画法几何制图换面法1

1、三峡大学三峡大学1hvab a b abh换面法换面法一、问题的提出一、问题的提出( (实物实物) )如何求一般位置直线的实长？变成投影面平行线如何求一般位置直线的实长？变成投影面平行线解决方法：更换投影面解决方法：更换投影面v为为v1/ab。v1a1b1反映实长反映实长 a b abxvh三峡大学三峡大学2换换 面面 法：法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的特使物体相对新的投影面处于解题所需要的特殊位置殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。，然

2、后将物体向新投影面进行投射。三峡大学三峡大学3vhxababab 新轴新轴旧轴旧轴a1b1 新投影新投影旧投影旧投影被保留被保留的投影的投影x1v1换面法中的主要名称：换面法中的主要名称：三峡大学三峡大学4hvab a b abh二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1. 1. 新投影面必须使新投影面必须使空间物体空间物体处于处于最有利的特殊最有利的特殊位置。位置。2. 2. 为了能用正投影原理，新投影面必须为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的投影面一保留的投影面( (如图如图v v1 1h)h)，以构成一个相，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。互垂直的两投影面的

3、新体系。平行于新的投影面平行于新的投影面垂直于新的投影面垂直于新的投影面v1a1b1三峡大学三峡大学5vha a a axx 一次换面一次换面旧投影体系旧投影体系: :x vh 新投影体系新投影体系: :v1hx1 a a点的投影：点的投影：a a (v)(v), , a a(h)(h)，a a 1 1(v(v1 1)-)-标注规定标注规定. . 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律x1v1a1ax1 三峡大学三峡大学6 v vh hx a a a 1vha a axxx1v1a 1ax1 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系（黑板）（黑板） 1. a a

4、1 1a a x x1 1 2. a a 1 1a ax1x1= a= a a ax x2. 2. 点的新投影到新投影轴的距离点的新投影到新投影轴的距离等于等于旧投影旧投影 到旧投影轴的距离。到旧投影轴的距离。axa 点的换面规律点的换面规律（一个垂直，一个相等）（一个垂直，一个相等）1. 1. 点的新投影与保留投影的连线，必点的新投影与保留投影的连线，必垂直垂直 于新投影轴。于新投影轴。ax1v v1 1h hx1三峡大学三峡大学7 xv vh haa ax更换更换h h面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 首先确定好新投影轴，由点的保留投影首先确定好新投影轴，由点的保留投影向新投影轴

5、作垂线，并使垂线上的距离等于向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。旧投影到旧投影轴的距离。x1h h1 1v v a1ax1作图规律：作图规律：.三峡大学三峡大学8 两次换面两次换面1.1.先把先把v v面换成面换成v v1 1面，面， v v1 1 h h，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:v1hx1 2.2.再把再把h h面换成面换成h h2 2面，面， h h2 2 v v1 1，得到新投影体系，得到新投影体系: : x2 v1 h2 新投影体系的建立新投影体系的建立aav vh h a axxx1v v1 1a a1 1a ax1x1h h2 2x2a a

6、 x2a a2 2 h h面没动，空间点面没动，空间点a a到到h h面的距离没变。面的距离没变。v v1 1面没动，空间点面没动，空间点a a到到v v1 1面的距离没变。面的距离没变。在在 投影体系投影体系中：中：h h是旧投影面，是旧投影面，h h2 2是是新投影面新投影面， v v1 1是是保留投影面保留投影面；x x1 1是旧轴，是旧轴， x x2 2是是新轴新轴。 x2 v1h2三峡大学三峡大学9ax2 a axvh 求新投影的作图方法求新投影的作图方法a2x x1 1h hv v1 1x x2 2v v1 1h h2 2 作图规律作图规律 a a 1 1a a2 2 x x2 2

7、 轴轴 a a2 2a ax2x2 = aa= aax1x1a 1 axax1 .作图规律作图规律 aaaa 1 1 x x1 1轴轴 a a 1 1a ax1 x1 = aa= aax x第二次新投影关第二次新投影关键：隔面量距键：隔面量距三峡大学三峡大学10v vh hab a b abx四、换面法的六个基本作图问题四、换面法的六个基本作图问题1. 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用v v1 1面代替面代替v v面，在面，在v v1 1/h/h投影体系中，投影体系中，v v1 1 / abab 。x1hv1空间分析：空间分析：作图：作图：例：求直线例

8、：求直线abab的实长及与的实长及与h h面的夹角。面的夹角。 b a baxvh新投影轴的位置？新投影轴的位置？b 1a 1与与abab平行平行 .v v1 1x1求求，h h面不动；求面不动；求，v v面不动。面不动。a1b1三峡大学三峡大学112. 2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线将投影面的平行线变换为投影面的垂直线问题的关键：问题的关键：新轴要垂直新轴要垂直于反映实长的那个投影。于反映实长的那个投影。x1v vh hxababa ab bh h1 1x1h h1 1v va a1 1( (b b1 1) )xv vh habab a1 (b1)三峡大学三峡大学12a 1b 1

