线性代数向量空间

1、 n n维向量空间维向量空间 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的秩向量组的秩 齐次线性方程组齐次线性方程组 非齐次线性方程组非齐次线性方程组n n维向量的概念与运算维向量的概念与运算n n维向量空间维向量空间向量组的线性组合与线性表示向量组的线性组合与线性表示第一节 n维向量空间维维向向量量。称称为为实实数数域域上上的的组组成成的的有有序序数数组组个个实实数数naaann,21（称称列列向向量量）或或 naaa21a（称称行行向向量量）记记作作：),(a21naaa tnaaa),(a21 也也记记作作个个分分量量的的第第称称为为向向量量其其中中), 2 , 1(aniiai 一、

2、n 维向量的概念与运算维向量的概念与运算定义定义4.1例如例如)n,2,1(n维行向量维行向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式),(21ntaaaa 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位

3、置参数p(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n,),(t21naaaan维向量设称称为为零零向向量量，分分量量全全为为零零的的向向量量)0, 0 , 0(相等，与称向量）时（则当且仅当banibaii, 2 , 1ba 记作tnbbbb),(21），（记记作作0000 定义定义4.2定义定义4.3tntnbbbbaaaa)(,),(2121，设为：和与规定babatnnbabababa)(2211,定义定义4

4、.4tntn)kakaka(akakrkaaaa,),(2121 的的数数乘乘为为：与与向向量量规规定定数数，设设定义定义4.5特别地特别地.121的的差差与与称称之之为为写写作作的的负负向向量量。此此外外称称其其为为有有：取取bababaaaaaaktn)(),(,向量的加减法、数乘运算都按照向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算进行运算注意注意足足下下列列八八条条性性质质：向向量量加加法法与与数数乘乘运运算算满满，及及实实数数维维向向量量由由上上述述定定义义，对对任任意意的的lkcb,a,n,运算规律运算规律akllak)()()6( abba )1()()()2

5、(cbacba aa 0)3(0)()4( aaaa 1)5(kbkabak )()7(lakaalk )()8(有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111含含n个未知量个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式bax 其中其中mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaa2121212222111211,程组。程组。个未知量的齐次线性方个未知量的齐次线性方方程方程个个，称为，称为为零向量时，即为零向量

6、时，即当当nmaxb0 特别地特别地实数域上的实数域上的 n维向量全体，当定义了维向量全体，当定义了rn满满足足的的一一个个非非空空子子集集，如如果果是是设设nrvvar2vbav,ba,1kkva则则若对若对）（则则若对若对）（,的的子子空空间间是是就就称称nrv二、二、n n维向量空间维向量空间定义定义4.6定义定义4.7上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为为实数域上的为实数域上的n维向量空间维向量空间。记作。记作空间空间)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合代数形象

7、：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxrt ),(几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxp),(zyxrt 一一对应一一对应 为为零零子子空空间间。的的子子空空间间，通通常常称称其其是是例例4r)0 , 0 , 0 , 0(v 24t 的的子子空空间间是是例例3)0 , 0 ,(14rrxxvt 的子空间不是例3rv 34rxxt) 1 , 0 ,(的的子子空空间间。是是例例nitnnirxxxxr320v 4432,),(vbaba)2 , 0 ,() 1 , 0 ,() 1 ,

8、0 ,(对向量的加法不封闭。即v三、向量组的线性组合与线性表示三、向量组的线性组合与线性表示定义定义4.8由若干个同维数的列向量（或行向量）由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组。设设a ,a ,a12s,是是n维向量组，维向量组，skkk,21是一组实数是一组实数，s21aaaskkk 21则则称称s21a,a,a是是向向量量组组的的线性组合线性组合。,-,=, a,-,=, a,-,=attt)()()(3191623212314321,)(t3217741= 5+3-,-,aaa例如向量例如向量就是这就是这3个向量个向量 的一个线性组合的一个线性组

9、合。321aaa,存在一组实数存在一组实数skkk,21bkkkss21aaa21 则称向量则称向量b是向量组是向量组a ,a ,a12s,使得使得也称向量也称向量b可由向量组可由向量组a ,a ,a12s,线性表示线性表示。,s21a,a,ab,设设都是都是 n 维向量维向量,如果对向量如果对向量b的的线性组合线性组合，tt3t2t1(3,5)=,(-2,4)= ,(1,1)=(0,1)= , baaa 0+3+2=321aaa b 5+4-= 321aaab例如例如 对向量对向量有有及及 还有还有 baaa32123-0+11= 的的线线性性组组合合。是是所所以以321aaa b ,而且表

