格林公式ppt课件

1、1格林公式及其应用格林公式及其应用 一、格林公式一、格林公式二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积2D单连通区域单连通区域1.1.单单( (复复) )连通区域及其边界曲线的连通区域及其边界曲线的正向正向.,复复连连通通区区域域否否则则称称为为单单连连通通区区域域是是平平面面则则称称所所围围的的部部分分都都属属于于内内任任意意一一条条闭闭曲曲线线如如果果为为平平面面区区域域设设DDDD复连通区域复连通区域D单连通区域就是单连通区域就是没有没有“洞洞”的区域的区域. .一、格林公式一、格林公式3:,如如下下的的正正向向我我们

2、们规规定定的的边边界界曲曲线线对对平平面面区区域域LLD., 始始终终位位于于他他的的左左侧侧的的这这一一方方向向行行走走时时沿沿DLD2L1L 复连通区域复连通区域D 的边界的边界曲线曲线L由由 和和 组成组成,1L2LD 单连通区域单连通区域 D 的边界曲的边界曲线线L的正向是逆时针方向的正向是逆时针方向.L 逆时逆时针针 顺时针方向为边界曲顺时针方向为边界曲线线L的正向的正向.1L2L42.2.格林公式格林公式. ,dd ,),(),( ,1的的正正向向边边界界曲曲线线是是其其中中则则有有上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在函函数数所所围围成成由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线设设

3、闭闭区区域域定定理理DLdxdyyPxQyQxPDyxQyxPLDDL 上述等式称为格林公式上述等式称为格林公式. .注意注意, ,D可以是单连通域也可以是复连通域可以是单连通域也可以是复连通域. .,则则不不能能用用格格林林公公式式续续的的点点的的偏偏导导数数不不连连上上有有若若QP、D5.ddDLyxyPPdxdxdyyPxQyQxPDLdd 格格林林公公式式DyxyPdd,又又;d)(,)(,12 baxxxPxxP baxxxyxPd),()()(21 )()1(如如图图是是单单连连通通区区域域时时 DLxPd baxxxPd)(,1 ;d)(,)(,21 baxxxPxxP 证证 a

4、bxxxPd)(,2 )(:22xyL )(:11xyL xyODabD.),(,:11baxxyxxL变变到到从从 .),(,:22abxxyxxL变变到到从从 .ddd DLyxxQyQ类类似似可可证证.故故格格林林公公式式成成立立)()(21ddxxbayyPx 21ddLLxPxP6.,21正正向向边边界界的的单单连连通通区区域域为为得得到到以以割割开开沿沿辅辅助助线线将将ABLBALABD)()2(如图如图是复连通区域时是复连通区域时DD1L2LAB.dd)(成成立立 DyxyPxQABLBALyyxQxyxP21d),(d),()1( 知知由由 BAABABBAyyxQxyxPd)

5、,(d),(又又21d),(d),(LLyyxQxyxP要要证证证毕证毕.dd)( DyxyPxQ(书中未证书中未证,P205例例4用到用到)0. BABA ABLBAL21 ABBALL21为为复复连连通通区区域域DD1L2L21d),(d),(LLyyxQxyxP.dd)( DyxyPxQ为为复复连连通通区区域域D7 Lyxxydd(1)(1)计算平面区域的面积计算平面区域的面积dxdyyPxQyyxQxyxPDL d),(d),(.dd21的的面面积积所所围围区区域域是是DLyxxyL .sin,cosAbyax所所围围成成图图形形的的面面积积求求椭椭圆圆 例例1 1LyxxyAdd21

6、解解20)sin(cos)cos(sin21 bdaadb 20d21 ab.ab 3.格林公式的简单应用格林公式的简单应用顺便说一下格林公式的记忆方法顺便说一下格林公式的记忆方法 Ddxdy)1(1 ,dd2 Dyx8(2) (2) 简化曲线积分简化曲线积分.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正正向向边边界界为为顶顶点点的的三三角角形形区区域域的的是是以以其其中中计计算算LyxxxL xy)0 , 0()1 , 0()0 , 1(D由由格格林林公公式式得得所所围围区区域域为为记记,DL Lyxxxdd4 Dyxdd.21 例例2解解 DyxyPxQQdyPdxdd L D

