计算机图形学第九章

1、甘朝华第九章 三维对象的表示9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质9.2 9.2 三维图形对象的表示方法三维图形对象的表示方法9.3 9.3 规则欧氏几何对象表示规则欧氏几何对象表示9.4 9.4 非规则对象表示非规则对象表示9.5 9.5 科学计算可视化科学计算可视化 随着计算机图形技术的飞速发展，随着计算机图形技术的飞速发展，人们对用计算机进行图形处理提出了人们对用计算机进行图形处理提出了更高的要求。更高的要求。 根据构造图形对象的方式不同可根据构造图形对象的方式不同可将图形对象的表示方法分为两类：规将图形对象的表示方法分为两类：规则对象和非规则对象。则对象和非规则对象。

2、 规则对象又称欧氏几何对象是指能够规则对象又称欧氏几何对象是指能够用欧氏几何方式加以描述的图形对象，如用欧氏几何方式加以描述的图形对象，如点、直线、曲线、平面或实体等。点、直线、曲线、平面或实体等。 以自然景物为主要描述对象的另一类以自然景物为主要描述对象的另一类图形对象的表示称为非规则对象又称过程图形对象的表示称为非规则对象又称过程性描述对象，其造型大多采用过程式模拟，性描述对象，其造型大多采用过程式模拟，即用一个简单的模型以及少量的易于调节即用一个简单的模型以及少量的易于调节的参数来表示一大类对象，不断改变参数，的参数来表示一大类对象，不断改变参数，递归调用这一模型就能逐步产生数据量很递归

3、调用这一模型就能逐步产生数据量很大的对象。大的对象。9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质 图形对象在计算机中的表示受到表图形对象在计算机中的表示受到表示图形的数据结构和图形的正则性等性示图形的数据结构和图形的正则性等性质的限制。这些图形对象的定义及相关质的限制。这些图形对象的定义及相关属性主要是针对规则图形对象。属性主要是针对规则图形对象。9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质 在三维欧氏空间在三维欧氏空间r r3 3中，图形对象可中，图形对象可定义为由封闭表面围成的有效空间，即定义为由封闭表面围成的有效空间，即r r3 3中非空有界的封闭子集，其边界是有

4、限中非空有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。面的并集。 图形对象按其所形成的图形是否符图形对象按其所形成的图形是否符合传统造型需要而分为正则图形对象和合传统造型需要而分为正则图形对象和非正则图形对象。非正则图形对象。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质 正则图形对象是由图形对象正则图形对象是由图形对象q q内部的内部的点集点集iqiq和围绕这些点的表面和围绕这些点的表面bqbq组成，即组成，即q=iqbqq=iqbq，cqcq为为q q外部的空间部分。外部的空间部分。q q的边界必须满足以下性质：的边界必须满足以下性质：

5、（1 1）bqbq将将iqiq和和cqcq隔离成两个不连通的空间；隔离成两个不连通的空间；（2 2）除去）除去bqbq上的任一点，上的任一点，iqiq和和cqcq将成为连通将成为连通的空间；的空间；（3 3）对于任一点）对于任一点pbqpbq，若在，若在p p处有切平面存处有切平面存在，则其法矢量在，则其法矢量npnp是指向是指向cqcq的子空间。的子空间。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质 正则图形对象是由图形对象正则图形对象是由图形对象q q内部的内部的点集点集iqiq和围绕这些点的表面和围绕这些点的表面bqbq组成

6、，即组成，即q=iqbqq=iqbq，cqcq为为q q外部的空间部分。外部的空间部分。q q的边界必须满足以下性质：的边界必须满足以下性质：（1 1）bqbq将将iqiq和和cqcq隔离成两个不连通的空间；隔离成两个不连通的空间；（2 2）除去）除去bqbq上的任一点，上的任一点，iqiq和和cqcq将成为连通将成为连通的空间；的空间；（3 3）对于任一点）对于任一点pbqpbq，若在，若在p p处有切平面存处有切平面存在，则其法矢量在，则其法矢量npnp是指向是指向cqcq的子空间。的子空间。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的

