灰色系统理论讲

1、灰色系统分析方法灰色系统分析方法主要内容主要内容 1 1、有关概念、有关概念 2 2、灰色系统理论的应用范畴、灰色系统理论的应用范畴 3 3、灰色系统分析的一般步骤、灰色系统分析的一般步骤 4 4、如何利用灰色系统实现预测、如何利用灰色系统实现预测1 有关概念 系统：由客观世界中相同或相似的事物和因素按系统：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成一个整体一定的秩序相互关联、相互制约而构成一个整体. 白色系统：白色系统： 具有充足的信息量，其发展变化的规具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体律明显、定量描述方便、结构与参数具体. 黑色

2、系统：一个系统的内部特性全部是未知的黑色系统：一个系统的内部特性全部是未知的. 灰色系统灰色系统: 介于白色系统和黑色系统之间的介于白色系统和黑色系统之间的.即系即系统内部信息和特性是部分已知的，另一部分是未统内部信息和特性是部分已知的，另一部分是未知的知的. 客观世界中很多实际问题，其内部的结构、参客观世界中很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。 灰色系统理论就是研究

3、在信息大量缺乏或紊乱灰色系统理论就是研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 该理论以该理论以“部分信息已知，部分信息未知部分信息已知，部分信息未知”的小样本、信息不确定性系统为研究对象，的小样本、信息不确定性系统为研究对象，主要通过对主要通过对“部分部分”已知信息的生成、开发，已知信息的生成、开发，提取出有价值的信息，从而实现对系统运行提取出有价值的信息，从而实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。行为、演化规律的正确描述和有效监控。 目前，灰色系统理论应用范围已拓展到工业、目前，灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业

4、、社会、经济、能源、地质、石油等众农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 灰数：信息不完全的数。 例如：身高180公分左右，体重75公斤左右，都为灰数，分别记为 与 . 他的体温为39到40摄氏度之间，那么记为(180)(75)()(39, 40)t灰数的白化 如果如果 为灰数为灰数 的白化默认（即对形象、的白化默认（即对形象、形态、实体、数字的默认）数，简称为白化形态、实体、数字的默认）数，简称为白化数，则灰数数，则灰数 是白化数是白化数

5、的全体的全体. 离散、连续。离散、连续。灰色关联分析 分为单因子与多因子两种情况。 单因子多因子的情况)(maxmaxmax)()(maxmaxmax)(minminmin)(),(kkkkkxkxrikjiiikjiikjiji 累加生成数列累加生成数列累减生成列均值生成数列均值生成数列 定义定义 bkazkx)()()1()0( （5） gm(1,n)的定义的定义2 灰色系统理论的应用范畴？ 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1 1）灰色关联分析；）灰色关联分析； （2 2）灰色预测：人口预测；灾变预测）灰色预测：人口预测；灾变预测.等等等；等

6、； （3 3）灰色决策；）灰色决策； （4 4）灰色预测控制。）灰色预测控制。3 3、建立灰色系统、建立灰色系统 gm(1,1)gm(1,1)模型的步骤模型的步骤1、数据的检验与处理、数据的检验与处理 2、建立模型建立模型gm(1,1)1、灰色预测方法例题 设有原始数据序列x0=(x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5)=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)试用gm(1,1)模型对x0进行模拟 第一步第一步：对x0作 1-ago，得 x1=(x1(1), x1(2), x1(3), x1(4), x1(5)=(2.874,6.152, 9.4

7、89, 12.897, 16.558) 第二步：第二步：对x1作紧邻均值生成。令 得z1=(z1(2), z1(3), z1(4), z1(5)=(4.513, 7.820, 11.184, 14.718) 可得b,y1111( )( ( )(1)1,2,52z kx kx kk 第3步：对参数列 进行最小二乘估计，得 =-0.0372 3.06536 第4步：确定模型为 时间响应式为 第5步：求x1的模拟值1 , ()tttaabb b b y1 , ()tttaa bb bb y110 .0 3 7 23 .0 6 5 3 6d xxd t111111( (1), (2), (3), (4

8、), (5) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)xxxxxx(1)0.037210( )(1)85.27615182.402151a kkbbx kxeeaa 第6步：还原出 的模拟值，由 得 对比原数据0x011( )( )(1)xkx kx k000000(1),(2),(3),(4),(5)(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)xxxxxxx0=(x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5)=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)3、检验预测值、检验预测值4 4 如何