10、示的方法不惟一而且表示的方法不惟一向量向量n维向量维向量向量空间向量空间小小 结结 n维向量的运算维向量的运算n维向量的概念、表示维向量的概念、表示解析几何与线性代数解析几何与线性代数中向量的联系与区别中向量的联系与区别向量空间的概念向量空间的概念向量在生产实践与科向量在生产实践与科学研究中的广泛应用学研究中的广泛应用思考题思考题,),(011211nnnxxrxxxxxxv满满足足设设,),(111212nnnxxrxxxxxxv满满足足问问 是不是是不是 子空间？为什么？子空间？为什么？ nrvv21,如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将

11、增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加答答36维的维的若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例举几例, ,说明向量的实际应用说明向量的实际应用第二节 向量组的线性相关性向量、向量组与矩阵向量、向量组与矩阵向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理向量组线性相关的判定定理维维列列向向量量个个有有对对于于矩矩阵阵mnaanmij)( aaaaaaaa

12、aaaaamnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组aa1a2ana2ajana1a2ajan一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵维维行行向向量量个个又又有有矩矩阵阵类类似似地地nmaanmij)(, aaaaaaaaaaaaamnmminiinn21212222111211 t1 t2 ti tm t1 t2 ti tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵a的行向量组的行向量组 t1 t2 tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩矩阵阵构构成成

13、一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量个个mnnmm, 21矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmtmtt , 21 tmttb 21 ),( 21ma b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应如果对给定向量组如果对给定向量组a： ,sa,aa21存在存在不全为零不全为零的实数的实数 skkk,21(1)02211ssakakak

14、sa,aa21则则称称向向量量组组定义定义4.9否则否则称之为称之为线性无关线性无关。二、向量组的线性相关与线性无关二、向量组的线性相关与线性无关使得使得021skkk则称向量组则称向量组,sa,aa21线性相关；线性相关；式式才才成成立立，时时， )(1线性无关。线性无关。即当且仅当即当且仅当 注注 意意(1) 任何任何含有零向量含有零向量的向量组都线性的向量组都线性相关相关. .,相相关关不不是是线线性性无无关关就就是是线线性性对对于于任任一一向向量量组组(4)（2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分充分 必要必要条件是两向量的对应分量成比例。其几条

15、件是两向量的对应分量成比例。其几 何意义是两向量何意义是两向量共线共线。（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。共面。,.32321=520=111=32 1 , , 74a aa对对向向量量组组例例 由于由于 3 21-2=631-520-111- a-aa03212aaa线性相关。线性相关。不全为零，按定义不全为零，按定义，,a,aa32121-1-即即,t3t2t1(1,6,3)=(1,2,3)= (1,1,1)= , a a a 例例4.8 试判断下列向量组的线性相关性试判断下列向量组的线性相关性 解解 若存在数若存在数321kkk,使使0332

16、211akakak0330620321321321kkkkkkkkk 即即 因为其系数行列式因为其系数行列式 d=11112613380 于是方程组只有零解，于是方程组只有零解，0321kkk,a,aa321线性无关线性无关。所以所以 , , t322t3,21)b,bb,(1,= )aa,(1,=a a a例例4.9 试试 判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性t324t3,23)d,dd,(1,=) ,ccc,(1,=aa,044332211axaxaxax解解 考察考察按分量写出来，即为按分量写出来，即为（其中（其中a，b，c，d各不相同）各不相同） 00004333231

17、34232221243214321xdxcxbxaxdxcxbxadxcxbxaxxxxx该方程组的系数行列式该方程组的系数行列式)()()()()(111133332222cdbdadbcacabdcbadcbadcba 4321,a,a,aa由于由于a，b，c，d各不相同各不相同.，所以行列式不等于零，所以行列式不等于零即方程组只有零解，从而即方程组只有零解，从而线性无关线性无关。解解 若存在数若存在数321kkk,(*)0332211akakak使使073014420321321321kkkkkkkkk)()()(cba 即即 ,t3t2t1(1,14,7)=4,1) (1,-= (1,

18、2,3)= , , aaa 例例4.10 试判断下列向量组的线性相关性试判断下列向量组的线性相关性因为其系数行列式因为其系数行列式 d=07131442111于是方程组有非零解，即有不全为零数使于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立成立,a,aa321线性相关线性相关。所以所以tktktk32123,)( ,1321123tkkk023321aaa-321,a,aa令令显然显然是它的一个解，计算可知是它的一个解，计算可知因此因此线性相关。线性相关。由（由（a）代入（）代入（b）（）（c）整理得）整理得 02033231kkkk另另 解解0.2211 nnkkk证明证明 设有设有线性无关

