高等数学定积分在物理上的应用教学ppt

1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 一一. .变力沿直线段做功变力沿直线段做功 二二. .液体的侧压力液体的侧压力 本节主要内容本节主要内容: : 三三. .引力引力 第五章第五章

2、 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 变力沿直线段做功变力沿直线段做功 从物理学知道从物理学知道, 如果常力如果常力f作用在物体上作用在物体上, 是物体是物体 沿力的方向移动距离沿力的方向移动距离s，那么力，那么力f对物体所作的功为对物体所作的功为 w = fs 如果物体在运动中受到的力是变化的如果物体在运动中受到的力是变化的, 则上述公则上述公 式已不适用式已不适用. 下面用定积分微元法来解决此问题下面用定积分微元法来解决此问题. 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 设物体在连续

3、变力设物体在连续变力f(x)作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa移动到移动到,bx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作功元在其上所作功元素为素为xxfwd)(d因此变力因此变力f(x) 在区间在区间 ,ba上所作的功为上所作的功为baxxfwd)(第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 例例1 设在设在x轴的原点处放置了一个电量为轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷的点电荷形成一个电场形成一个电场 , 求单位正电荷沿求单位正电荷沿 x

4、 轴从轴从 x=a 移动到移动到x=b时电场力时电场力f(x) 所作的功所作的功 ( 如下图所示如下图所示 ) . qorabrrdr 11解解 当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时, 由由库仑定律库仑定律电场力电场力 2qfkr 则功的元素为则功的元素为rrqkwdd2所求功为所求功为 barrqkwd2rqk1ab)11(baqk说明说明 处的电势为电场在ar arrqkd2aqk第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 二二. .液体的侧压力液体的侧压力 压强压强(是液体的密度是液体的密度) . 由物理学知道由物理学

5、知道 , 如果有一面积为如果有一面积为a的薄板水平地的薄板水平地 放置在液体中深为放置在液体中深为 h 的地方的地方, 那么薄板一侧所受的那么薄板一侧所受的 压力为压力为p = pa，其中，其中 p = hg 是液体中深为是液体中深为 h 处的处的 的点处压强不同的点处压强不同 , 求薄板一侧所受液体的压力则要求薄板一侧所受液体的压力则要 如果此薄板垂直地放置在液体中如果此薄板垂直地放置在液体中, 由于不同深度由于不同深度 用定积分来解决用定积分来解决 . 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 例例3 一闸门呈倒置等腰梯形垂直地位于

6、水中一闸门呈倒置等腰梯形垂直地位于水中,两底的两底的 长度分别为长度分别为4m和和 6m, 高为高为6m, 当闸门上底正好位于当闸门上底正好位于 水面时水面时, 求闸门一侧受到的水压力求闸门一侧受到的水压力(水密度水密度103kg/m3). 36xy 解解 选取坐标系如图选取坐标系如图, ab的方程为的方程为 d9.823 d6xpxx 取取 x 为积分变量为积分变量, 变化范围变化范围0,6 取代表区间取代表区间x, x+dx，在水下深为，在水下深为x m处的压强为处的压强为9.8 x kn/m2，因此与代表区间相应的一，因此与代表区间相应的一 小窄条上所受的压力微元小窄条上所受的压力微元第

7、五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 在在0, 6上积分得上积分得 609.823 d6xpxx28.23 10 (kn)63209.8 39xx9.88458.23 10 (n)第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 三三. .引引 力力质量分别为质量分别为21, mm的质点的质点 , 相距相距 r ,1m2mr二者间的引力二者间的引力 :大小大小:221rmmkf 方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力, 则需用积分解决则需用积

8、分解决 .第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 例例5设有一长度为设有一长度为 l, 线密度为线密度为 的均匀细直棒的均匀细直棒, 其中垂线上距其中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点m,m该棒对质点的引力该棒对质点的引力 .解解 建立坐标系如图建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为 dkf xm d22xa 故垂直分力元素为故垂直分力元素为 cosddffya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在在 计算计算 fdxfdyfdxx

9、d第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkfy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分棒对质点引力的水平分力力.0 xf22412llmkfaa故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为2lfdxfdyfdmy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 22412llmkfaa棒对质点的引力大小为棒对质点的引力大小为说明说明 2k ma ，当细棒很长时当细棒很长时,可视可视 l为无穷大为无穷大, 此