)；(3)；(4).例4 设,其中,求.例5 设为三阶矩阵,是三维线性无关的列向量, 且,(1) 求矩阵的特征值与特征向量;(2) 求.例6 设,求.例7 已知3阶矩阵的各行元素之和均为5,且,求矩阵及,其中.3. 矩阵的相似对角化定义2 设是阶方阵,若可以相似于一个对角矩阵,就称可相似对角化.定理1 阶矩阵可以对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量.定理2 若阶方阵有个不同的特征值,则可相似对角化.定理3 设是阶方阵,则可对角化的充要条件是(1) 有个特征值,重根按重数计算；(2) 对每个特征值,有的重数,即关于特征值的线性无关的特征向量个数等于的重数.例8 设,问能否

31、对角化?若能,求出可逆阵,使得为对角矩阵.例9 设三阶矩阵的特征值为,其对应的特征向量为,令,求.例10 设有三个线性无关的特征向量,求.例11 设有三个线性无关的特征向量,求满足的条件.例12 设有三个线性无关的特征向量,且为的二重特征值,求可逆矩阵,使得为对角矩阵.例13 设是三阶矩阵,为三个三维线性无关的列向量,且满足,.(1) 求矩阵的特征值；(2) 判断矩阵可否对角化.例14 设为三阶矩阵,且,若为的三个不同的特征值,证明(1) ；(2) 存在可逆矩阵,使得同时为对角矩阵. 4. 实对称矩阵的对角化定理4 实对称矩阵的特征值全为实数.定理5 实对称矩阵的关于不同特征值的特征向量互相正

32、交.定理6 实对称矩阵可正交相似对角化,即对于任一阶实对称矩阵,存在正交矩阵,使得为对角矩阵.例15 已知,求正交矩阵,使得为对角矩阵.例16 设为三阶实对称矩阵,且为的不同特征值对应的特征向量,求.例17 设是三阶实对称矩阵,其特征值为,且是的属于的一个特征向量,求的属于的特征向量.例18 设为三阶实对称矩阵,是方程组的解,是方程组的解,求.例19 设是三阶实对称矩阵,设为的非零特征值对应的特征向量.(1)求的特征值；(2)求矩阵.例20 设,方程组有解但不唯一.(1) 求；(2) 求可逆矩阵,使得为对角矩阵；(3) 求正交矩阵,使得为对角矩阵.例21 设为三阶实对称矩阵,的每行元素之和为5

33、,有非零解且是的特征值,对应特征向量为.(1) 求的其他特征值与特征向量；(2) 求.例22 设是阶实对称矩阵的两个不同特征值,是的对应于特征值的一个单位特征向量.试求矩阵的两个特征值.例23 设是三阶实对称矩阵,若,求的相似对角形,并计算行列式的值.例24 设是主对角元全为零的三阶实对称阵,且满足.(1) 求矩阵.(2) 求正交矩阵,使为对角阵.例25 设三阶实对称矩阵的特征值分别为0,1,1,是的两个不同的特征向量,且 (1) 求参数的值；(2) 求方程组的通解；(3) 求矩阵；(4) 求正交矩阵,使得为对角矩阵.第六章 二次型考试要求1 掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合

34、同变换和合同矩阵的概念,理解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.2 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形、规范形.3 理解二次型(实对称矩阵)的正定性，掌握二次型(正定矩阵)的判别法.1 二次型及其标准形1. 二次型及矩阵表示定义1 元二次型 二次型的矩阵 二次型的秩例1 设二次型的秩为2,求.2. 矩阵的合同定义2 矩阵的合同.例2 试讨论矩阵的等价、相似与合同之间的关系.例3 设,则与 .a. 合同且相似 b. 相似但不合同 c. 合同但不相似 d. 既不合同也不相似例4 设是一个矩阵,交换的第列和第列后再交换第行和第行得到矩阵,则 .a. 等价但不相似 b. 相似但不合同c. 相似、合同但不等价 d. 等价、相似且合同3. 二次型的标准形定义3 非退化线性替换 正交线性