19、。线性无关。t)1,.0 , 0 , 0(n t)0,.0 , 1 , 0(2 t)0,.0 , 0 , 1(1 例例4.11 试证试证n维单位坐标向量组维单位坐标向量组000100.01000121nkkk即即解之得解之得0.21nkkk所以所以n,.,21线性无关线性无关。sa,aa212)(s 定理定理4.1 n维向量组维向量组线性相关的线性相关的充要条件充要条件是其中是其中至少至少有一个向量可由有一个向量可由其余向量线性表示。其余向量线性表示。sa,aa21kkks12,02211ssakakak证明证明 必要性必要性 若若即存在不全为零的数即存在不全为零的数使得使得三、向量组线性相关

20、的判定定理三、向量组线性相关的判定定理线性相关，线性相关，sisi+iii-iiiiiakkakkakkakkakka11112211kisi0 1,()不妨设不妨设于是于是即即ia可由其余的向量可由其余的向量si+i-a,aa,a111线性表示线性表示充分性充分性 若有一个向量若有一个向量可由其余的向量线性表示可由其余的向量线性表示iassi+ii-iialalalalala11112211即即那么由系数那么由系数siilllll, 1,1121 ,不全为零，不全为零，sa,aa21知向量组知向量组线性相关。线性相关。nssssnnaaa= aaa=aaa=a, , aa2122212212

21、1111定理定理4.2 n维向量维向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组线性相关的充要条件是齐次线性方程组ax=0 有非零解有非零解 nsnnssaaaaaaaaaa212222111211 sxxxx21其中其中证明证明 按线性相关的定义，向量组按线性相关的定义，向量组sa,aa21等价于方程等价于方程的线性相关的线性相关(1)02211ssaxaxax有非零解。有非零解。)(sa,aa21tsxxxx),(21 )2(021 sxxx)sa,aa(21a 若令若令 则上式写成则上式写成因为因为(1)与与(2)同解，也就是说，向量组同解，也就是说，向量组的线性相关等价于其次方程组的线性相关等

22、价于其次方程组ax=0有非零解。有非零解。sa,aa210a条件是条件是na,aa21推论推论 n个个n维向量维向量线性相关的充要线性相关的充要)(na,aa21a 其其中中定理定理4.3nr中任意中任意n+1个向量个向量121nn,aa,aa必定必定线性相关线性相关证明证明 若若na,aa21线性相关，则线性相关，则121n,naa,aa线性相关，线性相关，na,aa21若若线性无关，则由于方程组线性无关，则由于方程组121(nnaa,aax)的系数行列式不为零，的系数行列式不为零，na,aa211na所以方程组有唯一解，即所以方程组有唯一解，即可由可由121n,naa,aa线性表示，从而知

23、线性表示，从而知线性相关线性相关推论推论 m个个n维向量（维向量（mn）必线性相关。）必线性相关。sa,aa21b,sa,aa21bsa,aa21定理定理4.4 设设n维向量组维向量组线性无关，而线性无关，而线性相关，则线性相关，则可由可由线性表出，且表示法唯一。线性表出，且表示法唯一。证明证明 由由b,sa,aa21零的数零的数线性相关知，存在不全为线性相关知，存在不全为lkkks,21使得使得02211lbakakakss0 lskkk,2102211ssakakak 若若 则则不全为零，而有不全为零，而有sa,aa21这与这与线性无关相矛盾，线性无关相矛盾，sa,aa210 lssalk

24、alkalkb2211b从而从而 于是于是 即即可由可由线性表示线性表示 。bssaxaxaxb2211,ssayayayb2211 假若假若可有两种不同的表示方法，设可有两种不同的表示方法，设0sssayxayxayx)()()(222111两式相减，得两式相减，得 唯一性唯一性线性无关相矛盾，线性无关相矛盾，sa,aa21不全为零，则与不全为零，则与ssyxyxyx,2211如果系数如果系数从而从而必全为零必全为零线性表示的方法是唯一的。线性表示的方法是唯一的。sa,aab21由由即即ssyxyxyx,2211定理定理4.5 设有两向量组设有两向量组miaaaabmiaaaatiririt