9、利用灰色系统实现预测？如何利用灰色系统实现预测？ 灰色预测是指利用灰色预测是指利用 gm 模型对系统行为特征的发展变模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将作实质上是将“随机过程随机过程”当作当作“灰色过程灰色过程”，“随随机变量机变量”当作当作“灰变量灰变量”，并主要以灰色系统理论中，并主要以灰色系统理论中的的gm(1,1

10、)模型来进行处理。模型来进行处理。 灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。灰色灾害预测应用 灰色灾害预测实质上是异常值预测，什么样的值算作异常值，往往是人们凭经验主观确定。灰色灾害预测的任务是给出下一个或几个异常值出现的时刻，以便人们提前准备，采取对策。 定义：设原始序列x=(x(1),x(2),x(n)，给定上限异常值（灾变值）a,称x的子序列 xa(x(q(1

11、), x(q(2), x(q(m)=x(q(i)=a, i=1,2,m为上灾变序列。同理，可定义下灾变序列。二者统一称为灾变序列。 定义：设x为原始序列，称 q0=(q(1),q(2),q(m)为灾变日期序列。 灾变预测就是要通过对灾变日期序列的研究，寻找其规律性，预测以后若干次灾变发生的日期，灰色系统的灾变预测是通过对灾变日期序列建立gm(1,1)模型实现的。 例 某地区最近17年来的年度平均降雨量数据（单位：mm）序列为 x=(390.6, 412.0, 320.0, 559.2, 380.8, 542.4, 553.0, 310.0, 561.0, 300.0, 632.0, 540.0

12、, 406.2, 313.8,576.0, 586.6, 318.5) 如果将年平均降雨量低于320mm时认为旱灾发生，试根据上述数据预测下一次旱灾发生在几年后？ 解：取灾变值为a=320,得下限灾变序列为xa=(x(3), x(8), x(10), x(14), x(17) =(320.0,310.0, 300.0, 313.8, 318.5)与之对应的灾变日期序列为q0=(q(1),q(2),q(3),q(4),q(5)=(3,8,10,14,17)其1-ago序列为q1=(3,11,21,35,52)的紧邻均值生成序列为z1=(7,16,28,43.5) 设q(k)+az1(k)=b,易

13、知b,y,由最小二乘法得a,b=-0.253661 6.258339 故灾变日期序列的gm(1,1)序号响应式为 即0.25361111 (1)27.66724.667(1)(1)( )kq keq kq kq k0.25361 (1) 6.1998kq ke 由此可得q0的模拟序列为 由 得残差序列为0( (1), (2), (3), (4), (5)(6.1998.7.989,10.296,13.268,17.098)qqqqqq( )( )( ),1,2,3,4,5kq kq kk0( (1), (2), (3), (4), (5)( 3.1998,0.011, 0.296,0.732,

14、 0.098) 再由相对误差序列 由此可计算出平均相对误差为 000025,25(0.1%,2.96%,5.1%,0.6%)xx4112.19%4kk 平均相对精度为1- =97.81%，故可用 进行预测， 即从最近一次旱灾发生的日期算起，5年以后，可能发生旱灾。 为了提高预测的可靠程度，可以取若干个不同的异常值，建立多个模型进行预测。0.25361 (1)6.1998kq ke(5 1)(6)22, (6)(5)22 175qqqq计算的 matlab 程序如下：clc,cleara=390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,54

15、0,406.2,313.8,576,587.6,318.5;t0=find(a=320);t1=cumsum(t0);n=length(t1);b=-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end),ones(n-1,1);y=t0(2:end);r=byy=dsolve(dy+a*y=b,y(0)=y0);y=subs(y,a,b,y0,r(1),r(2),t1(1);yuce1=subs(y,t,0:n+1)digits(6),y=vpa(y) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=diff(yuce1);yuce=t0(1),yuce例 北方某城市1986199

16、2 年道路交通噪声平均声级数据见表6表6 市近年来交通噪声数据db(a)经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。计算的计算的 matlab 程序如下：程序如下：clc,clearx0=71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6;n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1=cumsum(x0)for i=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1);endb=-z(2:n),ones(n-1,1);y=x0(2:n);u=byx=dsolve(dx+a*x=b,x(0)=x0);x=s