7、yxdd)01(9.)0 , 1()0 , 1(1,2的的一一段段到到从从是是上上半半圆圆周周计计算算 BAxyLxydyxdxIL).(如如图图使使之之封封闭闭加加水水平平直直线线 BA Dyxyd)d0(0sin100 dd.32 例例3解解xyO)0,1(A)0 , 1( BD LdyxyxdxI BABALxydyxdxxydyxdx DyxyPxQQdyPdxdd L. 11, 0,:变变从从 xyxxBA 11xdx10.)2 , 3(),0 , 3(),0 , 0(,d)2(d)(正正向向边边界界为为顶顶点点的的三三角角形形区区域域的的是是以以其其中中计计算算LyyxxyxLxy

8、)0 , 0()2 , 3()0 , 3(D根根据据格格林林公公式式所所围围区区域域为为设设,DL Dyxdd3. 9 课堂练习课堂练习解解 DyxyPxQQdyPdxdd L(1)P202 公公式式格格林林公公式式 Lyyxxyxd)2(d)( Dyxdd)1(211 OBBABAOBL原原式式.)0 , 0()1 , 1()sin(222的的一一段段弧弧到到上上由由点点物物线线为为抛抛其其中中求求OAyxLydyxdxxxyL解解xyL)1 , 1(A)0 , 0(OD)0 , 1(B).(,如如图图所所围围区区域域为为使使之之封封闭闭和和垂垂直直直直线线加加水水平平直直线线DBAOBDd

9、xdyxyxy)22(1021021cos0yx. 1cos21 .10,0,:变变到到从从xyxxOB .10,1:变变到到从从yyyxBA dxx10)sin( 10ydy课堂练习课堂练习.,直直的的直直线线加加辅辅助助线线常常选选水水平平和和垂垂为为计计算算上上简简便便12(3)(3)计算曲线计算曲线 L 所围区域所围区域 D 内有奇点的曲线积分内有奇点的曲线积分.,dd22方方向向逆逆时时针针闭闭曲曲线线滑滑且且不不经经过过原原点点的的连连续续分分段段光光为为一一条条无无重重点点其其中中计计算算LyxxyyxL.),(,),(2222yxxyxQyxyyxP.可可以以用用格格林林公公式

10、式.)0 , 0(,)0 , 0()(22222是是奇奇点点称称处处不不连连续续在在xQyxxyyP 例例4 4解解 DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22xyOLD. 0 ,)0 , 0()1(上上连连续续在在时时当当DyPxQD .DL所所围围成成的的平平面面区区域域为为设设( (满足满足P202P202定理定理1 1的条件的条件) )13xyOLD,)0 , 0()2(时时当当D.).(:1222DlLryxlD为为共共同同围围成成的的复复连连通通区区域域与与设设如如图图方方向向逆逆时时针针内内作作小小圆圆周周在在 l1D.)1202(的条件的条件定理定理不满足不满足上不能用格林公

11、式上不能用格林公式PD.1上上能能用用格格林林公公式式DlLyQxPdd, 0dddd lLyQxPyQxPlLyQxPyQxPdddd,1上上连连续续在在复复连连通通域域 DyPxQ lQdyPdx曲线曲线L L上的积分可以化成上的积分可以化成同同方向的小圆周方向的小圆周 l 上的积分上的积分. .),(,有有奇奇点点上上不不连连续续在在DyPxQ1, 0)(DdxdyyPxQ.ddddlLyQxPyQxP14Lyxxyyx22ddlyxxyyx22dd.20,sin,cos: 变变到到从从ttrytrxl 2022222sincostdrtrtr.220 td则则公公式式的的条条件件而而直

12、直接接使使用用格格林林定定理理若若不不注注意意是是否否满满足足时时当当奇奇点点,1202,)0 , 0(PDDLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22xyOLD222:ryxl 1D曲线曲线L L上的积分可以化成上的积分可以化成同方向的小圆周同方向的小圆周 l 上的积分上的积分. .0为为错错误误结结果果yPxQ15.,2)1(,)(2dd2222的的方方向向逆逆时时针针周周为为圆圆其其中中求求LyxLyxyxxyL.)( 2),(,)( 2),(2222yxxyxQyxyyxP 课堂练习课堂练习P214.3P214.3解解.DL所所围围区区域域为为设设).1202(条条件件定定理理见见上上

13、不不能能用用格格林林公公式式PD).(:222如如图图方方向向逆逆时时针针内内作作小小圆圆周周在在ryxlD 10820522)(2dd第第用用行行的的方方法法得得PLyxyxxy)()(2dd22小小圆圆lyxyxxy 20222222cossintdrtrtr. lxyLDO.20,sin,cos: 变变到到从从ttrytrxl .)0 , 0( ,)(222222是是奇奇点点内内不不连连续续在在DxQyxyxyP 曲线曲线L L上的积分可以化成上的积分可以化成同同方向的小圆周方向的小圆周 l 上的积分上的积分. .16作业作业:P200 7(1)(2). P213 1(1),2(1),3