25、iriii21,(b21:a1i2i121,),),(:则有（则有（1） 若向量组若向量组ma,aa21线性无关。线性无关。,m,bbb21也线性无关也线性无关则向量组则向量组ma,aa21,m,bbb21也线性相关。也线性相关。（2） 若向量组若向量组线性相关，线性相关，则向量组则向量组b bb12,mmkkk,21021 mbbbmkkk21证明证明 （1）反证）反证 假设假设则存在不全为零的数则存在不全为零的数 使得使得 即即 线性相关，线性相关， 00012112222121112111mrmmmrraaakaaakaaak由其前由其前 r 个等式得：个等式得： 00021222212

26、112111mrmmmrraaakaaakaaak02211mmakakak 即即ma,aa21,m,bbb21这表明这表明 r 维向量组维向量组所以所以r+1维向量组维向量组线性无关。线性无关。线性相关，矛盾，线性相关，矛盾，ma,aa21b bb12,m(2) 反证反证 假设假设 r 维向量组维向量组由（由（1）推得）推得 r+1 维向量组维向量组 线性无关；线性无关；线性无关，线性无关，ma,aa21与题设矛盾。所以向量组与题设矛盾。所以向量组线性相关。线性相关。证毕证毕此结论对此结论对 m 个个 r 维向量组添加维向量组添加 m-r 维分量的情形维分量的情形也成立。也成立。定理定理4.

27、6 若若 n 维向量组维向量组a：线性相关，线性相关，则向量组则向量组b：线性相关。线性相关。121ss,aa,aa反言之若向量组反言之若向量组b线性无关，则向量组线性无关，则向量组a也线性无关也线性无关证明证明 由向量组由向量组a：sa,aa21saaa21,线性相关，知线性相关，知存在不全为零的实数存在不全为零的实数02211ssakakakkkks12,使得使得于是于是0012211sssaakakak而而0 ,21skkk不全为零不全为零故向量组故向量组b线性相关。线性相关。反之，假若向量组反之，假若向量组 a 线性相关，则由上述证明知线性相关，则由上述证明知向量组向量组 b 线性相关

28、，这与已知矛盾。线性相关，这与已知矛盾。于是向量组于是向量组 a 线性无关。线性无关。本定理说明本定理说明（1）若向量组有一个部分组线性相关）若向量组有一个部分组线性相关 ， 则该向量组也线性相关。则该向量组也线性相关。（2）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。例例4.12 设向量组设向量组)3(,121 maaam线性无关，而线性无关，而mmaaaa,132 线性相关，线性相关，试证（试证（1）ma121, maaa可由可由1amaaa,32不可由不可由线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，（2）证明（证明（1） 因为因为121, maaa线性

29、无关，线性无关，由定理由定理 4.6知，其部分组知，其部分组132, maaa也线性无关，也线性无关，又因为又因为maaa,32线性相关，线性相关，所以由定理所以由定理4.4知：知：113322 mmmakakaka也即也即11332210 mmmakakakaa因此因此ma121, maaa可由可由线性表示。线性表示。ma132, maaa可由可由线性表示，即线性表示，即证（证（2）用反证法）用反证法 假设假设1amaaa,32可由可由线性表示，即线性表示，即mmmmaaaaa 1133221而由（而由（1）的证明知）的证明知113322 mmmakakaka将之代入上式得：将之代入上式得：

30、1113332221)()()( mmmmmmakakaka 此式说明：此式说明：1a132, maaa可由可由线性表示，线性表示，从而可推出从而可推出121, maaa线性相关，与题设矛盾。线性相关，与题设矛盾。1amaaa,32不可由不可由线性表示。线性表示。故故. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，

31、线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）小小 结结 若存在一组数若存在一组数021 mkkk使得使得02211 mmakakak则向量组则向量组maaa,21a 线性相关线性相关 b 线性无关线性无关 c 部分线性相关部分线性相关 d 可能可能 线性相关也可能线性无关线性相关也可能线性无关思考题思考题1. 向量组向量组maaa,21线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是a都是零向量都是零向量maaa,21bmaaa,21中任意两个向量的分量不成比例中任意两个向量的分量不成比例c中有一部分组线性无关中有一部分组线性无关maaa,21d中任意向量均不可由其余向量中任意向量

32、均不可由其余向量maaa,21线性表示线性表示练练习习2. 设有向量组设有向量组)(,321maaam则下列哪种说法正确则下列哪种说法正确?a 该向量组线性相关，则该向量组线性相关，则 必可由必可由121, maaama线性表示。线性表示。b 该向量组线性无关，则其中任何该向量组线性无关，则其中任何 m-1 个向量必个向量必 线性无关。线性无关。c 若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向量组必线性无关。量组必线性无关。d 若若mkkk,21全为零，使全为零，使02211 mmakakak则该向量组必线性无关。则该向量组必线性无关。向量组之间的关系向