7、定义及性质 正则图形对象是有效实体，确保了正则图形对象是有效实体，确保了几何造型的可靠性和可加工性。几何造型的可靠性和可加工性。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质 不满足正则图形对象要求的图形对不满足正则图形对象要求的图形对象称为非正则图形对象（也称非拓扑流象称为非正则图形对象（也称非拓扑流体）。体）。 在非正则图形对象中可以处理维数在非正则图形对象中可以处理维数不一致的拓扑元素，从而将线框、曲面不一致的拓扑元素，从而将线框、曲面和实体模型统一起来，扩大了几何造型和实体模型统一起来，扩大了几何造型的覆盖域。它允许孤立点、

8、悬边和悬面的覆盖域。它允许孤立点、悬边和悬面的存在，而这些在正则图形对象中是不的存在，而这些在正则图形对象中是不允许的。允许的。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质 在三维欧氏空间在三维欧氏空间r r3 3中对基本图形元中对基本图形元素的定义如下：素的定义如下：1. 1. 顶点顶点: :顶点（顶点（vertexvertex）是）是0 0维拓扑元素，其维拓扑元素，其位置用（几何）点（位置用（几何）点（pointpoint）来表示。）来表示。2. 2. 边边 边（边（edgeedge）是）是1 1维拓扑元素，是两个维拓扑元素，

9、是两个邻面邻面( (对正则形体而言对正则形体而言) )、或多个邻面、或多个邻面( (对对非正则形体而言非正则形体而言) )的交集，边有方向，它的交集，边有方向，它由起始顶点和终止顶点来界定。由起始顶点和终止顶点来界定。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质3. 3. 环环 环（环（looploop）是有序、有向边（直线）是有序、有向边（直线段或曲线段）组成的封闭边界。段或曲线段）组成的封闭边界。4. 4. 面面面（面（faceface）是）是2 2维拓扑元素，由一个维拓扑元素，由一个外环和若干个内环（可以没有内环）来外环和若

10、干个内环（可以没有内环）来表示，内环完全在外环之内。面有方向表示，内环完全在外环之内。面有方向性，一般用其外法向量方向作为该面的性，一般用其外法向量方向作为该面的正向。正向。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质5. 5. 体体体（体（bodybody）是）是3 3维拓扑元素，由封闭维拓扑元素，由封闭表面围成的有效空间，也是表面围成的有效空间，也是r3r3中非空有中非空有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。界的封闭子集，其边界是有限面的并集。9.1.1 9.1.1 图形对象的定义图形对象的定义9.1 9.1 图形对象的定义及

11、性质图形对象的定义及性质在几何造型中，图形对象模型的建在几何造型中，图形对象模型的建立主要依靠描述图形的几何信息和拓扑立主要依靠描述图形的几何信息和拓扑信息进行。信息进行。几何信息一般指被描述形体在欧氏几何信息一般指被描述形体在欧氏空间中的位置、大小和方向，这些信息空间中的位置、大小和方向，这些信息的量化需要依赖于一定的坐标系。的量化需要依赖于一定的坐标系。拓扑信息则是形体各分量（如点、拓扑信息则是形体各分量（如点、线、面）的数目和相互间的连接关系。线、面）的数目和相互间的连接关系。9.1.2 9.1.2 几何信息与拓扑关系几何信息与拓扑关系9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及

12、性质在几何造型中，图形对象模型的建在几何造型中，图形对象模型的建立主要依靠描述图形的几何信息和拓扑立主要依靠描述图形的几何信息和拓扑信息进行。信息进行。几何信息一般指被描述形体在欧氏几何信息一般指被描述形体在欧氏空间中的位置、大小和方向，这些信息空间中的位置、大小和方向，这些信息的量化需要依赖于一定的坐标系。的量化需要依赖于一定的坐标系。拓扑信息则是形体各分量（如点、拓扑信息则是形体各分量（如点、线、面）的数目和相互间的连接关系。线、面）的数目和相互间的连接关系。9.1.2 9.1.2 几何信息与拓扑关系几何信息与拓扑关系9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质正则物体的性质正

