阶线性微分方程解得结构

1、二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:

2、0dd2dd222xktxntx阻力txrdd(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t phfsin，令mhh 则得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222求讨论上抛高度h与时间t的关系。例例2. 空气的阻力与物体运动的速度成正比（比例系数为k）。解解: 如右图建立坐标轴（h轴），正向朝上。设物体在时刻 t的高度为 h(t) 。在时刻t受到两个由牛顿第二定律知，mamgkv 力的作用，其一为重力-mg，其二为空气阻力-kv。由导数的物理意义知：0v以初速度 垂直上抛一质量为m的物体，如果ho,dhvdt22.d hadt从而得到h(t)满足的方程：22d

3、 hdhmmgkdtdt n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 (二阶线性微分方程)( )( )( )yp x yq x yf x 可归结为同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程)()(xqyxpy通解:xxqxxpxxpde)(ed)(d)(xxpcyd)(e非齐次方程特解齐次方程通解yy0)(xf )(11ycxp )(11ycxq0证毕二、二阶线性齐次方程解的结构二、二阶线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxqy

4、xpy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xycxycy将代入方程左边, 得 11 yc22yc 22yc22yc)()(1111yxqyxpyc )()(2222yxqyxpyc (叠加原理) )()(2211xycxycy则),(21为任意常数cc定理定理1.说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyccxycxyc并不是通解但是)()(2211xycxycy则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义定义:)(,),(),(21xyxyxy

5、n设是定义在区间 i 上的 n 个函数,21nkkk使得ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数在 i 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 i 上都线性相关;又如，,12xx若在某区间 i 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 i 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数两个函数在区间 i 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0

6、的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, )()(2211xycxycy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xcxcysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是

7、n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knncycycyxytan21y为任意常21,(cc则三、二阶线性非齐次方程解的结构三、二阶线性非齐次方程解的结构 的两个特解, 则定理定理 3.)()()(xfyxqyxpy 是相应的齐次方程1( )y x设 是二阶非齐次方程2,( )yx12( )( )y xyx( )( )0yp x yq x y的一个特解。)(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxyyy (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 4.)()()(xfyxqyxpy 则是非齐

8、次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxyy代入方程左端, 得)*( yy)*( )(yyxp)*)(*)(*(yxqyxpy )()(yxqyxpy )(0)(xfxf)*( )(yyxq)(*)(xyxyy故是非齐次方程的解, 又y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xcxcysincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxcxcysincos21证毕因而 也是通解 .定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxycxycxycynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()

9、()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxy)(* xy是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy 的解, 21,cc是任意;)(32211yycyca;)()(3212211yccycycb;)1()(3212211yccycycc.)1()(3212211yccycycdd例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyycyycc3322311)()()(yyycyycd例例4. 已知微分方程( )( )( )yp x yq x yf x个解,e,e,2321xxyyxy求