33、量组之间的关系向量组的极大无关组向量组的极大无关组向量组的秩向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩第三节 向量组的秩a ,a ,a12kb bb12,sai(, ,)ik 12 b bb12,s设有两个设有两个n 维向量组维向量组 a: b: 如果如果a组中每个向量组中每个向量都可由向量组都可由向量组b则称向量组则称向量组a可由向量组可由向量组b线性表示。线性表示。线性表示，线性表示，一、 向向 量组之间的关系量组之间的关系定义定义4.10 如果如果 a、b 这两个向量组可以这两个向量组可以互相互相线性表示，线性表示， 则称向量组则称向量组 a 和向量组和向量组 b 是等价的，记为

34、是等价的，记为ab。关于向量组的等价，显然有下面三条性质：关于向量组的等价，显然有下面三条性质： 1. 自反性自反性 a a 2. 对称性对称性 若若ab，则，则ba 3. 传递性传递性 若若ab，bc则则ac定理定理4.6 在在rn中，如果向量组中，如果向量组a：a ,a ,a12k可由向量组可由向量组b：b bb12,s而且而且a ,a ,a12k线性无关，则线性无关，则sk 线性表示，线性表示，证明证明 假设假设sk a ,a ,a12kb bb12,sskskkksssscccccccccbbbbbbbbb 22112222121212121111aaa因为因为都可由都可由线性表示，故

35、可设线性表示，故可设 sjjc11bsjjc12b sjkjc1bkicccisiii,),.,(2121以上各式的系数构成以上各式的系数构成 k 个个 s 维的向量维的向量sk kxxx,21因为因为所以这所以这 k 个个 s 维向量线性相关，维向量线性相关，即存在一组不全为零的实数即存在一组不全为零的实数0.2211 kkxxx使使sjkjc1bkxsjjc12b2x sjjc11b1x kkxxxaaa 2121考察考察 k11i1i)bcx( kiicx122b)(0b)(1s kisicx由于由于kxxx,21不全为零，所以不全为零，所以a ,a ,a12k线性相关与已知矛盾，从而线

36、性相关与已知矛盾，从而sk 推论推论 等价等价的的线性无关线性无关向量组所含向量的个数相等。向量组所含向量的个数相等。二、向量组的极大无关组二、向量组的极大无关组 （1） 线性无关线性无关（2） a 组中任何一个向量组中任何一个向量 ，都，都 能由能由 b 组向量组向量 线性表示线性表示定义定义4.11若向量组若向量组 a 的一个部分组的一个部分组 b 满足满足则称部分组则称部分组 b 为向量组为向量组 a 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）（简称极大无关组）.定理4.7 向量组与它的任一个极大无关组等价向量组与它的任一个极大无关组等价证明证明 因为极大无关组可由向量组

37、线性表出，因为极大无关组可由向量组线性表出， 由极大无关组的定义，所给向量组可由极大由极大无关组的定义，所给向量组可由极大 无关组线性表出，所以向量组与它的任意一无关组线性表出，所以向量组与它的任意一 个极大无关组等价个极大无关组等价推论推论 向量组的任意两个极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。rrs )aa(a,2,1aaa,12s 向量组向量组组中所含向量的个数组中所含向量的个数 r 称为这个称为这个向量组的秩，记作向量组的秩，记作只含零向量的向量组的秩规定为只含零向量的向量组的秩规定为0的极大线性无关的极大线性无关三、向三、向 量量 组组 的的 秩秩 定义定义4.12特别地特

38、别地由定理由定理 4.6 的推论及定义的推论及定义 4.12 易知：易知：两个等价向量组的秩必相同。两个等价向量组的秩必相同。由矩阵由矩阵mnmmnnaaaaaaaaaa212222111211各列向量，各列向量，各行向量各行向量 mjjjjaaa21b四、向量组的秩与矩阵的秩四、向量组的秩与矩阵的秩 ),.2 , 1(),.,(a21miaaainiii )2 , 1(nj 组成的矩阵组成的矩阵a的列向量组为的列向量组为n21bbb,.,组成的矩阵组成的矩阵a的行向量组为的行向量组为m21,.aa,a定理定理4.8 矩阵矩阵 a 的列向量组的秩等于矩阵的列向量组的秩等于矩阵a 的秩。的秩。证