13、则物体的性质: :（1 1）刚性）刚性（2 2）维数的一致性）维数的一致性（3 3）空间占有性）空间占有性（4 4）边界的确定性）边界的确定性（5 5）封闭性）封闭性9.1.3 9.1.3 正则物体的性质和欧拉公式正则物体的性质和欧拉公式9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质正则物体的欧拉公式正则物体的欧拉公式 在几何造型中，构成任意多面体基在几何造型中，构成任意多面体基本图元的顶点、边和面之间存在一定的本图元的顶点、边和面之间存在一定的约束关系，这是构造正则形体的必要条约束关系，这是构造正则形体的必要条件。件。 对于正则物体，构成该物体的基本对于正则物体，构成该物体的基本图

14、元面图元面(f)(f)、边、边(e)(e)、顶点、顶点(v)(v)的数目应满的数目应满足一定的拓扑关系，即满足公式足一定的拓扑关系，即满足公式v - e + f = 2v - e + f = 2。9.1.3 9.1.3 正则物体的性质和欧拉公式正则物体的性质和欧拉公式9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质正则物体的欧拉公式正则物体的欧拉公式 如把三维空间分割成如把三维空间分割成c c个多面体单元，个多面体单元，则其顶点、边、面和多面体的数量存在则其顶点、边、面和多面体的数量存在如下欧拉公式表示的关系如下欧拉公式表示的关系v-e+f-c=1v-e+f-c=19.1.3 9.1.

15、3 正则物体的性质和欧拉公式正则物体的性质和欧拉公式9.1 9.1 图形对象的定义及性质图形对象的定义及性质正则物体的欧拉公式正则物体的欧拉公式 对于带有孔洞的正则形体，相应的对于带有孔洞的正则形体，相应的欧拉公式为：欧拉公式为：v-e+f-h=2v-e+f-h=29.1.3 9.1.3 正则物体的性质和欧拉公式正则物体的性质和欧拉公式9.2 9.2 三维图形对象的表示方法三维图形对象的表示方法 如何在计算机中表示一个物体，其如何在计算机中表示一个物体，其实质就是在计算机中找到一种合适的数实质就是在计算机中找到一种合适的数据结构将物体的几何信息、拓扑关系有据结构将物体的几何信息、拓扑关系有效地

16、保存起来并能够在满足显示、分析效地保存起来并能够在满足显示、分析等要求的基础上对这些信息能够快速、等要求的基础上对这些信息能够快速、有效地处理。有效地处理。9.2 9.2 三维图形对象的表示方法三维图形对象的表示方法 在几何造型系统中，描述物体的三在几何造型系统中，描述物体的三维模型有三种，即线框模型、表面模型维模型有三种，即线框模型、表面模型和实体模型。和实体模型。9.3 9.3 规则欧氏几何对象表示规则欧氏几何对象表示 边界表示也称为边界表示也称为b-repb-rep表示，它是几表示，它是几何造型中最成熟、无二义的表示法。何造型中最成熟、无二义的表示法。 边界表示的一个重要特点是在该表边界

17、表示的一个重要特点是在该表示法中，描述形体的信息包括几何信息示法中，描述形体的信息包括几何信息（geometrygeometry）和拓扑关系（）和拓扑关系（topologytopology）两个方面。两个方面。9.3.1 9.3.1 边界表示法边界表示法9.3 9.3 规则欧氏几何对象表示规则欧氏几何对象表示 扫描表示（扫描表示（sweep representationsweep representation）是利用简单的运动规则沿着某种路径移是利用简单的运动规则沿着某种路径移动基本形体而产生复杂有效实体的过程。动基本形体而产生复杂有效实体的过程。放样放样9.3.2 9.3.2 扫描表示法扫描

18、表示法9.3 9.3 规则欧氏几何对象表示规则欧氏几何对象表示 构造实体几何表示是通过对体素定构造实体几何表示是通过对体素定义运算方式而得到新的形体的一种表示义运算方式而得到新的形体的一种表示方法，体素可以是立方体、圆柱、圆锥方法，体素可以是立方体、圆柱、圆锥等，也可以是半空间，其运算为几何变等，也可以是半空间，其运算为几何变换或正则集合运算并、交、差。换或正则集合运算并、交、差。 csgcsg的数据结构可以表示成一棵有序的数据结构可以表示成一棵有序的二叉树，其叶结点是各种体素、或是的二叉树，其叶结点是各种体素、或是形体变换参数。形体变换参数。9.3.3 9.3.3 构造实体几何法构造实体几何

