2722相似三角形应用举例

1、 在古希腊，有一位伟大的数学家、天文学家叫泰勒斯，在古希腊，有一位伟大的数学家、天文学家叫泰勒斯，一天，希腊国王阿马西斯对他说：一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的。下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的。 一连几天，他站在金字塔下，用不同的工具都无法测一连几天，他站在金字塔下，用不同的工具都无法测出它的高度，他又失望、又伤心地坐在金字塔下，难过极出它的高度，他又失望、又伤心地坐在金字塔下，难过极了，忽然他注意到广场的地面上有许多人影，

2、灵机一动，了，忽然他注意到广场的地面上有许多人影，灵机一动，他决定利用影长来测定金字塔的高度。你知道泰勒斯是如他决定利用影长来测定金字塔的高度。你知道泰勒斯是如何利用影长测量金字塔的高度的吗？何利用影长测量金字塔的高度的吗？泰勒斯泰勒斯:古希腊第一位科学家古希腊第一位科学家 利用三角形的相似，可以解利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的高决一些不能直接测量的物体的高度、宽度等问题。度、宽度等问题。学习目标学习目标1.进一步巩固相似三角形的知识进一步巩固相似三角形的知识 2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔接

3、测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题的一些实际问题 例例1据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度 如图，如果木杆如图，如果木杆ef长长2m，它的影长，它的影长fd为为3m，测得，测得oa为为201m，求金字塔的高度，求金字塔的高度bo解：太阳光是平行光线，即解：太阳

4、光是平行光线，即ba edaobdfe90 abodeffdoaefbo32012bo因此金字塔的高约为因此金字塔的高约为134m又又bea(f)do baoedf，13432201bo 解法二：用镜面反射：解法二：用镜面反射： 如图，点如图，点a是个小镜子，根据光的反射定律：是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）由入射角等于反射角构造相似三角形） 泰勒斯因为这次伟大的发现和他对数学的研究泰勒斯因为这次伟大的发现和他对数学的研究与贡献，被后人尊称为与贡献，被后人尊称为“数学之父数学之父”。 希望同学们也要向泰勒斯一样，勤于钻研数学希望同学们也要向泰勒斯一样，勤于钻研数

5、学知识，立志成为一名有识之士。知识，立志成为一名有识之士。1234例例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点目标点p，在近岸取点，在近岸取点q和和s，使点，使点p、q、s共线且直线共线且直线ps与河垂直，接着在过点与河垂直，接着在过点s且与且与ps垂直的直线垂直的直线a上选择适当的上选择适当的点点t，确定，确定pt与过点与过点q且垂直且垂直ps的直线的直线b的交点的交点r如果测如果测得得qs45m，st90m，qr60m，求河的宽度，求河的宽度pq解：解： pqrpst90，pp，stqrpspqstqrqspqpq即x90（

6、x45）60解解得得 x90.pqrstab pqrpst因此河宽因此河宽pq大约为大约为90m906045xx设设pq=xadbec你能想出其它方法测量河的宽度吗？你能想出其它方法测量河的宽度吗？ 解法二：如图构造相似三角形解法二：如图构造相似三角形 例例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是已知左、右并排的两棵大树的高分别是ab8cm和和cd12m，两树的根部的距离，两树的根部的距离bd5m一个身高一个身高1.6m的人沿着正的人沿着正对这两棵树的一条水平直路对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当他与左边较低从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶

7、端点的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点c？分析：如图，说观察者眼睛的位置为点分析：如图，说观察者眼睛的位置为点f，画出观察者的水平视线，画出观察者的水平视线fg，它，它交交ab、cd于点于点h、k视线视线fa、fg的夹角的夹角cfk是观察点是观察点c时的仰角由时的仰角由于树的遮挡，区域于树的遮挡，区域1 和和11都在观察者看不到的区域（盲区）之内都在观察者看不到的区域（盲区）之内hk仰角仰角视线视线水平线水平线ac解：如图，假设观察者从左向右走到点解：如图，假设观察者从左向右走到点e时，他的眼睛的位置点时，他的眼睛的位置点f与两棵与两棵树顶端点树顶端点a、c恰在一条直线上恰在

8、一条直线上由题意可知，由题意可知，abl，cdl abcd，afhcfkckahfkfh 即即4 .104 . 66 . 1126 . 185 fhfh解得解得 fh8由此可知，如果观察者继由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树续前进，即他与左边的树的距离小于的距离小于8m时，由于时，由于这棵树的遮挡，右边树的这棵树的遮挡，右边树的顶端点顶端点c在观察者的盲区在观察者的盲区之内，观察者看不到它之内，观察者看不到它1、在某一时刻，测得一根高为、在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋高楼的影长为，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的，这栋高楼的

9、高度是多少？高度是多少？易得易得abc abcacbca cb c1.8390a c求得求得 ac=54m答：这栋高楼的高度是答：这栋高楼的高度是54m.解：解：abc1.8m3mabc90m?由题意画图，由题意画图， 2、王东同学为了测量我们美丽的洹河宽度，他、王东同学为了测量我们美丽的洹河宽度，他想出了一个这样的办法，以对面岸边的电线杆想出了一个这样的办法，以对面岸边的电线杆为标志点为标志点o，在自己的岸边选点，在自己的岸边选点a、b、d，使，使abao,dbab，然后确定然后确定do和和ab的交点的交点c。然后测得然后测得ac=27米米,cb=3米，米，bd=10米，你能帮米，你能帮助他

10、算出洹河的宽度吗？助他算出洹河的宽度吗？oacbd安安阳阳洹洹河河3 3、如图、如图, ,铁道口的栏杆短臂长铁道口的栏杆短臂长1m,1m,长臂长长臂长16m,16m,当当短臂端点下降短臂端点下降0.5m0.5m时时, ,长臂端点升高长臂端点升高 m m。obdca(第第1题题)1m16m0.5m8给我一个支点我可以撬起整个地球给我一个支点我可以撬起整个地球! !-阿基米德阿基米德？4 4、小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落、小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网在离网5 5米的位置上，求球拍击球的高度米的位置上，求球拍击球的高度h.(h.(设网设网球是直线运动球是直线运动) )a ad db bc ce e0.8m5m10m？一一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高测高(不易直接使用皮尺或刻度尺量的不易直接使用皮尺或刻度尺量的) 2 测距测距(不易直接测量的两点间的距离不易直接测量的两点间的距离)2 、测高的方法、测高的方法 测量不易到达顶部的物体的高度测量不易到达顶部的物体的高度,通常用通常用“在同一时刻物高与影长的