39、明证明 设矩阵设矩阵 a 的秩为的秩为r，不失一般性，可设，不失一般性，可设a的的 某一不等于零的某一不等于零的 r阶子式阶子式 d 位于位于a 的左上角，的左上角，否则，可以经过调换列达到这一结果。否则，可以经过调换列达到这一结果。mnr ,mmrmn,rr ,rr ,r,rrnr , rrrrnrraaaaaaaaaaaadaaaaa1111111111111111此时由假设含此时由假设含d 的任一的任一r+1阶子式必等于零。阶子式必等于零。首先，首先，a 的前的前 r 列向量必线性无关，否则其中列向量必线性无关，否则其中某个列向量可由其余某个列向量可由其余r-1个列向量线性表示，便个列向

40、量线性表示，便导出导出d=0，这与假设矛盾。，这与假设矛盾。klkrkrlrrrlrkaaaaaaaaad111111为此，作为此，作r+1阶辅助行列式阶辅助行列式 由前由前r个列向量线性表示。个列向量线性表示。个列向量可个列向量可), 2, 1(nrrll其次，我们来证明其次，我们来证明a的第的第从中可以看出，当从中可以看出，当kr时时kd中有两行相同，因而中有两行相同，因而0kdkdkdk km(, ,) 12 ),(mkdaaaaaaaklrkrkk2102211) l , r,j (aj21akjd 0总之对任一总之对任一0 kd皆有皆有将将按最后一行展开，有按最后一行展开，有 ：其中

41、其中是是中相对于中相对于的代数余子式，的代数余子式，它们皆与它们皆与k无关，因为无关，因为故得故得), 2 , 1()(12211mkaaaaaadarkrkkkl kd是是a的含有的含有d的的r+1阶子式，阶子式，kr当当时时由假设知由假设知0kd的秩为的秩为r。前前r个列向量线性表示，也就证明了矩阵个列向量线性表示，也就证明了矩阵a的列向量的列向量), 2, 1(nrrll这就表明这就表明a的第的第个列向量可由个列向量可由无无关关组组。的的列列向向量量组组的的一一个个极极大大求求矩矩阵阵，设设矩矩阵阵例例aa 9796342264412112111213. 4解解 对对a施行初等行变换化为

42、行阶梯形矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵 97963211322111241211979634226441211211122321rrra 0000031000011104121134432rrrr 3433063550022204121114133232rrrrrr 3100062000011104121124232352rrrrr故故r(a)=3，从而，从而a的列向量组的极大无关组含的列向量组的极大无关组含3个向个向量，而三个非零行的非零首元在量，而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，所以三列，所以无无关关组组。为为列列向向量量组组的的一一个个极极大大，421 是是线线性性无无关关的的

43、，向向量量组组维维单单位位坐坐标标向向量量构构成成的的因因为为neeeen,: 21解解. 4.14的的秩秩一一个个最最大大无无关关组组及及的的，求求作作维维向向量量构构成成的的向向量量组组记记全全体体nnnrrrn例例个个向向量量都都线线性性相相关关，中中的的任任意意又又1 nrn. nrrenn的的秩秩等等于于且且的的一一个个最最大大无无关关组组，是是因因此此向向量量组组例例4.13 求向量组求向量组(1,1,1,-2)=3)(-2,-2,-2,=2)-(2,-1,0=1)(1,-2,-1,-=aa ,a ,a3214的极大无关组。的极大无关组。解解 由这些向量为行向量够构成一个矩阵，然后

44、对由这些向量为行向量够构成一个矩阵，然后对此矩阵实施行初等变换化其为阶梯形此矩阵实施行初等变换化其为阶梯形 2-11132-2-2-2-01 -21 -1 -2-11 -23014-6-002301 -1 -2-114131222rrrrrr1 -000100002301 -1 -2-10000100002301 -1 -2-114rr3)(-2,-2,-2,=2)-(2,-1,0=1)(1,-2,-1,-=321a ,a,a是向量组的极大无关组。是向量组的极大无关组。24232rrrr极大线性无关组的概念：极大线性无关组的概念：最大性最大性、线性无关线性无关性性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：

45、矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：定理定理、推论推论求向量组的秩以及极大无关组的方法：求向量组的秩以及极大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列将向量组中的向量作为列(行行)向量构成一个矩阵，向量构成一个矩阵， 然后进行初等行然后进行初等行(列列)变换变换小小 结结思考题思考题向量组的秩与矩阵的秩有何关系？向量组的秩与矩阵的秩有何关系？向量组的极大无关组是唯一的吗？向量组的极大无关组是唯一的吗？第四节第四节 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组的概念齐次线性方程组