19、法9.3 9.3 规则欧氏几何对象表示规则欧氏几何对象表示 八叉树（八叉树（octreesoctrees）又称分层树结构，）又称分层树结构，它是采用一定的判别标准对物体所占有它是采用一定的判别标准对物体所占有的立方体进行自适应划分，用具有层次的立方体进行自适应划分，用具有层次结构的八叉树来表示实体。结构的八叉树来表示实体。9.3.4 9.3.4 八叉树八叉树9.3 9.3 规则欧氏几何对象表示规则欧氏几何对象表示 二叉空间分割树（二叉空间分割树（binary space binary space partitioning treepartitioning tree，简称，简称bspbsp树）是

20、八树）是八叉树的替代表示方法。叉树的替代表示方法。 由于由于bspbsp树可将分割平面的位置和方树可将分割平面的位置和方向按适合于实体的空间属性来确定，因向按适合于实体的空间属性来确定，因此提供了一种更有效的分割方法。与八此提供了一种更有效的分割方法。与八叉树相比，可以减少树的高度，也就减叉树相比，可以减少树的高度，也就减少了对树的搜索时间。少了对树的搜索时间。 目前目前bspbsp树主要用于光线跟踪算法中树主要用于光线跟踪算法中进行空间分割和面消隐处理。进行空间分割和面消隐处理。9.3.5 bsp9.3.5 bsp树树9.4 9.4 非规则对象表示非规则对象表示9.4.1 9.4.1 分形几

21、何分形几何9.4 9.4 非规则对象表示非规则对象表示分形技术已被成功地运用于多种自分形技术已被成功地运用于多种自然现象的计算机模拟。然现象的计算机模拟。在图形学应用中，分形表示用于模在图形学应用中，分形表示用于模拟岩层、云、水、树及植物、羽毛、毛拟岩层、云、水、树及植物、羽毛、毛皮、各种纹理等。皮、各种纹理等。9.4.1 9.4.1 分形几何分形几何9.4 9.4 非规则对象表示非规则对象表示形状语法（形状语法（shape grammarshape grammar）是另一）是另一种利用过程方法来构造复杂形体的方法。种利用过程方法来构造复杂形体的方法。l l语法或嫁接（语法或嫁接（grafta

22、lsgraftals）利用产生）利用产生式规则来描述对象形状，其最典型的应式规则来描述对象形状，其最典型的应用就是用来显示植物。用就是用来显示植物。9.4.2 9.4.2 形状语法形状语法9.4 9.4 非规则对象表示非规则对象表示粒子系统（粒子系统（particle systemparticle system）是利）是利用一群粒子生成、变换和消失来模拟具用一群粒子生成、变换和消失来模拟具有某种物理特性的运动物体。有某种物理特性的运动物体。9.4.3 9.4.3 粒子系统粒子系统9.4 9.4 非规则对象表示非规则对象表示在粒子系统中生成一幅画面的过程在粒子系统中生成一幅画面的过程如下：如下：

23、（1 1）生成新的粒子，分别赋予不同的属）生成新的粒子，分别赋予不同的属性，并将它们引入到系统中；性，并将它们引入到系统中；（2 2）系统中的老粒子不断地被删去；）系统中的老粒子不断地被删去；（3 3）余下的粒子按适当的运动模型运动；）余下的粒子按适当的运动模型运动；（4 4）生成余下粒子的图像。）生成余下粒子的图像。9.4.3 9.4.3 粒子系统粒子系统9.4 9.4 非规则对象表示非规则对象表示使用基于物理的建模（使用基于物理的建模（physically physically based modelingbased modeling）方法可用来对刚性和）方法可用来对刚性和非刚性对象物体的运动进行模拟。非刚性对象物体的运动进行模拟。该类方法考虑了物体在真实世界中该