14、,5. 本周五上习题课本周五上习题课17.),(),(21一一段段到到上上从从是是垂垂直直直直线线设设解解yayaaxL . 0),( :,:1 .200 LdxyxPaxxoyLP证证明明上上的的一一段段面面内内直直线线为为设设题题.,:,21yyyyyaxL变变到到从从则则看看成成参参数数方方程程 21),(),(yyLdayaPdxyxP,是是水水平平直直线线时时L LPdxL;0,是是垂垂直直直直线线时时一一般般. 00),(21 yyydyaP. 0 LdyQ下面内容中反复用到这一结论下面内容中反复用到这一结论.18若若条条曲曲线线的的任任意意两两到到点点内内从从点点是是点点内内任任

15、意意两两为为平平面面开开区区域域设设,21BAGL、LGBA、.,21否否则则便便说说与与路路径径有有关关无无关关内内与与路路径径则则称称该该曲曲线线积积分分在在 GQdyPdxQdyPdxLL GAB1L2L二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件19GAB1L.21内内任任意意一一条条闭闭曲曲线线是是显显然然GLL ,21 LLQdyPdxQdyPdx即即.”“”“是是等等价价的的的的曲曲线线积积分分都都为为零零任任意意一一条条闭闭曲曲线线内内沿沿与与内内与与路路径径无无关关曲曲线线积积分分在在故故LGG,21 LLQdyPdxQdyPdx即即, 021 LLQdy

16、PdxQdyPdx即即, 021 LLQdyPdx即即,内内与与路路径径无无关关曲曲线线积积分分在在 G 2L2L20, , 内内都都在在围围成成的的区区域域所所线线内内任任取取一一条条闭闭曲曲在在GDCCG. ) ( dd , ),(),( 2内内恒恒成成立立在在的的充充分分必必要要条条件件是是为为零零分分内内任任意意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积或或沿沿内内与与路路径径无无关关在在则则曲曲线线积积分分有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数内内具具在在单单连连通通域域函函数数若若定定理理GxQyPGGyQxPGyxQyxPL 证证 充分性充分性., 是是单单连连通通域域G , xQyP 又又因因为为

17、根据格林公式有根据格林公式有. 0)(dd DCdxdyyPxQyQxP必要性必要性(反证法反证法) , G 000MMyPxQM 使使假假设设. 0 0 MyPxQ不不妨妨设设 , 0连连续续在在点点又又由由条条件件可可知知MyPxQ , 0连连续续在在点点又又由由条条件件知知MyP、xQ 21 . )(lim00MM MyPxQyPxQ由连续定义知由连续定义知,),(, 0,20时时当当对对GMUP .2 ),(0 yPxQMU上上恒恒有有即即,2 )( yPxQ有有,22 yPxQ有有 UyxyPxQyQxPdd)(dd格格林林公公式式 . 02 , ),( 0的的正正向向边边界界曲曲线

18、线是是设设 MU. 分分都都为为零零矛矛盾盾内内任任意意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积这这与与沿沿 G . ),( 0的的面面积积是是 MU Udxdy2 二重积分的性质二重积分的性质22例例5 5 LyxxxyL. 0dd22闭闭曲曲线线，证证明明是是任任意意一一条条分分段段光光滑滑的的设设证证,22xQxyP 令令,2xyPxQ . 0dd22 Lyxxxy.无无关关面面上上该该曲曲线线积积分分与与路路径径xoy23.2sin)1 , 1()0 , 0(,dd22xyAOLyxxxyL 的的曲曲线线弧弧到到为为从从其其中中计计算算,2yPxxQ .面面内内该该积积分分与与路路径径无无关关xo

19、y例例6 6解解 OBLyxxxyyQxPdd2dd2 BAyxxxydd22,2面面内内连连续续在在并并且且xoyxxQyP )0 , 0(O)1 , 1(Axy)0,1(B BAOBPdyxxxy22001d2题题第第 10d0 x. 1 10d1 y.)1 , 1()0 , 1()0 , 0(的折线积分的折线积分再到再到到到改路径沿从改路径沿从ABO. 10, 0,:变变到到从从xyxxOB . 10, 1:变变到到从从yyyxBA 24课堂练习25 BOABydyxdxxxyydyxdxxxy2222)sin( )sin(原原式式.)0 , 0()1 , 1()sin(222的的一一段