9、v vh h a axb b ba3. 3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abxv vh hx1h h1 1v v1v v1 1h h2 2x2作图：作图：x1v v1 1x2h h2 2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。x x2 2轴的位置？轴的位置？a2(b2)ax2a2(b2) .与与a a 1 1b b 1 1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；a 1b 1/三峡大学三峡大学13 a b c acbxvh例：把例：把abcabc变变换换成投影

10、面垂直面。成投影面垂直面。hv1x1空间分析：空间分析： (实物实物)如果把平面内如果把平面内的一条直线变换成新投影面的的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。新投影面的垂直面。d d作图过程：作图过程：在平面内取一条在平面内取一条水平线水平线adad，将，将adad变换成新投变换成新投影面的垂直线。影面的垂直线。b 1a 1d 1c 1 反映平面对哪个投反映平面对哪个投影面的夹角？影面的夹角？.4. 4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面（可求解平面与投影面的倾角可求解平面与投影面的倾角）求求，h h面不

11、动；求面不动；求，v v面不动。面不动。三峡大学三峡大学14 a b c abcvhabcx v1x1c 1b 1a 1三峡大学三峡大学15 5 . 5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面将投影面的垂直面变成投影面的平行面一次换面后可一次换面后可求解平面实形求解平面实形 问题的关键：问题的关键： 新投影轴必须新投影轴必须平行于该平面平行于该平面的积聚性投影。的积聚性投影。vbachv1abcbax1ca1c1b1x实形实形三峡大学三峡大学16a1b1x2v1h26. 6. 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面ab a c b xvhc作作 图：图：abab是水平

12、线是水平线空间分析：空间分析：a2c2b2c1x x2 2轴的位置轴的位置？平面的实形平面的实形.x1hv1.与其平行与其平行一般平面一般平面 垂直面垂直面 平行面平行面 三峡大学三峡大学17换面法的六个基本作图问题：换面法的六个基本作图问题： 3. 3. 把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面两次换面1. 1. 把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线一次换面一次换面4. 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面一次换面6. 6. 把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面两次换面两次换面需

13、先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线5. 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面一次换面2. 2. 把投影面平行线变成投影面垂直线把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面一次换面三峡大学三峡大学18abcmncnbamkk(f)(f)直线与平面相交直线与平面相交三峡大学三峡大学19解题思路解题思路1.首先进行首先进行空间分析空间分析，解题方法有直观法、逆推法和轨，解题方法有直观法、逆推法和轨迹法。迹法。逆推法：逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联内在联系系，再顺着做题。，再

14、顺着做题。轨迹法：轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是答案。答案。2.思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。三峡大学三峡大学20 5.用换面法在直线ab上取一点c,使ac=25。a1 b1c125v1hx11.1.用换面法在直线用换面法在直线abab上取一点上取一点c c，使，使ac=25ac=25。 cc三峡大学三峡大学21 a b c acbxvhhv1x1d d. c 1d 12.2.求求abcabc与与efef的交点，并判别可见性的交点，并判别可见性. .e f eff 1用重影点判别可用重影点判

15、别可见性见性e 1分析：把分析：把abcabc换换成投影面垂直面成投影面垂直面k 1kk1 a 1d 1三峡大学三峡大学22例例3 3：求两平行直线的距离：求两平行直线的距离. .b a cd c dvhhv1x1作图：作图：.c1d1ba1b1a分析分析：把：把abab、cdcd换成换成投影面垂直线，两点投影面垂直线，两点的距离即为所求。的距离即为所求。（逆推法）（逆推法）v1aca1(b1)c1(d1)bd实长实长三峡大学三峡大学23b1 距离距离dd1x1hv1x2v1h2c2 d 例例4 4：求点：求点c c到直线到直线abab的距离，并求垂足的距离，并求垂足d d。（逆推法）（逆推法

16、）c c b a abxvh 如下图如下图：把把abab换成投影面换成投影面垂直线垂直线，变成两点的距离，变成两点的距离，且且cdcd平行于新投影面，平行于新投影面，其投影反映实长。其投影反映实长。作图作图: 求求c c点到直线点到直线abab的距离，的距离，就是过就是过c c作作abab的垂线的垂线cdcd。空间及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2b2 d2 过过c c1 1作线平行于作线平行于x x2 2轴。轴。.如何确定如何确定d1点点的位置？的位置？ah2bdcca b d三峡大学三峡大学24例例 5 5： 已知等腰三角形已知等腰三角形abcabc的底边为的底边为abab，试用

17、换面法求，试用换面法求出等腰三角形出等腰三角形abcabc的正面投的正面投影（轨迹法）。影（轨迹法）。abxv vh hcabx1h hv v1 1b1c1a1ee1空间及投影分析：空间及投影分析：因为高因为高ceab，根据直角投影，根据直角投影定理，把定理，把ab换成平行线，换成平行线，则则c1e1 a1b1.abcec三峡大学三峡大学25h h2 2v v1 1x2h h v v1 1x1c d b a dacbc1d2b1c2a2 b2v vh hx例例6 6：求平面：求平面abcabc和和abdabd的两面角的两面角。（逆推法）。（逆推法）空间及投影分析空间及投影分析： 在投影图中在投

