绝对值三角不等式及其应用

1、 绝对值三角不等式绝对值三角不等式关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢? ?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点a a到原点到原点o o的距离的距离. .|a|aaox|a|=,00,0,0a aaa a一、复习回顾一、复习回顾几何意义几何意义:绝对值的性质绝对值的性质:种关系。之间的关系。并表示这与；猜想、数探究：列举大量具体实babacba证明证明:1:10 .0 .当当ab00时时, , |,|()|(|)|22222222 ababababaabbaa bbabab2 20 0. . 当当ab0 0 0, , | |x x- -a a| | , , | |y y- -

2、b b| | , , 求求 | |2 2x x+ +3 3y y- -2 2a a- -3 3b b| | 5 5证证: :证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以所以 |2x+3y-2a-3b|5.|2x+3y-2a-3b|5.例例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工施工,这两个地点分别位于公路路牌的第这两个地点分别位于公路路牌的第10km和和第第20km处处.现要在公路沿线建两个施工队的共同现要在

3、公路沿线建两个施工队的共同临时生活区临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程要使两个施工队每天往返的路程之和最小之和最小,生活区应该建于何处生活区应该建于何处?分析分析:如果生活区建于公路路碑的第如果生活区建于公路路碑的第x km处处,两个两个施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为s(x) km.那么那么s(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题故实际问题转化为数学问题:当当x取何值时取何值时,函数函数s(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值取得最小值.解

4、解:设生活区应该建于公路路碑的第设生活区应该建于公路路碑的第x km处处,两个两个施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为s(x) km,则则:s(x)=2(|x-10|+|x-20|)s(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像我们先来考察它的图像:s(x)=2(|x-10|+|x-20|)=oxs10 20 30204060s(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0 x 10201020s(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| |(x-10)+(20-x)|=10当且仅当当且仅当(x-10)(

5、20-x) 0时时取等号取等号.又解不等式又解不等式: (x-10)(20-x) 0 得得: 10 x 20故当故当10 x 20时时, 函数函数s(x)=2(|x-10|+|x-20|)取取最小值最小值20.oxs10 20 30204060s(x)=2(|x-10|+|x-20|) 已知二次函数已知二次函数f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +b b( (a a，b br r）的）的 定义域为定义域为-1-1，1 1，且，且| |f f( (x x)|)|的最大值为的最大值为m m. . (1)(1)证明证明： |1+|1+b b|m m; ; (2) (2)当当 时，

6、试求出时，试求出f f（x x）的解析式）的解析式. . 由由| |f f( (x x)|)|在在-1-1，1 1上的最大值为上的最大值为m m 建立不等式建立不等式m m|f f（1 1）| |，m m|f f（0 0）| |，m m | |f f（-1-1）| |是解决问题的关键是解决问题的关键. .;21:)2(m证明21m（1 1）证明证明 m m|f f（-1-1）|=|1-|=|1-a a+ +b b| |，m m|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+ +b b| |，2 2m m|1-|1-a a+ +b b|+|1+|+|1+a a+ +b b| |（1-1-a a+

7、+b b）+ +（1+1+a a+ +b b）|=2|1+|=2|1+b b| |，m m|1+|1+b b|.|.（2 2）证明证明 依题意，依题意，m m|f f（-1-1）| |，m m|f f（0 0）| |，m m|f f（1 1）| |，又又f f（-1-1）=|1-=|1-a a+ +b b| |，| |f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+ +b b| |，| |f f（0 0）|=|=|b b| |，44m m|f f（-1-1）|+2|+2|f f（0 0）|+|+|f f（1 1）| |=|1-=|1-a a+ +b b|+2|+2|b b|+|1+|+|1+a a

8、+ +b b| |（1-1-a a+ +b b）-2-2b b+ +（1+1+a a+ +b b）|=2|=2，.21m（3 3）解解,21| )0(| ,21bfm时当.21)(, 01001,21,212123211212112121212xxfaaabbbbabab因此得分别代入时当得由得同理 证明含有绝对值的不等式，其思路有证明含有绝对值的不等式，其思路有两种：（两种：（1 1）恰当运用）恰当运用| |a a|-|-|b b|a ab b|a a|+|+|b b| |进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；（件；（2 2）把含有绝对值

9、的不等式等价转化为不含）把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明进行证明. . 例例4 4 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c，当，当| |x x|1|1时，总有时，总有 | |f f( (x x)|1,)|1,求证：求证：| |f f（2 2）|8.|8. 证明证明 方法一方法一 当当| |x x|1|1时时,|,|f f（x x）|1|1， |f f（0 0）|1|1，即，即| |c c|1.|1. 又又| |f f（1 1）|1|1，| |f f（-1-1）|1|

10、1， |a a+ +b b+ +c c|1|1，| |a a- -b b+ +c c|1.|1. 又又|a a+ +b b+ +c c|+|+|a a- -b b+ +c c|+2|+2|c c| | | |a a+ +b b+ +c c+ +a a- -b b+ +c c-2-2c c|=|2|=|2a a| |， 且且| |a a+ +b b+ +c c|+|+|a a- -b b+ +c c|+2|+2|c c|4|4， |a a|2.|2.|2|2b b|=|=|a a+ +b b+ +c c- -（a a- -b b+ +c c）| |a a+ +b b+ +c c|+|+|a a-

11、 -b b+ +c c|2|2，|b b|1|1，|f f（2 2）|=|4|=|4a a+2+2b b+ +c c|=|=|f f（1 1）+3+3a a+ +b b| |f f（1 1）|+3|+3|a a|+|+|b b|1+6+1=8|1+6+1=8，即即| |f f（2 2）|8.|8.方法二方法二 当当| |x x|1|1时，时，| |f f（x x）|1|1，|f f（0 0）|1|1，| f f（1 1）| 11，| |f f（-1-1）|1.|1.由由f f（1 1）= =a a+ +b b+ +c c，f f（-1-1）= =a a- -b b+ +c c，f f（0 0）= =c c知知f f（2 2）=|4=|4a a+2+2b b+ +c c| |=|2=|2f f(1)+2(1)+2f f(-1)-4(-1)-4f f(0)+(0)+f f(1)-(1)-f