13非正弦周期电流电路和信号的频谱

1、1. 1. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率l 重点重点2. 2. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算第第1313章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路和信号的频谱和信号的频谱13.1 13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号生产实际中，通常还会遇到按非正弦规律变化的生产实际中，通常还会遇到按非正弦规律变化的电源和信号。电源和信号。非正弦电流可分为非正弦电流可分为周期周期的和的和非周期非周期两种。两种。l 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期规律变化按周期规律变化)()(nttftft为周期

2、函数的周期，为周期函数的周期，n为自然数为自然数 13.2 13.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数ttftd )(0若周期函数满足狄利赫利条件：若周期函数满足狄利赫利条件：周期函数极值点的数目为有限个；周期函数极值点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；在一个周期内绝对可积，即：在一个周期内绝对可积，即：可展开成收敛的傅里叶级数可展开成收敛的傅里叶级数周期函数展开成傅里叶级数：周期函数展开成傅里叶级数：011112121110111( )cos()sin()2cos(2)sin(2)cos()sin()cos()sin()2kkkkkaf tatbta

3、tbtaktbktaaktbkt 1）形式）形式1直流分量直流分量基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2倍频）倍频） 高次谐波高次谐波2）形式）形式20111( )cos()2maf tat212cos(2)mat1cos()kmkakt011( )cos()2kmkkaf takt kkkkkmkkkmkkkkmababaabaaaaarctansin cos2200系数之系数之间的关间的关系为：系为：102( )ktjjktkmkka eajbf t edtt 0111( )cos()sin()2kkkaf taktbkt 011( )cos()2kmkkaf tak

4、t 周期函数的频谱图：周期函数的频谱图：m1kak的图形的图形 幅度频谱幅度频谱 11117 5 3 akmok1相位频谱相位频谱 的图形的图形 1kk由于各谐波的角频率由于各谐波的角频率是是1的正整数倍，所以这种频的正整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为谱是离散的，又称为线频谱线频谱。用线段的高度表示各次谐波振用线段的高度表示各次谐波振幅幅利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化偶函数偶函数0 )()(kbtftf注意 t/2t t/2f (t) o即偶函数只有余弦项和直流量即偶函数只有余弦项和直流量纵轴对称纵轴对称 与计时与计时起点起点的选择的选择有关有关奇函数

5、奇函数 t/2t t/2f (t) o即奇函数只有正弦项即奇函数只有正弦项原点对称原点对称 与计时与计时起点起点的选择的选择有关有关( )() 0kf tfta 奇谐波函数奇谐波函数0 )2()(22kkbattftftf (t)t/2to平移半周期后与横轴对称，不含偶次谐波平移半周期后与横轴对称，不含偶次谐波 镜对称镜对称 与计时与计时起点起点的选择的选择无关无关 任意一个非正弦周期函数任意一个非正弦周期函数f(t)，不管其奇偶性如，不管其奇偶性如何，都可以分解为一个何，都可以分解为一个偶函数偶函数fe(t)（偶部）与一（偶部）与一个个奇函数奇函数f0(t)（奇部）之和，即（奇部）之和，即(

6、 )( )( )eof tf tf t1( ) ( )()2ef tf tft1( ) ( )()2of tf tft有有111411( )sin()sin(3)sin(5)35mef tttt 例例1 将如图矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱。将如图矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱。f(t)在第一个周期内的表达式为在第一个周期内的表达式为( )02( )2mmtf tettf tett 所以所以 由此求的由此求的解解1110220222( )210(1)4ktjjktkmkkttjktjktjkj kjkmtmmjkmma eajbf t edttee edte edteeetjkkeee

7、kjkjk 为偶数为奇数取不同项数时波形的逼近情况取不同项数时波形的逼近情况11117 5 3 akmo矩形波的矩形波的幅度幅度频谱频谱11117 5 3 k1o-/21kk矩形波的矩形波的相位频谱相位频谱 傅里叶级数是一个无穷级数，但实际运算中，只傅里叶级数是一个无穷级数，但实际运算中，只能截取有限的项数，因此能截取有限的项数，因此产生了误差产生了误差。 截取项数的多少截取项数的多少，涉及到级数收敛的快慢问题。，涉及到级数收敛的快慢问题。如果级数收敛很快，只取级数的前面几项就够了，如果级数收敛很快，只取级数的前面几项就够了，5次以上的谐波一般可以略去。次以上的谐波一般可以略去。 通常，函数的