20、段弧弧到到上上由由点点为为抛抛物物线线其其中中求求OAyxLydyxdxxxyL 练习练习解解xyL)1 , 1(A)0 , 0(OD)0 , 1(B.1cos21 .01,0,:变变到到从从xyxxOB .01,1:变变到到从从yyyxAB dxx 01)sin( 01ydy,2面面上上连连续续在在xoyxyxQyP .面面内内该该积积分分与与路路径径无无关关xoy.)0 , 0()0 , 1()1 , 1(的的折折线线积积分分到到到到改改沿沿从从OBA BOABPdxxxyydyx)sin(222001题题第第26.)(2连连续续xQyxyP .曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关.)1

21、, 1()0 , 1()0 , 0(的的有有向向折折线线改改沿沿ABO.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(2222的的一一段段有有向向弧弧到到上上从从是是其其中中求求AOyyxLyyxxyxyL 练习练习解解xyO)1 , 1(AL)0 , 1(B BAOB原式原式 BAyyxd)(2 OBPxyxyd)21(22001题题第第 10210d)1(d1yyx.34 27作业作业:P213 3,4(1)(3),5,7.28. ),( dd , ),(),( 3内内恒恒成成立立在在件件是是的的全全微微分分的的充充分分必必要要条条内内是是某某一一函函数数在在则则阶阶连连续续偏偏导导数数

22、内内具具有有一一在在单单连连通通域域函函数数设设定定理理GxQyPyxuGyQxPGyxQyxP 证证 必要性必要性.,),(dd 的的全全微微分分内内是是某某函函数数在在yxuGyQxP , yuQxuP ,2yxuyP ,2268xyuyxuP 定理定理.内内恒恒成成立立在在即即GxQyP ,22连连续续和和即即xyuyxu 三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积,连连续续和和内内又又条条件件知知xQyPG 充分性充分性.,),(,yuQxuPyxuGxQyPG 使使得得内内要要证证内内已已知知.2xyuxQ 29G),(000yxM),(yxMxyO充分性充分性.,xQyP ,

23、),(),(000的的曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关终终点点为为起起点点为为yxMyxM ),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxP故可以把曲线积分记为故可以把曲线积分记为记记作作的的函函数数曲曲线线积积分分是是终终点点是是定定点点时时当当起起点点,),(,),(000yxMyxM.d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu.,),(dd yuQxuPyxuyQxP 即即的的全全微微分分是是下下面面证证30).(),(),(之之间间与与介介于于积积分分中中值值xxxxyPyxu ),(),(00),(yxxyxQdyPdxyxxu ),(),()

24、,(),(00yxxyxyxyxxQyPQdyPdxQdyPdx 路路径径无无关关 xxxdxyxPyxu ),(),(xyxuyxxuxux ),(),(lim0 xxyPx ),(lim0 ).,(),(lim0yxPyPx .),(dd 证证毕毕的的全全微微分分是是故故yxuyQxP ).,(yxQyu 同同理理可可证证G),(000yxMxyO),(yxxN ),(yxM31),(0ya0yy ax 则则的的全全微微分分是是某某函函数数如如果果看看出出,),(:yxuQdyPdx ),(),(00d),(d),(),(yxyxyyxQxyxPyxu计计算算较较简简单单沿沿折折线线积积分

25、分),(00yx),(baxyO.d),(d),(000 yyxxyyxQxyxP.d),(d),(000 xxyyxyxPyyxQ或或 ),(),(00d),(d),(),(,bayxyyxQxyxPbau实实因因 axxyxP0d),(0),(0bx.,得得公公式式换换成成换换成成将将ybxa.d),(0 byyyaQ沿先垂直后水平的折线积分可得第二种结果沿先垂直后水平的折线积分可得第二种结果32.,dd,)0(22求求出出一一个个这这样样的的函函数数数数的的全全微微分分函函是是某某个个内内证证明明在在右右半半平平面面yxxyyxx ,),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,)(

26、22222在在右右半半平平面面内内恒恒成成立立yPyxxyxQ .的的全全微微分分右右半半平平面面内内它它是是某某函函数数例例7解解 ),()0, 1(22),(yxyxydxxdyyxuxyO),(yxC)0 , 1(A)0 ,(xB BCAByxxyyxyxxyyx2222dddd BCABPyxyxyxxy22222001dd题题第第33xyO),(yxC)0 , 1(A)0 ,(xB yxyyxxxx02212dd00.arctanarctan0 xyxyy ),()0, 1(22),(yxyxydxxdyyxu BCAByxyxyxxy2222dd34.,dd,:22并并求求这这样样一一个个函函数数函函数数的的全全微微分分是是某某个个面面内内在在整整个个验验证证yyxxxyxOy 例例8 8解解,22yxQx