18、影图中, ,两平面的两平面的交线垂直于投影面交线垂直于投影面时，则两平面时，则两平面也垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角也垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角即为所求。即为所求。.a1d1三峡大学三峡大学26例例7: 7: 过过c c点作直线点作直线cdcd与与abab相交成相交成6060。# # d x1hp1x1p1p2ab a c b xvhc作图：作图：c2c1a1 b1a2d2db2两个解！两个解！ 已知点已知点c c是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线abab上，上，求等边三角形的投影。求等边三角形的投影。思考：思考

19、：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60d d点的投影如点的投影如何返回？何返回？.空间及投影分析空间及投影分析：当当abab与与cdcd都平行于投影面时，其投影的夹都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（角才反映实角（6060），将），将abab与与c c点所确定的平面变换成投影点所确定的平面变换成投影面平行面，即得面平行面，即得 。（逆推法）（逆推法）三峡大学三峡大学27换换 面面 法法 小小 结结一、一、 换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。二、二、 换面法的关键是

20、要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投投影保持垂直关系同即必须使新投影面与某一原投投影保持垂直关系同时又有利于解题需要，这样才能时又有利于解题需要，这样才能使用正投影规律使用正投影规律。三、三、点的变换规律点的变换规律是换面法的作图基础，是换面法的作图基础，六个基本六个基本 问题问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。三峡大学三峡大学28 点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新投影轴。投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影

21、到旧投影轴的距离。旧投影轴的距离。 vhxp1hx1 a aa1axax1.点的换面规律点的换面规律三峡大学三峡大学29换面法的六个基本作图问题：换面法的六个基本作图问题： 3. 3. 把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面两次换面1. 1. 把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线一次换面一次换面4. 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面一次换面6. 6. 把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面两次换面两次换面需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线需先在平面内找一条投影面平行线变成

22、垂直线5. 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面一次换面2. 2. 把投影面平行线变成投影面垂直线把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面一次换面三峡大学三峡大学304 4、 求距离求距离（1 1）点与直线之间）点与直线之间 a. a. 将直线变换成投影面垂直线。将直线变换成投影面垂直线。 b. b. 将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。五、换面法的应用五、换面法的应用1 1 、求直线实长和与投影面的倾角、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。将直线变换成投影面的平行线。2 2 、求平面实形和重

23、心、求平面实形和重心 将平面变换成投影面的平行面。将平面变换成投影面的平行面。 3 3、 求平面与投影面的倾角求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。将平面变换成投影面的垂直面。三峡大学三峡大学31（4 4） 两平行平面之间两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。将两平面变换成投影面垂直面。（5 5）两交叉直线之间）两交叉直线之间 将一直线变换成投影面垂直线。将一直线变换成投影面垂直线。（2 2） 点与平面之间点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。将平面变换成投影面垂直面。（3 3） 两平行线之间两平行线之间 将两直线变换成投影面垂直线将两直线变换成投影面垂直线三峡大学三峡大学

24、325 5 、求夹角、求夹角（1 1）两直线之间）两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。将两直线组成的平面变换成投影面平行面。（2 2） 两平面之间两平面之间 将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。平面的交线变换成投影面的垂直线。（3 3）一直线和平面之间）一直线和平面之间 将平面变换成投影面平行面，再将直线换成投影面将平面变换成投影面平行面，再将直线换成投影面平行线。平行线。三峡大学三峡大学33距离距离:1.点到直线的距离；点到直线的距离； 4.线、面平行间的距离；线、面平行间的距离；2.平行两直线的距离；平行

25、两直线的距离； 5.点到平面的距离；点到平面的距离；3.两直线的公垂线；两直线的公垂线； 6.平行两平面的距离。平行两平面的距离。三峡大学三峡大学34角度：角度：1.相交两直线的夹角；相交两直线的夹角；2.交叉两直线的夹角；交叉两直线的夹角； 3.两平面的夹角；两平面的夹角；三峡大学三峡大学35解题时一般要注意下面几个问题：解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中中物体与原投影面的相对位置物体与原投影面的相对位置，并把这些条件，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。抽象成几何元素（点、线、面等）。 根据要求得到的结果，确定

26、出有关几何元根据要求得到的结果，确定出有关几何元素素对新投影面应处于什么样的特殊位置对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。法。 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果确无误地求得结果，又能将结果返回到原投返回到原投影体系中去。影体系中去。三峡大学三峡大学36b a abcdc 例例8 8* *：已知两交叉直线：已知两交叉直线abab和和cdcd，且，且abab为水平线，求其为水平线，求其公垂线的长度公垂线的长度mnmn及其投影。及其投影。m d a1（b 1m 1）n 1c1d1n空间及投影分析：空间及投影分析：vhxhv1x