8、波形越光滑和越接近于正弦波，其通常，函数的波形越光滑和越接近于正弦波，其展开级数就收敛得越快。展开级数就收敛得越快。1. 1. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值)cos()(10kkkmtkiiti若若则有效值则有效值: :)(dcos1)(d1201002ttkiitttititkkkmt201tii dtt 13.3 13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率)(dcos12010ttkiititkkkm d)(cos102122tkkkmittkit d102020titit 0d)cos()cos(210tqqmkkmttqitkitqk 2kmkii 00

9、12cos()d0 tkmki ik ttt 周期函数的有效值为直流分量及各周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量次谐波分量有效值有效值平方和的方根。平方和的方根。 222120 iiii结论2201kkiii 3.3.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率ttiutp0d1)cos()(10ukkkmtkuutu)cos()(10ikkkmtkiiti利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：.)( cos210100pppiuiupikukkkkkk2kmkuu 2kmkii 平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 c

10、oscos 22211100iuiuiup结论（1）应用数学方法把给定的非正弦周期电压或电流分解为）应用数学方法把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数傅里叶级数，高次谐波取到哪一项为止，根据具体情况；，高次谐波取到哪一项为止，根据具体情况；（2）再根据线性电路的叠加定理，直流分量用直流电路分）再根据线性电路的叠加定理，直流分量用直流电路分析方法，求解时把析方法，求解时把c看作开路看作开路，l看作短路看作短路；不同频率的；不同频率的正弦分量采用正弦电路相量分析计算方法，这时正弦分量采用正弦电路相量分析计算方法，这时需注意电需注意电路的阻抗特性随频率而变化路的阻抗特性随频率而变化；（3）把所

11、有分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正）把所有分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。弦周期激励下的稳态电流和电压。注意：各分量的瞬时表注意：各分量的瞬时表达式才可叠加达式才可叠加(因为不同频率的相量式相加是无意义的因为不同频率的相量式相加是无意义的)。 13.4 13.4 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路的计算的计算例例2 如图所示电路中，如图所示电路中，r=3，输入电源为矩形波输入电源为矩形波 求电流求电流i和电阻吸收的平均功率和电阻吸收的平均功率p。解：本题中的非正弦周期电压已分解为傅里叶级数形式，解：本题中的非正弦周期电压已分解为傅里叶级数形式，因

12、此可直接进行各次谐波的计算。因此可直接进行各次谐波的计算。11121 ,0.429lc11111280.11cos()93.37cos(3)56.02cos(5)40.03cos(7)31.12cos(9)sutttttvc+ ur -irlbadc+ ul -uc -+-+(1)对于基波分量对于基波分量(1)3(0.42921)320.571zjj(2)对于三次谐波对于三次谐波(3)113313(11.904)zrjljjc (1)280.11 0smu (1)(1)(1)280.11 013.47 81.70320.571smmuiazj 2(1)(1)1272.332mpirw(3)93

13、.37 0smu (3)(3)(3)93.37 014.47 62.303(11.904)smmuiazj 2(3)(3)1314.062mpirw同理求得：同理求得：013iiii最后按时域形式叠加为最后按时域形式叠加为 注意：各分量的瞬时表达式才可叠加。注意：各分量的瞬时表达式才可叠加。（因为不同频率的相量式相加是无意义的）（因为不同频率的相量式相加是无意义的）(5)356.00pw (7)13.34 0mia (7)267.07pw (9)9.2426.99mia (9)128.17pw (1)(3)(5)(9)1337.63pppppw11113.47cos(81.70 )14.47cos(362.30 )15.41cos(534.41 )ittt (5)15.41 34.41mia 114111157cos(2)cos(4)2315sutt 0100uv 例例3 图图(a)电路中电路中l=5h，c=10uf，负载电阻负载电阻r=2k， us为正为正弦全波整流波形，如图弦全波整流波形，如图(b)。设。设1=314rad/s，um=157v。求。求负载两端电压的各谐波分量。负载两端电压的各谐波分量。解：解：参阅表参阅表13-113-1，将给定的，将给定的usus分解为傅里叶级数，得分解为傅里叶级数，得(1)