46、的概念齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间一、齐次线性方程组齐次线性方程组)1(000221122221211212111 nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组齐次线性方程组nxxx21x若令若令,aaaaaaaaaamnmmnn 212222111211(2)0x a则则 （1）可写成矩阵形式）可写成矩阵形式:(3)0a.aan2211nxxx则则 (1) 也可写成向量形式也可写成向量形式:njaaaamjjjj, 2 , 121 若令若令系系数数矩矩阵阵的的列列向向量量组组）的的为为齐齐次次线线性性方方

47、程程组组（即即向向量量组组1,21naaa那么齐次线性方程组在什么条件下有那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解是齐次线性方程组的解，称为零解.t)0, 0 , 0(x显然显然 由由(3)式可知式可知:如果方程组如果方程组(2)只有零解只有零解,即等式即等式ax 0有非零解有非零解r（a） n齐次线性方程组齐次线性方程组ax 0只有零解只有零解r（a）= n齐次线性方程组齐次线性方程组a ,a ,a12n 线性无关线性无关,那么那么r(a)=n。a ,a ,a12n如果方程组如

48、果方程组(2)有非零解有非零解,则向量组则向量组线性相关线性相关,那么那么r(a)n定理定理4.9证明证明 0aaan2211nxxx.只有系数全为零时成立只有系数全为零时成立从而从而反之亦然。反之亦然。0002121aa)(a齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下： 12,0ax（1） 若若都是齐次线性方程组都是齐次线性方程组ax 012的解，那么的解，那么也是也是的解，这是因为的解，这是因为二、齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间的解的解0ax齐次线性方程组齐次线性方程组（2） 若若则对任意实数则对任意实数kk,也是也是0ax的解。（原因是的

49、解。（原因是 )00)(kkaka若用若用s表示方程组表示方程组(1)的全体解向量所组成的集合的全体解向量所组成的集合则上述两个性质即为：则上述两个性质即为：skrkssss 112121,. 2,. 1 则则若若则则若若这说明集合这说明集合 s 对向量的线性运算封闭，所以对向量的线性运算封闭，所以s 构构成成 的一个子空间，称其为齐次线性方程组的一个子空间，称其为齐次线性方程组(1)的的解空间解空间。nrr ,21设设是齐次线性方程组是齐次线性方程组0ax的一组解向量，若它满足下列条件：的一组解向量，若它满足下列条件：（1） 12,r 线性无关；线性无关；三、齐次线性方程组的基础解系齐次线性

50、方程组的基础解系定义定义4.130ax 12,r 12,r0ax（2）方程组）方程组的任一解向量都可由的任一解向量都可由线性表出线性表出 则称向量组则称向量组是齐次线性方程组是齐次线性方程组的一个的一个基础解系基础解系。 12,r0 ax如果如果是齐次线性方程组是齐次线性方程组,21rkkk的一个基础解系的一个基础解系 那么，对任意常数那么，对任意常数kkkrr11220 ax也是也是的解，的解，0 ax称这种形式的解为称这种形式的解为的的通解通解，解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，进而求出通解。进而求出通解。 注意注意则齐次线性方程组则齐次线性方程组

51、ax 0的基础解系含有的基础解系含有n-r个向量。个向量。 00001001,1,11,1nrrrnrbbbbb得行最简形矩阵得行最简形矩阵 对方程组对方程组0 ax的系数矩阵的系数矩阵a进行初等行变换，进行初等行变换，证明证明 nrarnma )(矩矩阵阵，是是设设定理定理4.10(*)112112211111 nrnrrrrnnrrnnrrxbxbxxbxbxxbxbx以以b为系数矩阵的方程组为系数矩阵的方程组xxxrrn12,称为方程组（称为方程组（*）的）的自由变量，自由变量， 0 ax由于由于a与与b的行向量组等价，故的行向量组等价，故 与（与（*）同解）同解 任意给定任意给定nrr

52、xxx,21 一组数值，代入到（一组数值，代入到（*）中都可以求出（中都可以求出（*）的一个解，从而得）的一个解，从而得0 ax的一个解。的一个解。(*)100,010,00121 nrrxxx nrrxxx21现在，现在， 令令分别取以下分别取以下n-r 组数值组数值0 ax代入（代入（*）可求出）可求出的的n-r 个解，设为个解，设为*)*(*100,010,001, 121221111 rnrrnrnrrdddddd ba rnnrrlll 2211因为向量组（因为向量组（*）线性无关，按定理）线性无关，按定理4.5，加长的，加长的向量组（向量组（*）也是线性无关的，这样就得线性方）也是

