八年级最短路径问题归纳小结

1、八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、

2、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点p，使pa+pb值最小连ab，与l交点即为p两点之间线段最短pa+pb最小值为ab【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点p，使pa+pb值最小作b关于l的对称点b连a b，与l交点即为p两点之间线段最短pa+pb最小值为a b【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点m、n，使pmn的周长最小分别作点p关于两直线的对称点p和p，连pp，与两直线交点即为m，n两点之间线段最短pm+mn+pn的最小值为线段pp的长【问题4】作

3、法图形原理在直线、上分别求点m、n，使四边形pqmn的周长最小分别作点q 、p关于直线、的对称点q和p连qp，与两直线交点即为m，n两点之间线段最短四边形pqmn周长的最小值为线段pp的长【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线，在、，上分别求点m、n，使mn，且am+mn+bn的值最小将点a向下平移mn的长度单位得a，连ab，交于点n，过n作nm于m两点之间线段最短am+mn+bn的最小值为ab+mn【问题6】作法图形原理在直线上求两点m、n（m在左），使，并使am+mn+nb的值最小将点a向右平移个长度单位得a，作a关于的对称点a， 连ab，交直线于点n，将n点向左平移个单位得m两点之间线段

4、最短am+mn+bn的最小值为ab+mn【问题7】作法图形原理在上求点a，在上求点b，使pa+ab值最小作点p关于的对称点p，作pb于b，交于a点到直线，垂线段最短pa+ab的最小值为线段pb的长【问题8】作法图形原理a为上一定点，b为上一定点，在上求点m，在上求点n，使am+mn+nb的值最小作点a关于的对称点a，作点b关于的对称点b，连ab交于m，交于n两点之间线段最短am+mn+nb的最小值为线段ab的长【问题9】作法图形原理在直线l上求一点p，使的值最小连ab，作ab的中垂线与直线l的交点即为p垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0【问题10】作法图形原理在直线l上求一点p，使的值最大

5、作直线ab，与直线l的交点即为p三角形任意两边之差小于第三边ab的最大值ab【问题11】作法图形原理在直线l上求一点p，使的值最大作b关于l的对称点b作直线a b，与l交点即为p三角形任意两边之差小于第三边ab最大值ab【问题12】“费马点”作法图形原理abc中每一内角都小于120，在abc内求一点p，使pa+pb+pc值最小所求点为“费马点”，即满足apbbpcapc120以ab、ac为边向外作等边abd、ace，连cd、be相交于p，点p即为所求两点之间线段最短pa+pb+pc最小值cd【精品练习】adepbc1如图所示，正方形abcd的面积为12，abe是等边三角形，点e在正方形abcd

6、内，在对角线ac上有一点p，使pd+pe的和最小，则这个最小值为（ ） a b c3 d2如图，在边长为2的菱形abcd中，abc60，若将acd绕点a旋转，当ac、ad分别与bc、cd交于点e、f，则cef的周长的最小值为（ ）a2bcd43四边形abcd中，bd90，c70，在bc、cd上分别找一点m、n，使amn的周长最小时，amn+anm的度数为（ ）a120 b130 c110 d1404如图，在锐角abc中，ab4，bac45，bac的平分线交bc于点d，m、n分别是ad和ab上的动点，则bm+mn的最小值是 5如图，rtabc中，c90，b30，ab6，点e在ab边上，点d在bc

7、边上（不与点b、c重合），且edae，则线段ae的取值范围是 6如图，aob30，点m、n分别在边oa、ob上，且om1，on3，点p、q分别在边ob、oa上，则mppqqn的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即rtabc中，c90，则有）7如图，三角形abc中，oabaob15，点b在x轴的正半轴，坐标为b(，0)oc平分aob，点m在oc的延长线上，点n为边oa上的点，则mamn的最小值是_8已知a（2，4）、b（4，2）c在轴上，d在轴上，则四边形abcd的周长最小值为 ，此时 c、d两点的坐标分别为 9已知a（1，1）、b（4，2）（1）p为轴上一动点，求pa+pb的最小值和此时p点的坐标；（2）p为轴上一动点，求的值最大时p点的坐标；（3）cd为轴上一条动线段，d在c点右边且cd1，求当ac+cd+db的最小值和此时c点的坐标；10点c为aob内一点（1）在oa求作点d，ob上求作点e，使cde的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若aob30，oc10，求cde周长的最小值和此时dce的度数11（1）如图，abd和ace均为等边三角形，be、ce交于f，连af，求证：af+bf+cfcd；（2）在abc中，abc30，ab6，bc8，a，c