阶线性微分方程

1、)()(xqyxpdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xq当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xq当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,ln)(lncdxxpy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.

2、线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xqyxpdxdy 讨论讨论,)()(dxxpyxqydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxpdxyxqy),()(xvdxyxq为为设设 ,)()(ln dxxpxvy.)()( dxxpxveey即即非齐方程通解形式非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:)(xuc 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数设通解形式设通解形式 dxxpexuy)()(,)(

3、)()()()( dxxpdxxpexpxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(cdxexqxudxxp ),()()(xqexudxxp 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxpdxxpecdxexqy)()()(dxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxp ,sin)(xxxq cdxexxeydxxdxx11sin cdxexxexxlnlnsin cxdxxsin1 .cos1cxx 解

4、解例例1 1例例2. 解方程 .) 1(1225xxyxdyd解解: 先解,012xyxdyd即12xxdyyd积分得,ln1ln2lncxy即2) 1( xcy用常数变易法常数变易法求解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得:cxu23) 1(32故原方程通解为cxxy232) 1(32) 1(例例3. 解方程.) 1(1225xxyxdyd)(代公式代公式另解另解 dxxpdxxpecdxexqy)()()(dxxdxxecdxex1212251)()ln()ln()(1212251xxecdxex22111)()(xcdxx

5、cxx2321321)()(yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx cdyeyexyycoslncoslnsin2 cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosycy 求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 4例例cxdexqeyxdxpxdxp)()()(例例5. 求方程023ydyxyyxxd的通解 .解解: 注意,2xdxxd用ydy这是以 为因变量 , y 为自变量的一阶线性方程xyyxydxd22yyp21)(yyq1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得ex yyd2

6、 1yeyyd2ydclnyy1ycy ln乘方程两边 , 得y1 clnyd即所求通解为eyyx.c例例6 6 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段pq之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxpq3xy )(xfy dxexceydxdx23, 6632 xxcex, 0|0 xy由由, 6 c得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx

7、 23xyy 伯努利伯努利(bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxqyxpdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xqyxpdxdyynn ),()1()()1(xqnzxpndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()

8、()1()()1(1 cdxenxqezydxxpndxxpnn例例1. 求方程2)ln(yxaxyxdyd的通解 . 解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxdzdln其通解为ez 将 代入 , 得原方程通解:1 yz1)ln(22xacxyxdx1exa)ln(xdx1cxd 2)ln(2xacx.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 cxxz解解得得.224 cxxy即即解解，得得两两端端除除以以21y例例 2例例3 3 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxe

9、xyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222cxeyx ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2cxxyxy ;.yxdxdy13解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln

10、(cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(cyxy 11 yecxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为思考与练习思考与练习判别下列方程类型xdydyxyxdydx) 1 ()ln(ln)2(xyyxdydx02)()3(3ydxxdxy0)(2)4(3ydxyxdyydxxdyxy )2ln()5(提示提示:xxdydyy1可分离变可分离变量方程量方程xyxyxdydln齐次方程齐次方程2212xyxxdyd线性线性方程方程2212yxyydxd线性线性方程方程2sin2yxxyxxdyd伯努利伯努利方程方程三、小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程

11、线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxpexuy令令;1zyn 令令p281 1(1)(3) (6) (7) (10) ; 2 (2)(4)(5) ,3,4, 6 , 7 (2)(3) (5)，9(2)(3)。 作业12-4一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、

12、. 0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题三三、设设有有一一质质的的量量为为 m质质点点作作直直线线运运动动从从速速度度等等于于零零的的时时刻刻起起,有有一一个个与与运运动动方方向向一一致致,大大小小与与时时间间成成正正比比(比比例例1k系系数数为为)的的力力作作用用于于它它,此此外外还还受受一一与与速速度度成成正正比比(比比例例2k系系数数为为)的的阻阻力力作作用用,求求质质点点运运动动的的速速度度与与时时间间的的函函数数关关系系 .四四、 求求下下列列伯伯努努利利方方程程的的通通解解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.五、五、 用适当的变量

13、代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、xecxysin)( ； 2 2、cyyx 2lnln2； 3 3、2321y