53、线性无关的，这样就得线性方程组程组(1) 的的 n-r个线性无关的解。个线性无关的解。0 ax),(21nlll b下面，我们再证明下面，我们再证明的任一解的任一解rn ,21都可由都可由线性表出。线性表出。令令0 axa则则 仍是仍是的解，并且的解，并且nrrrrnrrnnrrrrlllllddlddlddl211121221111100010001,ba rnnrrlll 22110001rdd rnnrrlll 2211b它应满足（它应满足（*）的每一个方程，）的每一个方程， 代入（代入（*）解得）解得=0 也就是也就是 即即 021 rddda0 ax是齐次线性方程组是齐次线性方程组

54、rn ,21由定义由定义4.18，的基础解系，即证明了当的基础解系，即证明了当 r（a）= r n 时齐次时齐次0 ax线性方程组线性方程组中有中有n- r个自由变量，个自由变量，使基础解系由使基础解系由n- r个解向量组成。个解向量组成。说明说明方程组的方程组的基础解系基础解系不是唯一的不是唯一的方程组的方程组的基础解系基础解系又称为解空间的又称为解空间的基基.kkkxrnrn 2211若若 是是 的基础解系，的基础解系， 则其则其通解通解为为 rn, 210 ax.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk 032030432143214321xxxxxxxxxxxx1312)1()1(

55、321131111111rrrra 解解 对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵例例4.14 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 21004200111123221rrr000021001111 00002100101112rr由由 知方程组有非零解且与下面方程组知方程组有非零解且与下面方程组同解同解42 )(ar02043421xxxxx42,xx选选 为自由变量，得为自由变量，得 434212xxxxx 令令 0, 142 xx解得解得 1110 0 ( , , , )t令令 1,042 xx解得解得t)1 , 2 , 0 , 1(2 ( , ,

56、 , )110 0tt) 1 , 2 , 0 , 1 ( 12010011214321ccxxxxx21,cc从而得到一个基础解系从而得到一个基础解系方程组的通解为方程组的通解为为任意常数为任意常数其中其中 0302042143214321xxxxxxxxxxx例例4.15 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解 对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵 232023201111) 3() 1(1013121111111312rrrra 00002320111123rr 023204324321xxxxxxx得同解方程组得同解方程组43, xx 100

57、14343xxxx选选为自由变量，分别取为自由变量，分别取解得解得 1021232121xxxx2223211101001 故得方程组的一个基础解系为：故得方程组的一个基础解系为：2211ccx 方程组的通解为方程组的通解为即即 1010012232114321ccxxxxx为任意常数为任意常数21, cc其中其中第五节第五节 非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组的概念非齐次线性方程组的概念非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组有解的条件(2)xba式式：一一方方面面它它可可写写作作矩矩阵阵形形的的方方程程组组形形如如)(1221

58、12222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组nmijaa )(是系数矩阵是系数矩阵其中其中一、非齐次线性方程组齐次线性方程组tmtnbbbxxx),(),(2121bx量量方方程程另另一一方方面面它它也也可可写写成成向向(3)a+a+a2211bnnxxx对方程组的系数矩阵对方程组的系数矩阵a按列分块，记作按列分块，记作a=)(a,a ,a21n问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有 解时怎样求出其所有解？解时怎样求出其所有解？根据齐次线性方程组的不同表

59、示方法，以及矩阵根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下等价命题：等价命题：二、非齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组有解的条件与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题 bax 线线性性表表示示能能由由向向量量组组）向向量量（nb ,212 等等价价与与向向量量组组）向向量量组组（bnn, 21213.),(),(的的秩秩相相等等与与其其增增广广矩矩阵阵）系系数数矩矩阵阵（baann 21214（1 1）线性方程组）线性方程组 有解有解bax )()(arar即即通常用通常用 (4) 来判断来判断 (

60、1)性质性质1 设设21,是是ax b的任意两个解，的任意两个解，21 则则是对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组的的解解0ax证明证明0a)a(a2121bba 性质性质2的的通通解解，是是设设0ax 的的一一个个解解是是bax 三、非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的性质：非齐次线性方程组解的性质：bax则则的任一解为的任一解为 x证明证明 总总是是则则的的任任一一解解是是设设*x-axx,b0 ax的解的解,用用表示之，有表示之，有x -从而从而 x=rn ,21r)a(若若 r（a）=r且已知且已知0 ax0b ax是是的基础解系，的基础解系，是是b